旋转液面的光学性质探究及应用

刘天奇，冯一辰，张蒙玥，李 安

(1. 北京师范大学 物理学系，北京 100875； 2. 北京师范大学 天文系，北京 100875)

众所周知，光在两种介质的表面会发生透射和反射.如果把空气视为一种介质，并把一种液体视为另一种介质，那么光就会在液体和空气间的表面发生透射和反射.我们知道，液体相对于一般制作光学元件所用的玻璃等材料而言具有更好的可塑性，因此，利用液体制作理想的光学元件、光学表面以用于成像也是一种可行的方案.

国际上也有利用旋转的液体表面作为天文望远镜主反射镜的先例，例如加拿大的大型天顶望远镜(Large Zenith Telescope)就是一款口径达到6 m的以旋转的液态汞作为反射介质的天文望远镜[1].当然，正如其名称所言，由于旋转所产生的抛物面是由重力和离心力综合作用而成，因此该望远镜的主光轴与重力加速度方向重合，也就导致了它只能观测天顶附近的区域.

本文主要介绍了利用简单的实验仪器测量旋转液面的焦距与其转速的关系，随后利用液态金属镓作为反射介质制成了一个简易的望远镜，同时我们利用在望远镜前加装折光反射镜的方式大幅扩大了望远镜可以观测的方向.

1 理论分析

考虑到液体容器口径较大，我们忽略液体与容器边缘接触所产生的边缘效应.一个理想的圆柱形容器绕自身轴旋转，这个旋转轴沿竖直方向.考虑对称性，稳定后液体各处也均绕这个轴旋转.

如图1所示,设圆柱形容器半径为R，稳定状态下液体转动角速度为ω，当地重力加速度为g，那么，旋转的液体表面是一个沿轴线旋转对称的曲面.我们不妨作一个过轴线的平面，轴线为z轴，竖直向上为正方向；水平方向设为r轴，r表示该点到圆柱轴线的距离.取旋转曲面上一个小质元dm进行分析.

图1 旋转液面的受力分析

稳定状态下，质元dm受到重力和垂直于表面该点的支持力dN.这个支持力与竖直方向的夹角设为θ，有

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考虑到我们建立的坐标架，有

(2)

从而

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从实际的物理情况可以知道，曲面最低点在z轴上，不妨设该点为原点(z=0,r=0)，从而有

(4)

得到曲面的方程为

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这是一个旋转抛物面.从抛物线的性质以及费马原理可以知道，焦点所在位置是

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平行光平行于这个旋转抛物面的轴线入射，则反射光在该处汇聚.考虑到抛物面的顶点为其光学面的主点，而根据抛物面的解析式不难看出其顶点与零点重合，因此可以得出该光学系统的焦距为

(7)

基于上述推导过程，我们就可以通过控制盛有液体的容器绕轴转速来调整其焦距，并利用这一焦距可调的抛物面系统来进行各种光学实验探究.

2 实验装置及方法

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图2 探究焦距与转速关系的实验装置

采用转台带动盛水容器转动，将竖直入射的激光扩束后照到盛水容器中，用一个竖直高度可调节的小光屏承接激光经汇聚后所成的像，测量像距，由于从激光器出射的光可被视为平行光，因此经过扩束装置后可被视为一个点源.所以该系统中的物距始终为扩束装置主点到抛物面顶点的距离，通过改变容器的转速测量出不同转速下的像距，根据高斯公式即可计算得到在不同转速下抛物面的焦距.

利用相同的原理也可以制成一个反射式望远镜，在这里我们采用的是牛顿焦点系统反射式望远镜，传统的牛顿焦点系统构型[3]如图3所示.

图3 传统牛顿焦点系统示意图

我们将主反射镜替换为转轴与竖直方向重合的旋转液面，此外，在镜筒外我们添加了一个用来偏折光线的平面镜将不同方向的入射光改变为竖直向下(沿系统主光轴方向)的光线.在实际操作上相对于探究焦距与转速关系的装置保持构型基本不变，将光源和扩束装置改为偏折镜，同时在光路中加装一个牛顿式望远镜的镜筒(即去掉主镜的支架)，入射光线经过偏折镜、主镜和副镜三次反射至成像镜筒之外的牛顿焦点处，在实验中，我们既可以利用肉眼直接通过望远镜观察远距离物体，也可通过手机等拍摄设备在牛顿焦点处得到物体的像.

在主反射镜方面，考虑到需要远处物体的光强较弱，我们采用了液态金属镓这一反射率远高于水的液体.镓的熔点约为30 ℃，在水浴熔化后将之导入旋转容器，此外在表面铺上一层透明的液体甘油防止镓氧化，并利用电机驱动整个容器旋转，同时利用转速计实时显示当前容器的旋转速度，简单调节光路后即可观察各种远处物体.

3 实验结果及分析

在探究液面焦距与转速关系的实验中，我们将测得的焦距f与转速平方的倒数ω-2进行线性拟合，结果如图4所示.

图4 焦距f与转速平方的倒数ω-2图像

根据线性拟合的结果可以计算出当地的重力加速度为9.818 m/s2,而北京地区的重力加速度约定值为9.802 m/s2,相对偏差不到千分之二，由此可见该方法的测量准确度是很高的，这也从侧面体现了前述理论的适用性.

在利用旋转液面制作反射式望远镜的实验中，我们将通过望远镜观察的景象与通过手机直接放大拍摄的景象放在同一张图中进行对比，如图5所示(左为利用望远镜拍摄，右为利用手机直接放大拍摄).

图5 望远镜成像与手机直接拍摄的对比

由于系统仍存在抖动，且在转速控制上受到现有装置的限制，成像质量与手机直接拍摄仍有一定差距，但我们仍然能够明确地分辨出图中的物体.

为了进一步定量探究其放大效果与转速的关系，我们保持望远镜指向的物体不变，固定拍摄用的手机位置不动，通过调整容器的转速，在每个转速下重复拍摄三张照片，测量在不同转速下相同景物上相同两点间的像素距离并对三张照片取平均值，以此可以反推出当前转速下望远镜系统的像放大率.

我们假设被摄物距为|s1|，望远镜的主点到手机镜头光程为L，镜头到CMOS距离为d，每次拍摄时均为对焦清晰的状态，那么利用成像公式和被摄物到主镜的光程远大于L这一条件和式(7)，可以推导出横向放大率为

(9)

(10)

比例系数是一个无量纲常数.改变ω并测出对应的α,取x=ω2从而可以对有理函数：

(11)

经实验测量出望远镜的(相对)横向放大率与转速的关系，在不同转速下拍摄的图像如图6所示.

图6 不同转速下同一目标的像(从左至右转速逐渐减小)

从上图不难看出随着转速减小，主镜焦距[4]增加，放大率增加的趋势.

图7 (相对)横向放大率与ω2有理函数拟合

与此同时，我们粗略测量了望远镜主点到手机拍摄点的距离[由于手机很薄，因此该距离可被看作式(9)中的L]约为1 m.拟合结果中有q2=-4.957,取g=9.801 m/s2，计算得L=0.98 m，与测量值接近.

4 对于像质的讨论

在本实验中，最终成像的像质受到诸多因素的影响，其不完美性体现在两部分：一部分是理想抛物面(也就是镜面误差在波长量级的理想状态，可以忽略镜面本身的误差)带来的像差，另一部分是产生的反射面本身与理想抛物面之间还存在一定差距，这也就是镜面误差，抛物面误差和镜面误差共同组成了该系统的像差.考虑到旋转液面的形成机理，镜面误差的成因可以归因到某类外界的力的扰动.

由于系统采用反射式抛物面，因此原理上不存在球差和色差.同时，观察图5中左右两张图不难看出，左图相对右图而言中心部分更加清晰而周边的部分没有那么清晰，这是很明显的场曲.当然，如此严重的场曲不完全是因为抛物面引起的，镜面误差在其中也扮演着很重要的角色.至于彗差、像散、畸变这三种像差，在当前的实验条件下其它的干扰因素已经将它们掩盖，无法直接从拍摄样张中看出，在未来提升了硬件水平后会有更直观的体现以及更详细的分析.

而镜面误差是本系统中影响成像质量的主要因素，在干扰来源方面，它主要是由系统中的高频振动导致的液面抖动以及转速的不稳定性构成.电机的转动、外界风的扰动等都会导致系统发生频率较高但振幅不大的振动，这体现在反射面上就是表面会以抛物面为基准进行小幅的涨落.在图5的下半部分，由于图像较亮，因此很容易看出这并不是一个非常清晰的像，而是有一定波纹扰动的效果，这正是这种抖动的体现.同时，该抖动不但会影响成像结果，而且会影响整体的对焦，对焦质量则直接影响着最终的成像水平；除此之外，转速的不稳定(这里的“不稳定”指的是容器转速存在幅度比抖动更大，但频率很低的缓慢变化)也会使得焦点位置上下飘动，从而对最终成像的结果造成干扰.

5 小结与展望

1) 利用旋转的容器创造了一个可以用来聚光的液体抛物面，探究了焦距与转速的关系，并利用此原理较准确地测量了当地的重力加速度.

2) 采用旋转的液态金属镓作为牛顿焦点系统的主反射镜制成了一台简易望远镜，同时利用偏折平面镜扩大了望远镜可观察的角度范围，解决了旋转液面望远镜只能观察天顶的问题.

3) 测量了旋转液面望远镜的像放大率与转速之间的关系，并与理论的推导进行了对照，在数据走势上与理论推导高度一致，分析了数值上与理论的偏差.

4) 分析了旋转液面望远镜成像像质的影响因素，分析了该望远镜存在的像差，明确了未来的改进方向.

从对像质的讨论中不难看出，外界的高频振动以及电机转速不稳定是该系统现阶段的主要问题，经过调研后，未来我们将采用空气轴承作为转台与外部的连接装置，它能够有效地减弱外界抖动向容器的传递，同时将改用转速更为稳定的电机如步进电机等，相信一系列改进后，整个装置的成像质量将有更大的提升.

致谢：感谢北京师范大学物理实验教学中心提供的器材支持、物理学系的白在桥老师与王爱记老师对本实验的支持，以及天文系张文昭老师提供的实验场地和部分实验设备.