初中数学《锐角三角函数》第一节教学设计

闵丹丹

一、内容分析

本节课是北师大版数学九年级下册第一章第一节，是本章节的起始课，包含章节起始内容。教师在教学时必须突出章节的核心知识或核心研究方法，必须能帮助学生自主构建知识结构与认知结构。数学章节起始课既要体现数学教育的本质，同时也要充分体现教育的社会目标并符合教育规律。

学生经过观察生活中梯子倾斜程度不同的现象，探索、发现直角三角形的边角之间的关系。在这个学习的过程中，发展学生观察、分析、发现问题的能力。从生活中的现象抽象到几何图形，并有目的、有方向地进行计算，体会数形结合的思想，感受问题转化的思想，学会问题转化的解决思路。在本节课还会用到以前学过的一些关于直角三角形的知识，学生将进一步体会数学知识之间的联系，也为进一步学习其它数学知识奠定基础。

引入正切的概念，会在直角三角形中计算某个锐角的正切函数值。理解正切的意义，会应用正切的含义解决生活中的实际问题：哪个梯子更陡。同时引入坡度的概念，让学生理解正切也经常用来描述山坡的坡度。在坡度的学习过程中，学生要认识坡角，学会找坡角，理解坡度即为坡角的正切函数值。在本节课的学习过程中，学生感受到数学与生活的联系“数学来源于生活又应用于生活”，激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性。

《义务教育数学课程标准（2021年版）》对三角函数知识的要求是：利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°、45°、60°角的三角函数值;会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由三角函数值求它的对应锐角;能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。考虑到三角函数在高中将继续延伸学习，也是中考必考热点和难点，所以在本章的学习过程中需要安排部分内容供学有余力的学生进行探索学习，也可用课外自主探究。

教学重点：1.会计算直角三角形中某锐角的正切函数值;2.利用正切函数值解决生活中的问题;3.理解坡度与正切的关系。教学难点：理解梯子的倾斜程度与tanA之间的关系。

二、学情分析

学生对直角三角形的边角关系有了初步的了解，能够对生活中的问题用数学的方法进行探索活动，但是不能准确描述问题并找到解决问题的方法。学生对于基础概念的掌握较好，但是将概念运用到生活中去还需要多练习。学生处于初三下学期，对于分析问题、解决问题的能力相比初三上学期有较大提高。该年龄段的学生希望得到同学们的关注，渴望教师和家长的尊重和理解。所以，教师在课堂上应当给学生更多的展示机会，培养学生组织小组成员合作完成任務的能力和与人沟通的能力。

三、教学目标

1.知识和技能：（1）理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系;（2）了解坡度、坡角等概念，并能用正切进行简单的计算。2.能力与素养：经历探索刻画梯子的倾斜程度的过程，逐步学会利用数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想。学会分析问题和解决问题，感受数学与生活的联系。

四、教学过程设计

首先从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切。因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，如，刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。本节课分为课前学习、课堂活动、课后延伸三个环节。课前学习后要完成5个小测题，教师根据小测情况进行二次备课。在课堂活动中，教师采用小组合作学习的方式，探索数学问题;课堂上采用上板书写的方式展示出学生学习的问题并及时有针对性地进行点评与讲解，做到课堂的高效学习。课堂最后5分钟为课后小测时间，学生完成5个与课前小测相呼应的5道题，检测学习效果，教师根据小测情况进行下节课的备课。学校采用阅卷软件进行扫描，可以快速得到小测数据，让教师在分析学生情况时更准确。教学流程：三阶段（课前、课中、课后）和八环节。

（一）环节一：课前学习，引发思考

引发思考：梯子的倾斜程度用什么办法来判断更好呢？

教师活动：课前作业评价，进行奖励，对学情进行分析，提出学生薄弱的知识点，并提出本节课的学习要求。

学生活动：学生认真听课前学习评价，了解本节课将要解决的主要问题。借鉴做得好的同学的做法，提高下次预习的质量。

设计意图：在教师点评前，学生明白自己的课前学习情况，带着收获和疑惑走进课堂，目标更明确。

（二）环节二：课堂交流，凸显问题

通过课前学习，学生已经初步掌握判断梯子是否更陡需要数据作为依据，不能仅凭直观感受，但是数据如何使用尚不清楚，方法也多种多样，没有形成最佳方案。

教师活动：引导学生交流讨论哪个梯子更陡，具体是怎样判断的，有几种判断方法。

学生活动：小组交流每个人的方法，讨论这个方法的合理性，小组长汇总整个小组的方法，做好发言准备。学生在讨论时正确表述自己的发现与认识。

设计意图：一题多解，发散学生思维，总结寻找旋转角的办法。学会和人沟通，在沟通中大胆表述自己的意见，在不同意见中总结最佳方案。

（三）环节三：引入概念，获取新知

基于上面多种方法的展示，得到统一认识，判断梯子的倾斜程度可以用直角三角形中边的比值来确定，但是上题中展示的梯子倾斜程度都不同。此时，展示倾斜程度相同时，边的比值又有什么变化？并且，教师此时引入本节课新知概念：正切。在学生展示并且有了初步结论后，教师用几何画板演示，当∠A变与不变时，让学生观察对边与邻边比值的变化，观察梯子倾斜程度的变化，利用多媒体动画让学生加深印象。

教师活动：1.问题：从梯子的倾斜程度这样的实际问题转化为几何图形进行探索。引导学生观察，当直角三角形某锐角不变时，对边与邻边的比值如何变化。要求学生先独立完成问题①②③，再进行小组交流，交流后小组派代表向全班同学展示本小组的结论。

2.布置小组合作任务和要求：（1）讨论：2号学生回答第①问;3号学生回答第②问;1号学生回答第③问;4号学生做好笔记，说出结论。（2）展示：选出讨论发言最流利的学生代表小组向全班进行展示。

3.引入新知：如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。教师需要板书此概念，并且让学生认识直角三角形ABC中，∠A的对边与∠A的邻边。

4.重难点突破：在学生完成討论和展示后，教师再抛出问题：梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？

学生活动：观察图形，求出比值，得出结论。认识并理解正切的概念，如果锐角确定，那么角的对边与邻边的比值也随之确定，这个比值叫作角的正切。学生在合作中进行分工，在交流中学会沟通。

设计意图：学生从对生活中的实例分析转化到几何图形的分析，发展学生的转化思想，渗透学生对概念的理解。用几何画板演示动画，既能帮助学生加深理解正切涵义：当锐角变化，tanA的值也随之变化，tanA的值越大，梯子越陡;也能激发学生的学习兴趣。学生学会与人合作交流，向全班展示，满足初中生渴望被关注的心理需要，让学生更有自信。学生经过前面的探索过程，发现tanA的值越大，梯子越陡，从而突破本节课的重难点内容。

（四）环节四：例题演示，形成规范

教师活动：教师给出1道例题，图中两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？可以让学生思考后进行口答，让个别学生在黑板上展示书写过程，教师给出规范步骤，学生通过自我纠正形成规范作答。

学生活动：学生在讲学稿上完成题目。教师指定6个小组中的一位成员在小黑板上书写解题过程，其他小组成员可以在小黑板上用红色粉笔进行批改。

设计意图：当堂练习暴露出学生在学习过程中存在的问题，有针对性的点评，在课堂上实现高效率，是学生对上一个活动结论的直接应用，在黑板上展示能够在课堂上检测学生的掌握情况。根据当堂暴露出的问题和学情，教师能够即时调整教法。

（五）环节五：巩固训练，形成技能

此环节重点在于训练学生对tanA的计算。

教师活动：给出6个直角三角形的图形，图中给出2条边的长度，求某个锐角的正切值。先抢答，再上板展示书写过程，最后总结正切值的范围，注意求正切值时边的比值顺序。

学生活动：学生思考、求解、抢答，对正切函数值求法技能的巩固训练。

设计意图：抢答环节增加学习的趣味性;快速答题让学生集中注意力;上板书写求解的过程，巩固加深理解。

（六）环节六：变式训练，固化技能

教师活动：由梯子的倾斜程度类比到山坡、斜坡的倾斜程度。区分坡度与坡角，给出图形，让学生求坡度。

学生活动：认识坡度的概念。注意坡度与坡角的区别和联系。在练习中巩固概念，练习计算tanA的技能。

设计意图：利用图形展示坡度、坡角，让学生明白坡度就是坡角的正切值，坡度越大，坡面越陡，训练tanA的计算技能。

（七）环节七：拓展应用，综合提升

教师活动：给出一道题目考查综合应用能力，鼓励学生勇攀学习高峰。

学生活动：思考问题，联系所学，应用知识解决问题，从而收获成功的喜悦。

设计意图：考查学生对综合应用问题的解决能力，让学生注重知识的应用。学以致用，培养学生实践能力。

（八）环节八：反思小结，课后延伸

教师活动：教师对学生整节课的课堂表现以及知识点的掌握进行点评奖励，师生共同回顾知识流程，提升对知识点的理解。对全体学生进行课后小测，结合课前小测进行数据分析，反思本节课教学过程有哪些环节是高效的，哪些环节还可以改进。同时向学生布置必做题和选做题。

学生活动：学生对本节课从知识、情感、方法的收获等方面进行小结。

设计意图：师生共同回顾全课，有助学生对所学知识进行整体的架构，更好地全面掌握。除了获得知识内容，更重要的是培养学生解决问题的能力和自信，在学习中收获成就感。课后学习任务体现分层教学，让学有余力的学生能够有更大的发展空间，选做题选自中考真题，为以后的学习作好铺垫。

责任编辑  吴华娣