基于GeoGebra 的线上数学实验教学研究——以“反比例函数的图像”为例

王博阳，刘会艳

（1.河北省教育科学研究院，河北 石家庄 050061；2.石家庄市第42中学，河北 石家庄 050000）

现阶段，线上教学越来越普及，“钉钉”系统越来越被广泛应用，表现出了显著优势。深入探究影响线上教学效果的因素，发挥线上教学的优势，解决存在的现实问题，提高教师线上教学能力和学生线上学习能力，是当下迫切需要解决的问题。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课标》）强调教学中要注重信息技术与数学教学的融合。教师可以利用数学专用软件等教学工具开展数学实验改进教学方式，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构；利用数字化平台、工具与资源指导学生做好时间管理，规划学习任务，开展学习活动，加强自我监控、自我评价，提升自主学习能力，促进自主学习。如何将信息技术深度融入数学课堂教学？应让学生尽量经历数学实验探究，注重“做中学”，引导学生参与数学探究活动，经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程，积累数学活动经验，体会数学思想方法，让学生像专家一样思考与行动。随着义务教育新课程方案和课程标准的有效实施，数学实验融入课堂成为关注热点。

本文试图构建基于“钉钉”平台的线上数学实验教学模式，将GeoGebra 动态数学软件融入数学课堂教学，提升数学实验教学效率。课题组以“反比例函数的图像”的线上教学为例，提出了初中数学线上数学实验教学策略，为建构高效的线上教学模式提供借鉴。

一、基本情况

1.教学内容

本节课是冀教版《数学》九年级上册第二十七章第2 节“反比例函数的图像和性质”第1 课时。函数是非常重要的数学模型，学生已经有了学习反比例函数概念的基础，本节课类比一次函数的研究方法，学习用描点法画反比例函数的图像，并归纳图像的特征，进一步体会数形结合的数学思想方法，为以后学习二次函数积累更多的经验。

由此，本节课的教学重点是：用描点法画出反比例函数的图像。

2.教学目标

根据以上分析和《课标》要求确定本节课的教学目标：

（1）经历画出反比例函数图像的过程，发展学生观察、分析、归纳和概括的能力；

（3）积累活动经验，培养学生严谨求实的科学态度，以及直观想象等核心素养。

3.学情分析

学生在八年级已经学习了一次函数的概念、图像、性质和应用，初步掌握了学习函数的基本方法。但从一次函数到反比例函数，图像由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，与坐标轴由“相交”到“渐进”，学生理解起来有一定困难。

所以本节课的教学难点是：理解反比例函数的图像是双曲线。

4.媒体支持

本节课借助“钉钉”平台，在线上进行课堂授课。课前教师通过钉钉班级教学群，发送给学生资源包，包括GeoGebra 软件等，学生下载并安装。

5.教学策略

为了提高课堂效率，培养学生自主学习的能力，教师设计了预习案，抓住学生作业中反馈的典型问题，引导学生层层递进地展开讨论，进一步提升学生发现问题、提出问题的能力，由此拉开本节课学习的序幕。

《课标》提倡利用信息技术呈现传统教学中难以呈现的教学内容，鼓励学生运用计算机、计算器进行探索发现。为了突出重点、突破难点，本节课尽可能合理、有效地使用钉钉平台、GeoGebra 软件、课件等设备，使课堂更加生动灵活，更好地激发学生的学习兴趣，使学生的实验探究和展示交流更加方便，提高教学效益。

在教学方法上采用“实验探究教学法”，让学生在做中学，充分体现学生的主体地位。另外教师通过设置问题，引导学生探索交流、操作实验、验证猜想从而得出结论，使学生真正学会思考。

二、教学过程

1.预习反馈

第一种：

第二种：

第三种：

第四种：

第五种：

思考：同一个函数，同学们却画出了不同的图像，请谈谈你的看法。

设计意图：学生有画函数图像的基础，因此设计预习环节，既培养了学生自主学习的能力，又提高了课堂效率。呈现学生作品这一生成性资源，有利于激发学生的兴趣，引发学生的思考，方便学生比较辨析。

活动要求：（1）学生独立思考，观察这些图像，判断正误并说明理由；（2）小组合作交流；（3）选出小组代表展示，其他同学认真聆听，并准备发表见解。

设计意图：独立思考使学生体验发现的快乐；小组合作培养了学生的合作意识。

展示交流：学生有以下发现：

第一种图像少了一支，列表时没有考虑x＜0 的情况；第二、三种图像与坐标轴有交点了，表达式中，x 在分母上，不能取0，从而y也不能为0，所以图像与两坐标轴都没有交点；第四种和第五种对比，第四种变化趋势不对，比如，当x＞0 时，x 越大，y 越小.

设计意图：经过讨论、交流、展示，学生明晰了画图像时应注意的事项。

反思：画反比例函数时应注意：

（1）自变量的取值范围；（2）图像的变化趋势；（3）图像的形态。

设计意图：在分析图像的过程中，学生深入感受了函数三种表示方法之间的内在联系，体会了数形结合的思想方法。

2.操作实验

针对这个软件，课前对学生做了培训，他们已经能较为熟练地使用。

操作1.学生正确列表，在软件上准确描点

（为了培养学生严谨求实的科学态度，教师又让学生取合适的自变量完善列表。）

（1）列表：

（2）以表中各组对应值作为点的坐标，在GeoGebra 代数区中依次输入。

图1

学生在完成列表描点之后思考：相邻两点之间怎样连线？线段还是曲线？

学生有如下思考：

①如果是线段，图像就是一次函数了。

②尝试在两点之间再多取一个点，发现这个点不在第一种的线段上，从而猜想图像是曲线。

设计意图：通过问题，引发学生思考，产生认知上的冲突，激发学生探究的欲望。

为了得到函数的准确图像，必须准确描点。学生在纸上描点，速度慢且不精确。描坐标为非整数的点时，用GeoGebra 软件描点，快速又准确，只需输入点的坐标即可出现对应点。

操作2：拖动滑条逐渐进行加密，观察函数的图像

教师点拨：为了能更清楚地看出图像的形状和变化趋势，可以描出更多的点，此时学生动手操作软件，拖动滑条a 增加点的个数，之后选取小组代表进行展示交流，如图2、图3 等，展示交流过程中，学生发现反比例函数的图像是曲线且无限靠近坐标轴。

图2

图3

设计意图：用GeoGebra 软件很好地突破描点法画图像的难点，实现了原有教学手段达不到的效果。在原有描点的基础上将点增多，从而形成了反比例函数的图像，直观形象地呈现了图像的形状和变化趋势。

3.巩固新知

设计意图：学生已经感知了反比例函数图像，再画图像时，学生考虑问题会更全面。

4.对比归纳

学生归纳它们的共同特征：图像都是由两条曲线组成，分别位于两个不同的象限，即都是双曲线。同时，学生还发现：当k>0 时，它的图像位于第一、三象限；当k<0 时，它的图像位于第二、四象限。

设计意图：对比k 值一正一负两个图像，培养学生的观察能力和概括能力，加深学生对反比例函数图像是双曲线的理解。

5.验证猜想

图4

图5

设计意图：快速画出3 个k>0 的图像，3 个k<0 的图像，证实学生的猜想，便于发现一般规律，为下节课深入探究反比例函数的性质做好铺垫。

6.应用检测

A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2

设计意图：应用检测巩固了所学知识和方法，进一步提升了学生分析问题、解决问题的能力，有助于评价学生的学习效果。用问卷星发布检测题，学生完成试题，可以快速得到每个试题的正答率，方便进行个别指导。

7.反思总结

引导学生从以下两个方面谈一谈本节课的收获和体会：本节课你在知识上有哪些收获？在获得知识的过程中有何体会？

设计意图：有利于学生主动建构知识体系,清楚知识间联系，培养学生反思的习惯。

8.布置作业

为了实现减负、提质、增效，设置分层作业，教师可通过钉钉家校本收集作业，并通过批注、语音等多种方式点评作业。

【巩固性作业】

（1）下列函数图像是双曲线的是（ ）

（2）在下图中，反比例函数的图像大致是（）

设计意图：巩固性作业，面向全体学生，既巩固所学知识和技能，又着力培养学生的问题意识和思考能力，从而达本课时的教学目标。

【拓展性作业】

①设点A 为函数图像上一点，点A1与点A关于原点O 对称，点A1在函数的图像上吗？请说明理由；

②作AB 垂直于轴于点B，AC 垂直于轴于点C，试求矩形OBAC 的面积.

设计意图：拓展性作业，面向大部分学生，让他们在理解反比例函数图像的基础上，进一步研究函数的性质，建立知识间的逻辑关系，真正让深度学习落到实处，最终形成数学核心素养。

【探究性作业】

小明：函数的图像是双曲线且位于一、三象限；

小亮：y 的值随x 的值的增大而减小；

你认为以上三位同学的说法对吗？请谈谈你的看法。

设计意图：探究性作业，面向学有余力的学生，促进探究活动中数学思维策略的凝练。

利用GeoGebra 软件有效突破了画图像的难点，能将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构；能促进学生自主学习，规划学习任务。利用数字化平台、工具与资源开展学习活动，能帮助学生加强自我监控、自我评价，提升学生自主学习能力，改变学生传统的学习方式，满足学生的个性化学习需求，落实核心素养的培养，这种教学方式可以作为落实新方案和新课程的一种新途径。