高中数学文化校本选修课的基本样态
2022-02-20华志远
华志远
摘要：数学文化校本选修课，可以选择承载较多数学文化的知识内容（课题），与新授课同步，让学生及时了解相关的数学史，体验数学与社会、生产、生活的联系，从而理解相关内容在数学以及人类文化中的地位和作用;通过一些经典案例中问题的解决，帮助学生领悟数学知识中蕴含的数学思想，进一步感受数学的价值;通过相关人物事迹的了解，让学生认识数学发展的迂回曲折，感受数学家的探索精神以及理性思维的重要价值。以《函数与数学文化》一课为例，呈现其基本样态。
关键词：数学文化;校本课程;教学样态;函数
本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“以高中数学为主导的跨学科教学研究”（编号：Ba/2020/02/47）的阶段性研究成果。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在“课程结构”中提出“数学文化融入课程内容”，并说明“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动”。
为了更好地在教学中渗透数学文化，我校自2019年起，主要面向高一学生，开设数学文化校本选修课：选择承载较多数学文化的知识内容（课题），与新授课同步，让学生及时了解相关的数学史，体验数学与社会、生产、生活的联系，从而理解相关内容在数学以及人类文化中的地位和作用;通过一些经典案例中问题的解决，帮助学生领悟数学知识中蕴含的数学思想，进一步感受数学的价值;通过相关人物事迹的了解，让学生认识数学发展的迂回曲折，感受数学家的探索精神以及理性思维的重要价值。
下面以《函数与数学文化》一课为例，呈现数学文化校本选修课的基本样态。
一、解决现实问题，引出知识主题
因为学生已经在新授课上学过相关知识，所以数学文化选修课的一开始，可以通过现实问题引出本节课的知识主题。现实问题能让学生感受到知识的应用价值，同时能让以历史文化为主的课堂获得现代感，实现历史与现实的交融。
《函数与数学文化》一课，笔者首先通过两个现实问题，让学生感知函数模型的实际存在与现实应用。这两个问题中的函数关系分别可以与不可以用解析式表示，能让学生充分体会函数的本质是两个变量的對应关系。
【教学片段1】
（教师出示问题1：“学校游泳池长50米、宽21米，使用时水深1.8米以上。上课时，当我们问管理老师游泳池蓄水多少时，为什么他只要看一下水面的高度，就能报出蓄水量？”）
生因为游泳池蓄水量y是关于水深 h的函数。
师你能将该函数表示出来吗？
生y=50×21×h，即y=1050h，h>0。
师实际问题要注意单位。
生y的单位是立方米，h的单位是米。
（教师出示问题2：“如果今天记作第一天，第n天走路的步数记为y，则y是否为关于n的函数？如果是，如何表示？”）
生第n天走路的步数是确定的，故y是关于n的函数。一般来说，这一函数很难用解析式表示，而可以用列表法或图像法表示。
师函数模型可以描述两个变量间的对应关系，常用解析式、列表法和图像法来表示。本节课，让我们穿越时空隧道，经历函数的产生和发展之旅，领略数学家、科学家们的励志故事，探索函数概念的本质，体验函数在社会、生产、生活以及科学技术中的广泛应用，了解函数对我们今后的学习会产生的影响。
二、选取典型材料，体现历史脉络
数学文化选修课的教学要让学生了解有关知识产生、发展的历史。为此，可以梳理、重构历史过程，选取典型的背景材料，体现历史的大致脉络;同时，可以设计有关问题，引导学生思考，提升学生的参与度，帮助学生充分理解历史背景，感受文化底蕴。
《函数与数学文化》一课，笔者通过四段典型的背景材料，带领学生回到第一次工业革命时代，经历函数形态从曲线、一个解析式到多个解析式、对应关系的发展过程，深刻体验函数概念不断抽象和升华的发展过程，并且领悟数学应用是推动函数概念内涵和外延发展的原动力，数学抽象、数学建模、数形结合、对应等是形成函数概念的核心思想。
【教学片段2】
（教师出示背景材料1：“随着工业的发展，到了17世纪，为了寻找原料、寻求通商，欧洲人已经从事大规模、长距离的航海。在没有GPS导航的年代，航海家们在茫茫大海中看不到任何标识，只能通过观测日月星辰来判断位置，从而决定航向。这需要更精确地测定经纬度、测量时间，而现在的经典几何和代数很难解决当时的生产和自然科学提出的众多新问题。”然后出示问题3：“在地图上，如何表示出东偏南60°且离港口100海里的船只？在数学上，如何研究船只航行时形成的曲线？”）
生将港口抽象为坐标原点，根据地图上约定的“上北下南，左西右东”，以正东为x轴正方向、正北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则船只的位置可看成从原点出发、在第四象限、与x轴正半轴夹角为60°的射线上的点，于是可用一个有序实数对（坐标）来表示，船只航行时形成的曲线可用一个二元方程来表示。
师很好！同学们用坐标，即解析几何的思想描述了这一几何问题。其实，一般来说，如果将二元方程写成用一元（一个变量）表示另一元（另一个变量）的形式，就得到了函数的解析式。
[教师出示背景材料2：“在17世纪，函数概念没有被充分认识之前，多数函数是被当作曲线研究的。而法国数学家、科学家和哲学家笛卡儿创建了解析几何，将代数和几何联系在了一起，为利用函数思想研究曲线提供了可能性。后来，由于17世纪的科学家们致力于运动的研究，如炮弹的初速度对高度和射程的影响，船只及天体的位置等，尤其是德国数学家莱布尼茨在1692年使用fuction（作用）表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等，极大地推动了函数概念及思想的形成与发展。1718年，莱布尼茨的学生瑞士数学家约翰·伯努利强调了函数要用公式表示。”]
师由此，问题1中的变量关系是函数吗？
生是的。
师那问题2中的呢？
生不是。
师可见，这样的定义仍具有一定的局限性。
[教师出示背景材料3：“1755年，瑞士数学家欧拉抽象地指出，‘如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们就将前面的变量称为后面变量的函数’，并将函数记作‘f（x）’，拓展了函数的意义。但是，他在《无穷小分析引论》中仍强调了公式的重要性，并明确规定：一个给定的函数在它的整个定义域内只能由一个解析式来表示。”然后出示问题4：“无锡市出租车收费标准如下：3 km以内（含3 km）的路程，按起步价10元收费;超过3 km的路程，按2.8元/km收费。问：收费额y是否为路程x的函数？如果是，怎样表示？”]
生y是x的函数。当0 2.8x+1.6，x>3。 师这里的变量关系用到了几个解析式来表示？ 生2个。 师可见，欧拉的定义仍具有一定的局限性。 [教师出示背景材料4：“在当时的背景下，数学家们不接受这类分段函数。但是，对物理弦振动问题的研究引发了数学家们对函数概念的争论，迫使他们接纳了分段函数。1822年，法国数学家、物理学家傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个或多个式子表示，从而将对函数的认识又推进了一个层次。1823年，法国数学家、物理学家柯西从定义变量开始，得出了更为抽象的函数定义：若对x的每一个值，都有完全确定的y 值与之对应，则称y是关于x的函数。随着微积分研究的深入，到了18世纪末19世纪初，人们对函数的认识又向前推进了。1837年，德国数学家狄利克雷利用“对应说”彻底挣脱了解析式的束缚，其中特别强调了，只要有一个法则使得取值范围中的每一个x都有一个确定的y和它对应即可，无论该法则是用公式还是用图像、表格等形式表示。该定义突出了函数的本质——对应思想。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合和对应语言表述，甚至推广到“关系说”（集合函数），从而为研究函数的性质及应用提供了更广阔的思维空间。” ] 师函数概念在数学家们以运动的视野研究曲线的过程中诞生，一开始更多地用来表示两个变量之间的关系，是用代数方法研究几何问题所采用的手段;社会、科学技术以及数学本身的发展，尤其是微积分的应用，推动数学家通过不断抽象和完善，深化对函数概念本质的认识，拓展函数思想应用的领域。 三、研究经典问题，领悟思想方法 有了“面”，还要有“点”。数学史是数学家不断研究的过程。数学文化选修课的教学还要让学生经历经典案例中具体问题的解决过程，从中充分感受数学家原创性的思考，领悟数学思想方法。教师可以对经典案例做适当的改编，提出学生能够解决的问题，体现基本的数学思想方法。 《函数与数学文化》一课，笔者选取抛物线的方程和狄利克雷函数两个经典案例，呼应历史脉络中函数概念的“变量说”和“对应说”，引导学生解决能够解决的问题，深入体会函数思想。 【教学片段3】 [教师出示经典案例1：“意大利科学家伽利略的近代力学著作《关于两门新科学的对话》（1638年）从始至终贯穿着“变化”是自然界的本质的思想。比如，书中他通过“自相似性”，得出了运动与位移之间的关系，并用文字叙述如下：从静止状态开始以匀加速度下降的物体，其经过的距离与所用的时间的平方成正比，用符号表示就是s=12gt2。因此，有人认为他是创造函数概念的先驱之一。”然后提出问题：利用运动学知识，你能否证明扔出去的小石头的飞行轨迹是二次函数表示的抛物线？] 生（同步板书符号与公式）记小石头的初速度为v0，它与水平方向的夹角为θ，设初始位置为坐标原点，设当时间为t时，飞行轨迹上任意一点P的坐标为（x，y），则利用运动的独立性和分解性，得x=v0tcos θ，y=v0tsin θ-12gt2，消去t，得y=-g2v20cos 2θx2+xtan θ，因此，小石头的飞行轨迹是开口向下的抛物线。 师同学们用运动学知识严格论证了抛物线是二次函数曲线，沟通了数学与物理之间的联系，也体会到函数中蕴含的变量相关思想。 [教師出示经典案例2：“狄利克雷的‘对应说’定义挣脱了公式法的束缚，突出了函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的科学内涵。他曾用对应的语言描述了以下函数：当自变量取有理数时，函数值为1;当自变量取无理数时，函数值为0。该函数被称为狄利克雷函数，从形式上看，它是一个分段函数：D（x）=1，x为有理数; 0，x为无理数。”然后提出问题：（1）能否作出该函数的图像？（2）试求出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性;（3）是否存在非零常数T，使得D（x+T）=D（x）恒成立？证明你的结论。] 生该函数的图像作不出，但可以想象出类似于许多点构成的“电子云”。该函数的定义域为R，值域为{0，1};利用定义可以证明它是偶函数，但无单调性。同时，所有非零有理数都是符合题设要求的常数T。 师狄利克雷函数是一个非常特别的函数，它能帮助我们充分理解函数中蕴含的对应思想。 [教师出示变式练习：对于任意实数x，[x]是不超过x的最大整数，我们将y=[x]称为高斯函数，试针对函数f（x）=x-[x]，研究上述三个问题。学生完成。] 四、了解研究故事，体会数学精神 数学研究的过程并不总是一帆风顺，经常会遇到挫折、出现错误，但是具有探索精神和理性思维的数学家们不会放弃或迷信，而会不断研究，直到成功。让学生了解经典案例中曲折生动的研究故事，特别是对那些学生目前还不能解决的问题，可以让学生充分感受到数学精神的力量，获得人生的启迪。 《函数与数学文化》一课，笔者选择悬链线方程的研究这一经典案例，让学生感受数学研究的艰难与坚持。 【教学片段4】 师小石头飞过天空，其轨迹是什么曲线？固定绳索的两端，在重力场中让绳索自然垂下，则绳索表示的悬链线是什么曲线？ 生小石头的轨迹是抛物线，悬链线形状好像也是抛物线。 师同学们犯了一个科学家也犯过的直觉错误。 （教师出示经典案例3：“古希腊哲学家亚里士多德根据其‘有机目的观’的物理学和哲学，得出地面上的‘自然运动’是直线运动，所以石头飞出去的运动轨迹是直线。两千多年后，这一结论才由伽利略加以修正：轨迹的方程为二次函数y=ax2+bx+c。此时，伽利略从绳索的外表作出猜测：悬链线也是抛物线。1646年，荷兰物理学家惠更斯经由物理的论证发现伽利略的猜测有误，但是他求不出正确答案。到了17世纪后半叶，牛顿与莱布尼茨分别独立地发明了微积分。由此，可以将一条未知曲线“网”在一个微分方程式中，再利用积分法解开“网子”，求得未知曲线。1690年，瑞士数学家雅各布·伯努利重提悬链线问题。第二年，惠更斯、莱布尼茨以及雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利都利用微积分这一利器，求得正确答案为y=eax+e-ax2a。至此，悬链线的悬案才得以真正告破。”） 师可见，获得真理常常是一个艰难的过程，大师也可能犯错，我们要有系统、有方法地去怀疑没有确认的判断。数学和科技发展史表明：一切成功都是踏着错误前进的，科学方法就是“尝试改错”;有时，前人的错误经验往往对后人更具有启发性与教育性。（稍停）就让我们以一首有关函数的打油诗结束本课：我讲课，你学习，你是我的定义域;我启发，你思考，相互交流得值域;数学史，有情趣，学习热情单调增;我搜集，你钻研，数学文化有解析。 最后需要指出的是，在數学文化的教学中，应注意思考性与故事性、系统性与情境性、真实性与趣味性、思维价值与人文价值等方面的有机统一，以增强教学效果，促进文理贯通。 参考文献： [1] 张奠宙，王善平.数学文化教程[M].北京：高等教育出版社，2013. [2] 《中小学学科文化丛书》编写组.高中数学读本1[M].北京：北京教育出版社，2015. [3] 钟萍，汪晓勤.函数概念：基于历史相似性自然过渡[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（2）.
