小学数学结构化学习研究

马旭光 杨海华

摘要：结构化学习是指学生基于已有认知结构，以学科知识学习为载体，自主经历个性化认知过程并自觉建构整体关联的学习方式与方法。小学数学结构化学习具有帮助学生理解知识逻辑、促进学生完善认知结构、引导学生形成思维结构的价值。通过梳理知识体系、把脉认知结构、引发深度思考，实现数学知识结构化、儿童认知结构化、儿童思维结构化。

关键词：结构化学习;学习迁移;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2022）01B-0043-05

数学，常常被称为“结构的科学”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“数学知识的教学，要注重知识的生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部和整体的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析、从不同层次进行理解。”[1]数学的学科特点呼吁一种新型的学习方式——小学数学结构化学习。通过对小学数学结构化学习的理论内涵和价值认知的梳理阐释，提出小学数学结构化学习的实践策略，将有助于小学数学学习效益和小学生数学素养的提升。

一、小学数学结构化学习的内涵

布鲁纳的结构观指出，任何学科都拥有一个基本结构，掌握学科的结构就是以允许许多别的事物有意义地相互关联的方式理解该学科。习得结构就是学习理解事物是如何相互关联的[2]3。美国认知心理学家奥苏贝尔也认为，意义学习就是将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系[3]。认知建构主义心理学家乔纳森提出知识获得的初级学习、高级学习和专家知识学习三阶段理论，其中专家知识的学习依赖精细的结构和图式化的模式，并能通过同化、顺应和重组产生更加精细的结构和图式化的模式[4]。另外，格式塔心理学家认为，学习的过程就是一个不断建构完形（整体认知结构）的过程[5]。因此，任何学科都是有结构的，学生的学习其实就是认知结构的不断完善，在功能上，结构化有助于全面理解学科知识的本质和逻辑关系，有助于学生学习迁移。

国内专家学者也对结构化学习做了阐释。江苏省特级教师吴玉国指出：“结构化学习是指学生在已有认知结构的基础上，以学科知识学习为载体，自主经历个性化认知过程并自觉建构整体关联的一种学习方式与方法。结构化学习指导能有效提高教师专业化教学水平，科学提升教学的品质与效益。学生通过结构化学习，学会结构化的学习方法，培养结构化学习的思想意识，进入深度学习并提升具有个性化整体关联特征的综合学习能力与品质。”[6]许卫兵认为：“结构化学习是指建立在数学知识系统和学生已有认知基础之上的，以整体关联为抓手，以动态建构为核心，以发展思维为导向，以基础学力与数学素养为目标追求的学习过程、学习方式和方法。”[7]

综上所述，结构化学习至少包括这样三个方面的概念：一是学科知识结构化。学科知识结构化主要是指学科知识的整体结构和知识间的逻辑关系，这是一种从静态结构走向动态建构的过程，学生在这个过程中不断理清知识的来龙去脉，感受知识的关联，进而理解知识的本质。二是学生认知结构化。学生认知结构化是学生基于自身经验（包括生活经验、学习经验、活动经验等）进行知识的同化和顺应，不断建构知识体系，从而完善自身认知结构的过程。三是学生思维结构化。培养学生的思维结构是结构化学习的最高境界，体现一定的层次性和系统性，是让学生在原有的认知基础上，通过结构化任务探究，有意识地、主动地建构新的知识，形成更加完善的思维结构。

二、小学数学结构化学习的价值

小学数学结构化学习的学习原理，是学生以知识学习为载体的认知心理发生发展规律，是学生在学习过程中基于学习“经验的意义”而建立心智发展的结构图式。结构化学习是学生深度学习的基础和前提，深度学习也强调学生的个体经验、系统思维和结构能力的共同参与。同时，结构化学习也是学生学科核心素养发展的重要保证，是学生准确把握知识的逻辑结构和本质，促进个体认知结构的生长与完善、结构化思维的形成与应用的重要学习方式。

（一）帮助学生理解知识逻辑

学生在教师指导下对知识结构的教材形态、科学形态与学习形态不断还原，发现数学本质，找到核心元素，明晰动态结构，把握教学内容与目标。进而，学生在数学知识纵横体系梳理中明晰其逻辑意义，体悟其知识场域，了解单元知识整体性的学科价值，尤其是数学单元整体目标、阶段目标与课时目标的相互联系与融合等。

（二）促进学生完善认知结构

第一，激活儿童的认知经验。学生在生活情境再现的基础上，主动对接自身的认知经验，基于已有的学习起点，不断顺应和同化新知识，把新知识纳入已有的结构体系中去，体悟知识的本质内涵。第二，关联数学概念的本质意义。在师生共同创造的支撑性认知场域中，学生运用创造性工具，突破数学学习认知困难，在合作探究中自然地观察、理解与表达，学会多元表征，促进学生经验碰撞、内化与积累，建构可被不同个体理解的数学模型。

（三）引导学生形成思维结构

小学数学教学的本质就是培养学生的思维，并引导学生运用数学思维解决实际问题，培养学生思维的逻辑性和指向性，形成与儿童年龄特征相符合的思维结构。结构化学习就是通过结构化的学习材料、学习活动、学习评价，引发学生深层次地思考数学问题，形成良好的数学思维习惯，并能在解决新问题的过程中，灵活迁移数学思想方法，不断反思，完善自我认知图式，提高元认知水平，从而促進心智开放与发展，提升面向未来成长的思维品质。

三、小学数学结构化学习的实践样态

（一）梳理知识体系，实现数学知识结构化

数学知识并不是零散的、碎片式的、杂乱无章的信息，而是有逻辑、有结构、有体系的知识。知识结构化更是学生以整体视角对所学知识系统地进行梳理，形成清晰的知识脉络结构，在知识的整体与布局、本质与现象的联系中掌握并理解知识的结构的动态过程。所以，知识结构化是结构化学习的重要前提，学生在经历知识结构化过程中，不断得到经验的改造、知识本质的理解、数学技能的提升、学习方法的启迪、数学思想的浸润、情感的体验和精神的洗礼，最终促进心智的发展和数学素养的生长。

一是要重视知识的纵向贯通。纵向贯通相当于知识“瞻前顾后”，是上位知识与下位知识的关系，体现知识的生长与延伸。比如教学苏教版《数学》四年级下册“认识多位数”时，要把各个阶段认数的知识联系起来思考。学生从一年级开始学习认数，分别经历了认识10以内的数、认识11—20各数、认识100以内的数、认识万以内的数，再到四年级认识多位数，其实每次认数的提升都是数位的不断扩充和计数单位的不断变化，而数的组成、十进制规律、数位和计数单位的对应关系都是一样的。学生把前后知识梳理清楚了，就会发现知识之间的逻辑体系，从而形成稳定的结构化知识。

二是要重视知识的横向关联。横向关联相当于知识的“左顾右盼”，就是把不同类型的处于并列关系的知识联结起来，形成知识链。这样有助于学生理解知识之间的相互关系，感受知识的整体结构。比如教学苏教版《数学》五年级下册“异分母分数加减法”时，教师一定要引导学生分析异分母分数加减法和整数加减法、小数加减法之间的联系。引导学生发现无论整数加减法的个位对齐还是小数加减法的小数点对齐，其目的都是使得相同数位对齐，因为计数单位不同不能直接相加减。迁移到分数也一样，通分的目的是为了统一计数单位（分数单位）。这样的学习，才会让学生横向关联知识，学得更清晰，思维更加深入。

三是要重视纵横融通的整体教学。纵横融通就是知识的“纵横交错”，数学概念很多时候并不是单向联系的，而是立体式系统关联的。教学时，我们要充分重视知识的来龙去脉和纵横关系，帮助学生建立完整的、立体式知识结构。比如教学苏教版《数学》五年级下册“分数的基本性质”时，既要引导学生从分数的意义进入，通过分一分、折一折、想一想等活动感受一类分数的特殊关系：分母和分子都不相等，但是分数的大小是相等的。最后学生发现这些分数的分子和分母存在着相等的“倍数关系”，归纳出分数的基本性质。还要引导学生把分数的基本性质和除法中的商不变规律、比的基本性质联系起来思考，寻找不同知识之间的内在关联，获得经验的生长。

（二）把脉认知结构，实现儿童认知结构化

认知结构化是将学科知识结构嵌入学生已有经验中，重新建构意义并解决问题，逐步把学生获得的学习经验转化为认知结构的动态过程。认知心理学强调：当学习对象与学习者的经验、经历发生共振，感知到的信息与脑中已有信息发生实质性的联系，促进原来认知结构发生实质性的改变，就能形成新的认知结构，在新的环境中能主动应用已有经验解决实际问题，并日趋完善时，学习就悄然发生。所以，学生的数学学习本质上是数学认知不断发展的过程，学生的认知结构化是结构化学习的关键。

一是要重视学生的认知经验的激活。学生的已有认知经验为新知识的探究提供了逻辑生长点，基于学生的认知起点，开展丰富多彩的表征活动，丰富学生对于新旧知识连接点的理解，把新知纳入学生已有知识体系中去，实现学生认知结构的进一步提升与完善。比如，教学苏教版《数学》五年级上册“认识负数”，学习伊始，让学生说一说在生活中有没有遇到过负数，再组织大家通过画一画、写一写、说一说的方式把自己理解的负数表示出来。这样的教学就是充分尊重学生的认知基础，他们的前经验就是负数概念学习的开始，基于学生的个性化理解再组织讨论、交流、归纳、统一，负数的概念建构就水到渠成了。

二是要重視学习材料的结构关联。皮亚杰的认知发展理论认为：学生的认知结构建构过程，就是同化与顺应之间不断平衡的动态过程[2]35。要想使学生顺利完成知识的回忆、再认识，与旧结构发生联系，那么教师提供给学生的学习材料就要具有逻辑的意义，学习内容要和学生的已有认知基础之间存在实质性关联。比如，教学苏教版《数学》五年级上册“小数的意义”，可以组织学生从生活、分数和整数三个方面展开研究。首先是引入生活中的小数。学生在生活中其实已经大量接触到小数，也能大致了解小数的大小，但是不知道小数表示的意义，从生活经验去理解小数的意义更加符合学生的认知规律。其次是根据十进分数与小数的关系理解小数，十分之几就是一位小数，百分之几就是两位小数，千分之几就是三位小数……小数和分数一样也是“均分”出来的。最后是理解小数与整数的关联，从小数点向左“满十进一”得到个、十、百、千等计数单位，向右则是不断均分，分别得到十分之一、百分之一、千分之一等计数单位。整数、小数部分都是十进制，基于位值上的理解本质是一致的。这样的结构关联才能让学生对小数的理解自然、深刻、有意义。

三是要重视学生经验的迁移与循环。学生学习的价值在于迁移应用，也就是学生经历探究、反思、辩论、汇报等一系列实践活动体验，积累活动经验，促进心智发展，并实现在新情境中自觉迁移应用、循环上升。比如，教学苏教版《数学》五年级下册“因数和倍数”时，学生通过2、3、5的倍数的特征探索，经历了合情推理和演绎推理，建立了丰富的规律探究的经验。但是，学生的学习远没有结束，而是可以利用这些经验自觉迁移到4、7、9、11……倍数的特征研究，之后再和2、3、5的倍数特征进行对比，寻找这些规律之间的联系和区别，获得经验的生长和心智的完善。

（三）引发深度思考，实现儿童思维结构化

思维结构是主体能动认识世界所建立的概念、判断、推理的框架及其相互联结、转换和互动的形式。思维结构化是结构化学习的最终目标和价值追求。郑毓信教授指出：只有将数学思维的分析渗透于具体数学知识内容的教学之中，我们才能使学生真正看到数学思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和可以加以推广应用的;只有通过深入地揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法，教师才能将数学课真正“教活”“教懂”“教深”[8]。

一是思维层级结构不断进阶。学生的思维结构是在认知发生发展过程中，有层级的认知结构，可以分为动作感知思维、程序描述思维、概念符号思维和模型结构思维等。同时，这几种思维相互融合，不断进阶。比如，教学苏教版《数学》三年级上册“认识分数”时，首先让学生用圆纸片代替一块月饼折一折、分一分、涂一涂，再让学生用自己的语言描述什么是这块月饼的二分之一，然后抽象成分数符号“1/2”，理解分母表示平均分的份数，分子表示取的份数，最后推广到平均分成3份、4份、5份……就可以得到其他不同的分数。其实，分数概念的学习过程就是学生经历动作感知、程序描述、符号化和模型建构的思维过程。

二是拥有结构化的思维方式。美国教育学家克罗韦尔指出：“教育面临的最大挑战，不是技术，不是资源，不是责任感，而是拥有新的思维方法。”[9]从认识论的角度分析，可以把思维方式看作人的认识定式和认识运行模式的总和。从个体的角度分析，思维方式是个体思维层次（深度）、结构（类型）、方向（思路）的综合表现，是一个人认知素质的核心。结构化的思维方式是用系统思维和普遍联系的思维去思考问题、解决问题的过程。比如，教学苏教版《数学》五年级上册“多边形的面积”单元的第一课时“平行四边形的面积”，在学生猜想平行四边形面积与哪些元素有关后，组织他们开展相关探究活动。学生通过剪、移、拼等操作把平行四边形转化为长方形，根据长方形面积公式和转化前后两个图形的联系，成功推导出平行四边形的面积公式。学生有了这样的经历，就自然而然积累了“转化”的数学思想方法，并形成把未知图形转化为已知图形的一般思维方式。之后就能把平行四边形的面积公式的推导过程迁移到三角形、梯形、圆等图形面积公式的推导中去，以结构化的思维方式实现自主学习。

总之，结构化学习是以知识结构化为基础，以学生认知结构化为纽带，以学生思维结构化为目的的有意义学习，也是师生积极参与，全身心投入，深刻理解学科本质，掌握学科核心知识，把握数学概念本质和思想方法的重要学习动机。更重要的是，结构化学习指向学生学科素养的发展，聚焦“学科育人”的本质，促进学生心智发展日趨成熟。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：45.

[2]布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982.

[3]陈园园.有意义学习理论的比较与启示[J].淮南职业技术学院学报，2017（1）：87.

[4]张亚妮.教师教学实践智慧生成机制深析[J].西安电子科技大学学报（社会科学版），2016（3）：119.

[5]周琴.“格式塔”心理学派的“整体论”思想评述[J].淮南职业技术学院学报，2017，16（6）：45.

[6]吴玉国.结构化学习指导提升教学品质与效益的研究[J].江苏教育研究，2018（6A）：28.

[7]许卫兵.结构化学习：回归“本原”的课堂实践[J].小学数学教与学，2018（11）：65.

[8]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015：5.

[9]钟启泉，崔允漷.核心素养与教学改革[M].上海：华东师范大学出版社，2018：86.

责任编辑：贾凌燕