滑轮运动问题的深入探讨

王国平，丰莉莉，穆成富，李柏青

(1. 湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000; 2. 湖州市第三人民医院，浙江 湖州 313000)

1784年英国剑桥大学阿特伍德为验证牛顿第二定律设计了后来以他名字命名的实验装置阿特伍德机[1-5]. 大学物理教材中在讲牛顿运动定律时通常考虑的都是轻滑轮和轻绳的情况，而实际生产生活中使用定滑轮时，往往使用较粗的钢丝绳或者铁链，在分析这类系统受力时，滑轮与绳线的质量必须考虑在内，目前有一些理论文章讨论这种情况[6-8]. 本文将直接应用动量定理分析滑轮与绳质量不能忽略的情况，所得结果与已知文献一致.

1 滑轮两侧张力与重物加速度

1.1 滑轮两侧张力差

图1 绳元受力分析图

(1)

1.2 滑轮与绳都具有质量

图2 任意时刻滑轮运动情况

在绳质量不可忽略情况下，滑轮系统运动是一个变质量问题.在处理变质量问题时若要运用牛顿第二定律往往非常麻烦[6].而用动量定理求解则仅需考虑运动前后质量变化与速度变化，计算过程大为简化.根据动量定理[9]，有

(m+Δm)(v+Δv)-mv-Δmu=FΔt

(2)

其中m为物体在t时的质量，Δm表示在Δt时间内增加的质量，v为物体在t时刻的速度，u为质元Δm在与质量为m的物体合并前即t时刻的速度.F为Δt时间内作用在系统上的合外力.

由于绳与滑轮无相对滑动且绳不可伸长，左(右)侧在Δt时间内增加(缩短)的绳质元在t时刻的速度u与系统在t时刻的运动速度v大小相同.现在依据式(2)对滑轮左侧物体质量、速度、所受合外力进行分析，在t时刻滑轮左侧重物与绳的总质量为m1+λl1(t)，经过Δt时间增加的质量为绳长变化的质量λΔl1(t).在不考虑空气阻力的情况下左侧重物与绳受到外力为自身重力和绳与滑轮相切处的张力，以向下方向作为正方向投影可得

[m1+λl1(t)+λΔl1(t)](v+Δv)-

[m1+λl1(t)]v-λΔl1(t)v=

{[m1+λl1(t+Δξ)]g-FT1(t+Δη)}Δt

(3)

式中Δξ∈(0,Δt)，Δη∈(0,Δt)，等式两边除以Δt，并令Δt→0，则Δξ→0，Δη→0，化简得

[m1+λl1(t)]g-FT1

(4)

同理，对右侧物体进行分析得

FT2-[m2+λl2(t)]g

(5)

对式(4)、(5)化简得

[m1+λl1(t)]a=[m1+λl1(t)]g-FT1

(6)

[m2+λl2(t)]a=FT2-[m2+λl2(t)]g

(7)

(8)

记绳长差l(t)=l1(t)-l2(t)，将式(6)—(8)联立，可得

(9)

(10)

(11)

在系统的运动过程中，两侧绳长l1(t)、l2(t)以及绳长差l(t)是在随时间不均匀变化的，其中左侧绳长l1(t)单调递增，右侧绳长l2(t)单调递减，绳长差l(t)单调递增，因此由式(9)得出，重物运动的加速度大小随时间单调递增.

设系统运动了t时刻后，左右两边重物分别上升或下降了h的距离，得到

l(t)=l1(t)-l2(t)=[l1(0)+h]-[l2(0)-h]=

l(0)+2h

(12)

(13)

对上式进行求解得到h与时间t的关系如下：

(14)

将初始条件设为距离h(0)=0，h′(0)=0，可以求出常数C1、C2，得到

(15)

这与文献[6—8]中分别运用牛顿第二定律和拉格朗日方程推导得到的结果一致.为了讨论方便，可以取l(0)=0，得到

(16)

上式对时间求二阶导数得到

(17)

记绳的总长度为l0，则上式化为

(18)

在讨论绳子质量m0对系统的影响时，我们令绳子的总长度l0不变.

(19)

设两侧重物质量分别为m1=5 kg，m2=4 kg，绳质量分别为0 kg(对应轻绳情况)、2 kg、4 kg，滑轮质量为1 kg. 将数值代入式(19)并利用Mathematica软件作图. 如图3所示，当绳质量为零即绳质量可忽略时，重物加速度为一常量. 当绳质量不可忽略时，重物加速度随时间增长，且增长速率越来越快. 从图中可以关注到，在运动的开始阶段，绳质量越大，加速度越小. 因为在初始状态滑轮两侧力矩之差主要来源于两侧重物的重力矩之差，根据力矩M矩=Jα，J为系统总转动惯量，绳质量越大系统总转动惯量也越大，因此角加速度就越小，进而导致加速度也越小.而后随着时间的增长，左右两侧的绳长差越来越大，质量差也越来越大，滑轮两侧力矩之差也越来越大，导致加速度越来越大，最后超过轻绳情况下重物的加速度.此后绳质量越大，绳增长的速率越快.

图3 不同绳质量下加速度a(t)与时间t的关系

现在，探讨速度v与运动距离h之间的关系.将式(12)代入式(9)，并与a=dv/dt=vdv/dh联立得

(20)

与前述加速度的处理方法相同，令l(0)=0，则上式化简为

(21)

(22)

设两侧重物质量分别为m1=5 kg，m2=4 kg，绳质量分别为0 kg(对应轻绳情况)、2 kg、4 kg，滑轮质量为1 kg. 将数值代入式(22)并利用Mathematica软件作图. 如图4所示，随着运动距离的增加，速度单调递增；在运动的开始阶段，运动相同距离，绳子的质量越大，重物的速度越小；在运动一段距离后，绳子的质量越大，运动速度越大. 这是运动过程中不同阶段，绳质量大小对加速度的影响而导致的结果.

图4 不同绳质量下速度v(h)与h的关系

2 结论

本文讨论了滑轮和重物系统的动力学问题，在滑轮与绳不能忽略的情况下，本文运用动量定理直接分析了滑轮重物系统的动力学方程，给出了阿特伍德机重物加速度的解析表达式，与已知文献的结果一致. 从本文可以看到动量定理方法使分析过程更为简化，更能直接看出滑轮运动过程的物理图像，也为大学物理中的动量定理部分的教学和应用提供了一个典型案例；同时我们研究了绳子质量对系统加速度a(t)、速度v等运动学量的影响，使我们对阿特伍德机的运动规律有了更深刻的理解.