“圆锥曲线”解题教学课例

杨胜凯

摘要：2020年贵州省教科院立项课题《高中数学“一题一课、多解变式”复习模式的实践研究》（课题编号：2020B080），课题组成员立足于高考真题进行课题研究而形成的一题一课、多解变式教学案例。通过对2017年全国Ⅰ卷文科数学第20题的研究，以落实数学核心素养为载体，去研究一道题得到一类题的通性通法的解法，从而全方位、多角度地挖掘学生潜在的数学解题思维，培养学生问题探究意识和问题解决能力。该课例已运用于课堂，效果较好。

关键词：数学核心素养;一题一课;圆锥曲线

一、教学设计

（一）知识点

抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系，弦长计算及方程思想、转化化归思想.

高考真题：（2017年全国Ⅰ卷文科数学第20题）设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1） 求直线AB的斜率;

（2） 设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

（二）学习背景

1.教材分析

高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一;2.以椭圆或抛物线为背景，题型灵活多变，由于向量、导数等内容的充实，圆锥曲线逐渐向多元化、交汇型发展.尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.

2.學情分析

圆锥曲线作为压轴大题，难度使许多考生高不可攀，也是学生最容易失分的地方;圆锥曲线的难点不仅是其自身的一些基本性质，还常将其与向量，不等式，函数等综合在一起，难度更是雪上加霜令不少考生绞尽脑汁;其实考生都熟悉圆锥曲线的一些基本性质，但对其性质的灵活多变及运用却不容易;本课着重分析高考中圆锥曲线的解题方法和思路，比如常用的韦达定理运用，及向量有关（双根法）、双斜率问题等，尽可能做到"授人以鱼，不如授人以渔".训练学生对问题进行分析，思考，探索，解决的方法，教导学生认真仔细寻求正确的方法解决问题.

3.核心问题

（1）知识层面，根据圆锥曲线的概念及其性质出发，用代数语言表示几何元素，进而用解析方法（坐标法）解决几何问题

（2）学生层面，首先，从题目中的基本量出发，找到圆锥曲线变量之间的关系。然后通过不同的方式方法去解决变量之间的关系。教学过程中想要做到尽量创新，就应该坚持从实践到探索再到学习的循序渐进的过程。高中数学圆锥曲线教学中培养并激发学生的学习兴趣便尤为重要。

（三） 学习目标

1.核心素养目标：此题考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养能力.

2.长见识悟道理：

长见识要求：解题过程中，要适时审题，联系知识点之间的关系，要善于发现问题与结论或性质之间的联系，切实做到优化解题路径.

悟道理要求：数学学习中，既要关注常规方法，又要关注非常规方法，做到思考到位，功夫到家.

二、教学过程

（一）一题多解

1.第（1）问的问题分析

审题，已知A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4，则可通过斜率公式去找到他们之间的关系，从而求出斜率。

（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1≠x2，，，x1+x2=4，

于是直线AB的斜率.

教学研讨：①根据斜率公式，利用基本量两个点直接代入化解，直接代公式就出结果.教学过程中，学生应该注重基础知识，同时引导学生在圆锥曲线的第一问应该是拿分点，要勇敢去争取.

2.第（2）问的问题分析

①利用韦达定理解决问题

欲求直线AB的方程，在第一问的基础上可以知道直线AB的斜率，要求直线的方程，只需要一个条件去化解就可以得到答案.

解法1：由（1）知，设直线AB的方程为y=x+m，M（x3，y3），

由，得.

由题设知，解得x3=2，于是M（2，1）.

由，化解得x2-4x-4m=0.

∵△=16（m+1）>0，即m>-1，，

∵AM⊥BM，

，

，

化解得，

即，解得或（舍），

所以直线AB的方程为.

教学研讨：直线与圆锥曲线联立消元，用韦达定理去找题目中联立的关系式子，此方法经常用来求解直线过定点的问题。但是在最后找到关系式，用或y1+y2、y1·y2代替化解时，计算量特别大，很难化解到最后的答案。同时解决此类问题，也可以找到一些相关性质化解。比如，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半;设线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|.从x2-4x-4m=0，求得，从而.由题设知|AB|=2|MN|，即，解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.

三、教学反思

圆锥曲线在高考中是一个压轴题，很多学生望而生畏。平时在教学过程中，往往是教学生通过引进坐标系，借助“数形结合”思想，来研究曲线本身的方程和简单几何性质，以及直线与曲线的位置关系及弦长等问题。 我们知道“解析法”思想始终贯穿在这全章的每个知识点，同时“转化、讨论”思想也相映其中，无形中增添了数学的魅力以及优化了知识结构。

四、学习巩固

1.（2013年天津）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点。若，求k的值。

2.已知椭圆E：的右焦点为F（1，0），过F且与x轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程;

（2）直线l过点F与椭圆交于A，B两点，问x轴上是否存在点P，使为定值？若存在，求出P的坐标;若不存在，说明理由。

3.已知椭圆C：，若直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以线段AB为直径的圆恒过椭圆C的右顶点。求证：直线l恒过定点，并求出该点的坐标。