运用图式促进学生数学素养的深层建构

孟祥玉

[摘 要] 图式理论是认知心理学用以解释、理解心理过程的一种理论，是数学的重要组成部分。善用图式能促进学生对数学知识的深度建构，对数学素养的深度建构。在数学教学中，教师要引导学生建构表象图式、结构图式、符号图式等，从而让图式能表征事实、勾连知识、蕴含意义。只有引导学生主动建构图式、完善图式、运用图式，学生的数学学习才是有意义、有价值的。

[关键词] 小学数学;数学图式;数学素养

图式是学生数学学习的助推器，也是数学学习的重要组成部分。图式最早由哲学家康德提出，瑞士教育心理学家皮亚杰发展了图式理论，使之成为一种认知图式，并用同化、顺应、平衡来描述图式的建构。图式，是指由单元构成的组织、组块。图式融合了三种元素，即命题、表象、线性顺序。图式具有整体性、主动性、建构性的特质。在小学数学教学中，教师善于应用图式，能促进学生数学素养的深层建构。

一、建构表象图式

图式种类很多，主要有表象图式、结构图式、符号图式。表象图式，是指学生借助头脑中的形象进行思考、探究的载体、媒介。研究表明，学生头脑中的思维使用并不仅仅是描述定义，而更多的是一种非命题的表象图式。相对于符号图式而言，表象图式在学生心里扎的根更深。

表征事实，是表象图式的根本性的功能。在数学教学中，教师可以引导学生通过画图、言语表达等手段，夯实学生头脑中对数学知识的表象。皮亚杰认为，图式是一种有组织、可重复的行为、思维模式。在学生的头脑之中，表象图式往往有三种形式的表征：一是做数学的动作表征，二是画数学的图像表征，三是说数学的言语表征。这些表征，是连接客观事实与学生内在心理表象的桥梁。比如，教学“多边形的面积”（苏教版《数学》五年级上册）这一部分内容时，很多教师非常注重引导学生推理，注重引导学生演绎公式。但笔者认为，教学这一部分内容时，表象图式的建立是最为重要的。以“梯形的面积”教学为例，笔者在教学中引导学生基于自我已有的知识经验大胆地探究。学生通过多样化的探究，丰富、夯实表象图式。当学生的头脑中建立了两个完全相同的梯形拼成的平行四边形的图式时，学生自然能建构梯形的面积公式，自然不会遗忘“梯形面积公式中的‘除以2’”。当学生头脑中有了“梯形分成两个三角形图式”时，学生自然能理解“‘上下底的和’乘以高除以2”的面积公式内涵。

学生数学学习中的表象图式具备鲜明的个体经验技巧，具有鲜明的个体经验化印记。相对于符号图式、命题图式，表象图式更为直观、生动、形象。教师要在教学中清晰、牢固学生的表象图式。教师建构恰当的表象图式有助于学生数学学习，充分而有效的表象图式可以为学生的数学学习提供支架。

二、建构结构图式

相对于表象图式而言，结构图式更加具有结构性、关联性。我们知道，数学知识是高度结构化的，是一个结构性的有机体。因此在数学教学中，运用结构图式能引导学生把握知识、分析知识、勾连知识，从而让学生“既见树木又见森林”。在数学教学中，教师要引导学生串点成线、连线成面、勾面成体，从而有效地助推学生建构结构图式。

结构图式是富有层次性的，结构图式有助于深化学生的数学理解。正如著名数学教育家斯法德所说：“数学概念与实体的结构和运算间的互补性具有极强的教育价值。”对于一个数学知识点而言，其建构图式往往经历了两个过程：其一是过程化，其二是对象化。建构结构图式，数学知识都应当处于对象化的水平。换言之，在结构化图式中，每一个数学知识点都能参与运算，都是一种活性的数学因子。如教学“因数和倍数”（苏教版《数学》五年级上册）这部分内容时，笔者致力于引导学生在已有数学概念上进行建构，如从“一个数的因数”到“几个数的公因数”，从“几个数的公因数”到“几个数的最大公因数”等。教师通过结构图式，将“奇数和偶数”“质数和合数”“互质数”“质因数”“分解质因数”等概念纳入其中。如此，每一个知识点都处于知识的结构图式中。通过结构图式，学生对数学知识点形成了本质性、关系性的深度理解。

结构图式不是物理实件的简单堆加，也不是要素的简单拼凑，而是认知的建筑。勾连知识点之间的关系，建立结构图式，能让知识在学生的脑中处于一种完形状态。在结构图式中，高阶的知识点对于低阶的知识点而言，往往具有统驭的作用、功能。结构图式的建构，我们似乎可以套用古希腊著名思想家赫拉克利特的一句名言来概括，即“数学就在于一件事，就是认识到那善于驾驭一切的图式”。

三、建构符号图式

图式建构不仅包括形象化、直观化的表象图式、结构图式，而且包括有意义、有价值的符号图式。相较于表象图式、结构图式，符号图式更负载着一种意义与价值。学生的符号图式，犹如冰山一角，其意义等应当储存在学生的心灵深处。教师引导学生建构符号图式，关键是引导学生认识图式的意义、作用和功能。

现代认知学习理论认为，知识不能简单地由教师或他人传递给学生，而应当由学生自主建构。在数学教学中，教师要善于引导学生运用符号图式，生动地描述问题、分析问题，帮助学生解决问题，从而促进学生数学思维的发展。建构符号图式，重要的是引导学生经历符号化的过程，让学生感受、触摸到符号所凝结的人类的生命实践智慧。洞察意义、体认价值，是建构符号图式的关键。比如，“分数的初步认识（一）”（苏教版《数学》三年级上册），是学生初步接触分数、书写分数、解读分数的关键一课。其教学重点是引导学生将一个物体、一个图形或者一个计量单位的几分之一或者几分之几用分数来表示。在教学中，笔者引导学生通过对圆形图片的操作来认识分数、理解分数。通过画图和操作，学生认识到，分数通常包括三个部分，分数线表示平均分，分母表示平均分的份数，分子表示其中的几份。教师通过将多张同种规格的纸平均分成不同的份数，引导学生建构不同的分数;通过对多张不同规格的纸平均分成相同的份数，引导学生建构相同的分数。这样的变式教学，深化了学生對分数符号的意义理解。符号图式不再是简单的、无意义的概念，而是学生生命实践智慧的结晶。在数学教学中，教师要唤醒学生的图式，激活学生的图式，让学生的符号图式成为学生建构新图式的重要载体、媒介。如加深学生对分数的符号图式的意义理解，同样有助于学生后续学习分式的符号图式。在数学教学中，教师要让图式成为学生数学学习的动力引擎。

学生的数学学习过程，从某种意义上来说就是图式的建构、发展过程。教师要为学生的数学图式建构注入动能，促进学生数学图式的真正内化。教师只有引导学生内化了符号图式，把握了符号图式的意义，学生的数学学习才能真正实现从“量”转为“质”，从“知”变为“智”。