精心设计单元教学 促进学生深度学习——以“排列组合”复习课教学设计为例

谭 辉

(广东省佛冈县石角镇佛冈中学,511600)

培育核心素养以“全面发展的人”为根本出发点和最终归宿,是新时期教育的育人目标.为实现这一目标,学习方式必须发生根本性的变革.“深度学习”教学改进项目的推进,恰逢其时[1].在日常教学中,经常会遇到对于某种题型,老师反复讲述,学生课堂上感觉听明白了,但考试时又反复出错.出现这种情形的根本原因,是由于学生无法对所学知识进行有效泛化迁移来解决新的背景问题,或学生对数学学习缺乏兴趣和方法.要想有效地解决以上问题,单靠教师反复讲授,学生大量刷题是无法解决的.

针对上述问题,《普通高中数学课程标准》要求在教学过程中,要根据数学学科的特征与学生的实际情况和认知规律,优化课程结构和突出主线,引导学生掌握数学内容的本质,使得每个学生都能发现自己的潜能和优势,保持对数学学习的持久兴趣.落实上述要求的关键便是实施深度学习.深度学习提倡单元学习,即在整体视角下确定教学目标、设计教学情境、把握课程内容,使学生深度参与、逻辑连贯地完整学习[2].本文以高三复习课“排列组合”为例,探究深度学习理念下的单元教学设计策略和路径.

一、确定单元学习目标

1.单元学习目标制订的原则

单元学习目标的确立,原则上要有利于发展学生的学科核心素养,使学生掌握能体现本学科的解题本质及其思想方法.通过制定单元学习目标,可以使教师的教学过程清晰地展开,使教师的“教学目标”与学生的“学习目标”统一起来.制定单元学习目标时,应做好以下几个方面:一是单元教学内容分析,包括分析新课标及高考要求,分析本单元核心内容,且能与其它单元相互联系与支撑；二是对学生的学情进行分析,包括学生的现有水平及其最近发展区,学生通过本单元学习后,学科的核心素养应得到怎样的发展等.明确单元学习目标,有利于树立教师的学科整体观,避免教学时出现孤立性和盲目性,突出其对于重点知识和能力的要求,促进学生学科素养的达成.

2.“排列组合”单元教学目标

排列组合是高考的一个难点,也是概率统计学习的一个预备知识.由于题目背景具有较强实践性及复杂性,学生理解起来可能存在困难,故在重视排列组合解题技巧方法的同时,还应着重培养学生的数学建模、逻辑推理等核心素养.根据上述教学内容分析,结合学科核心素养发展要求,制定如下单元教学目标:

(1)通过实例了解分类加法及分步乘法计数原理及其意义；

(2)通过实例理解排列组合的概念,自主探究计数技巧,并能利用其去解决一些实际问题,特别是概率问题；

(3)通过应用排列组合知识去解决实际问题,发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等学科核心素养.

二、单元学习活动过程设计

围绕单元学习目标及主题,结合学生的知识储备等情况,设置好一个具有整体性,兼具实践与综合开放性的单元学习活动过程,是实现深度学习的关键.故单元学习活动过程设计应按以下几个步骤进行:一是设计好具有一定层次的学习任务单,促进学生在任务单的引领下,经历自主探究、解决问题的过程,激发学生有意义的深度学习.二是对学生在学习过程中的表现及可能遇见的困惑作出预判,给出相对应的方案,引导好学生进行多角度的深度思考,以此来加强教师与学生的深度互动,加深学生对知识的理解及充分发展学生的核心素养.最后要给予一定的反馈练习,检测学生掌握情况,进一步优化教学活动设计.具体到“排列组合”复习课，其单元学习活动设计如下：

1.课前学习任务单

问题14位同学每人从三门不同的课程中任意选修一门,不同的选法有共有几种?

问题2从5张不同的名片中任意选3张,共有几种不同的选法?

问题3从5张不同的名片中任意选3张分给3个人,共有几种不同的分法?

设计意图以实际问题为背景,激发学生的学习兴趣.通过问题1使学生加深对分类加法及分步乘法的理解.通过问题2和3,使学生在比较的基础上进一步认识排列与组合是两个特殊且重要的计数原理，“从n个不同元素中取出m个元素”,这是排列与组合数均具有的共同特征,它强调元素的不重复,与问题1中元素可重复相对应.但排列与组合的不同之处在于,所取出的m个元素是否再按顺序排列.学生可能对“顺序”的理解有一定的困难,可结合实际例子加深学生对排列及组合数的理解.

2.深度探究

例1(1)6名学生排成一排,其中甲乙必须相邻，有几种排法?如果甲乙不能相邻,则有几种排法?

(2) 10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,解决以下问题；

① 求恰好有一件次品有多少取法；

② 求恰好有一件次品的概率；

③ 求至少有一件次品的概率.

设计意图通过特定情境训练,回顾排列组合常见的几个解题技巧，分别是相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、对立法等.同时通过概率问题的引入,使学生知道排列组合是概率统计的预备知识.在教学与探究过程中,注意现学知识与实际应用相结合,让学生通过对问题的深度思考和相互探究来理解问题的本质,充分发展学生的数学核心素养.

例2(1)把6本不同的书,平均分成三堆,共有几种分法?

(2)把6本不同的书,平均分给三个人,共有几种分法?

(3) 6名同学到三个场馆做志愿者,每名同学只去一个场馆,甲馆安排1人,乙馆安排2人,丙馆安排3人,则不同的安排方法共有多少种?

(4)把6本不同的书,分给三个人,每人至少分一本,共有几种分法?

设计意图分组及分配问题是近几年高考最常见的一类问题,学生应熟练掌握.问题(1)主要是回顾平均分组的处理方法,问题(2)和(3)是一个定额分配问题,可直接进行组合处理，学生可能会采用先分组后排列的方法处理问题(2),此时教师可结合问题(4)向学生提出需要深度概括的问题,即如何处理一般性的分组分配问题.学生在通过充分参与、交流,概括出解决此类问题的一般性方法为:定额分配,组合处理;随机分配,先分组,后排列,在分组时要注意是否存在平均分组.

例3(1)由数字1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,共有几种不同组合?

(2)在1,3,5,7,9中随机取2个数字,从0,2,4,6中随机取2个数字,共可以组成几个没有重复数字的四位数?

(3)从班委会5名成员中选出3名,分别担任A，B，C三个职位.其中甲、乙二人不能担任A职位,则不同的选法共有几种?

设计意图有些实际问题对元素或位置提出特殊要求,要求优先处理好有特殊要求的元素或位置.但在优先处理的过程中,往往又要对其进行分类讨论,把复杂的问题简单化，这种处理技巧是高考常见的一种考题类型,也是发展学生数学建模、逻辑推理素养不可多得的好题材.

问题(1)的处理较为常规,问题(2)较之(1),除了特殊元素优先处理外,还要对其进行分类讨论,相当于优先处理“0”这个元素.对“0”这个元素的所有可能结果进行讨论，要引导学生在分类讨论时做到不重不漏.学生可能会从对立面来解决该问题,教师可抓住这个好时机,让学生对比一下两种做法,再引入问题(3),让学生合作探究出结果,以此提升学生处理这类问题的能力.

3.感悟高考

(1)(2021年全国乙卷改编)将5名志愿者分配到4个项目进行培训,每位志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有多少种?

(2)(2014年新课标1卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,求周六、周日都有同学参加公益活动的概率.

(3)(2015年四川卷理科)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有几个?

(4)(2013年浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排,且A，B均在C的同侧,则不同的排法有几种?

设计意图通过前面的深度学习后再给出高考题目,让学生进一步学以致用,使学生学会在不同的实际背景中抓住问题的本质,从而发展学生综合应用能力和数学素养.

三、思考

深度学习是指在教师的引领下,学生围绕具有挑战性的学习主题,通过积极探究和实践,体会成功及获得发展的有意义的学习过程.深度学习让学生从提高“解题能力”转向提高“解决问题的能力”,是新时期教育的育人方向及目标.单元学习正是深度学习所提倡的,即从宏观格局看教材,有助于改变局限于数学要素的碎片化学习,引导教师更加关注数学要素之间的联系.在每节课开始前，应从内容、学科本质、学情、教法等作出合理分析,对教学内容进行有机整合,合理优化资源和调配教学内容,选择合适的教学策略,从而明确教学任务,提出具有一定挑战性的教学目标,引导学生积极探究[3].本节课就是基于深度学习理念进行设计,教师提出探究问题与学生深度互动,学生深度合作进行探讨得出结论,加深对知识的理解,真正实现学科核心素养的发展.

单元教学不只是一种形式,它改变以往课堂上教师只关心自己的教而忽视学生的学,凸显学生的主体性.作为一线数学教师,只有在整体上把控教学内容,才能做到重点突出，游刃有余,才能更好地发展学生的学科核心素养.所以，在日常备课和教学过程中，要有意识地培养和落实单元整体设计,把教学内容放在整体中全局考虑,提升自我.