立足核心素养 培养探究意识——一道测试题的解题探究与推广

山东省邹平市第二中学 扈希峰 （邮编：256200）

山东省邹平市教学研究室 莫静波 （邮编：256200）

经典试题总是给人以启迪，有些试题初看起来很平常，实际上却散发着独特的魅力，蕴含着优美的结论，有丰富的研究空间和教学价值.本文从一道高三试题出发，引导学生探究思考，得出三次函数的一个有趣性质，为进一步研究高考试题提供一些思考.

1 试题展示与解法探究

1.1 试题展示

若函数f（x）＝2x3-ax2（a＜0）在内有最大值，则a的取值范围为____.

1.2 解法探究

由f′（x）＝2x（3x-a），得时，f′（x）＜0，当或x＞ 0时，f′（x）＞ 0，则f（x）的减区间为增区间为从而f（x）在x＝处取得极大值

由f（x）＝-，得

该题的难点在于①式方程的求解，通过师生互动，合作探究，得到以下解法.

解法一显然是方程2x3-ax2+的解，引入参数m、n，设

解法二显然是方程2x3-ax2+的解，利用多项式除法对 2x3-进行因式分解，进而求解，可得

函 数f（x）＝2x3-ax2（a＜ 0）的 极 大 值 点极 小 值 点x2＝0，当f（x3）＝f（x1）时，得，那么x1、x2、x3之间是否存在某种关系呢？我们易得x3-x2＝2（x2-x1），对于任意一个三次函数是否有类似结论成立呢？如果成立，就可以通过该关系顺利求得x3.我们要有意识地让学生从特殊到一般去发现结论，推广命题，在解答问题的过程中让学生享受成功的喜悦，开阔视野，拓展思维，也循序渐进地揭开数学试题的面纱，再链接高考试题，实战演练，演绎精彩课堂.

2 提炼推广

著名数学教育家波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置.”学生在猜想的过程中新旧知识的碰撞就会激发智慧的火花，锻炼数学思维，发展推理水平，提升数学素养.

结论1已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的极值点为x1、x2（x1＜x2）.

若f（x1）＝f（x3），x1≠x3，则x2-x1＝2（x3-x2）；

若f（x2）＝f（x3），x2≠x3，则x2-x1＝2（x1-x3）.

证明不妨设a＞ 0，f′（x）＝3ax2+2bx+c的两个零点为x1、x2（x1＜x2），则如 图1，令f（x）＝f（x1），显然x1是方程f（x）-f（x1）＝0的实根，结合图象，所以ax3+x3）＝0，由 根 与 系 数 的 关 系 得 ，x1+x1+x3＝③，由②③得，

图1

所以x2-x1＝2（x3-x2）.

同理，可以证明当f（x2）＝f（x3）时，有x2-x1＝2（x1-x3）成立.

我们知道三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的图象关于点中心对称，而三次函数f（x）对称中心的横坐标恰好为f″（x）的零点.

结论2已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的极值点为x1、x2（x1＜x2），对称中心的横坐标为x0，则x1+x2＝2x0.

证 明f′（x）＝3ax2+2bx+c的两 个 零 点为x1、x2（x1＜x2），则所以x1+x2＝2x0.由结论1和结论2，我们容易得到三次函数图象上特殊点的横坐标之间“等距”的性质（如图2）.

图2

结论3已知三次函数

f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的 极 值 点 为x1、x2（x1＜x2），对 称 中 心 的 横 坐 标 为x0，若f（x1）＝f（x3），x1≠x3，则x0-x1＝x2-x1＝x3-x2；

若f（x2）＝f（x3），x2≠x3，则x1-x3＝x0-x1＝x2-x0.

3 高考演练

例 1（2020·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝x3+bx+c，曲线y＝f（x）在点处的切线与y轴垂直.

（1）求b；

（2）若f（x）有一个绝对值不大于 1的零点，证明:f（x）所有零点的绝对值都不大于1.

解

（2）证 明 ：由 （1）知f（x）＝x3-令f′（x）＝0，解 得

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x f′（x ）f（x）（-∞，-1 2）+↗-1 2 0 c+1 4（-1 2，1 2）-↘1 2 0 c-1 4（1 2，+∞）+↗

图3

综上，若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，则f（x）所有零点的绝对值都不大于1.

例 2（2016·天 津 卷）设 函 数f（x）＝（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝3；

（Ⅲ）设a＞ 0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[-1，1]上的最大值不小于

解（Ⅰ）（Ⅲ）（略），

（Ⅱ）因 为f（x）＝（x-1）3-ax-b，所 以f′（x）＝3x2-6x+3-a，f″（x）＝6x-6，令f″（x）＝0，得x＝1，则f（x）图象对称中心的横坐标为 1，由于f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），当x0为极大值点时，由结论 3得：x1-1＝2（1-x0），即x1+2x0＝3，

当x0为极小值点时，由结论3得：1-x1＝2（x0-1），即x1+2x0＝3，

综上，x1+2x0＝3.

4 教学建议

数学问题的解决有三个境界，即就题论题，就题论法，就题论道.高三复习不应是简单知识的罗列和机械的刷题，而是发挥题目的价值.完成一个数学题的解答时，数学问题探究却没有结束，每一个数学问题的反思和梳理过程所收获的东西远比纯粹地解“数学题”来的更加深刻.增强问题探究意识有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.恰当借助信息技术，将数学核心素养落实到问题解决中，真正实现就题论法，就题论道.逐步使学生达到脑中有形——数学直观，心中有数——数学抽象，手中有术——数学建模，数据分析，解题有路——逻辑推理、数学运算.