云制造环境下基于离散Markov跳变系统的机床装备资源动态优选方法

李孝斌，方志伟，尹 超

(重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044)

0 引言

机床装备资源是制造企业加工运行的核心制造资源，实现云制造模式下机床装备资源的优化选择与高效匹配，保障制造服务质量(Quality of Service, QoS)达到用户要求，是推动云制造模式向车间层落地应用的重要技术基础[1-6]。目前，关于机床装备资源优选匹配技术的研究多将其服务能力视为静态值，即假定在某一制造任务开始前所选机床装备资源在其服务时间段内各项能力值保持不变，并在此前提下开展资源优选与匹配相关技术的研究。如文献[7]基于模糊决策理论将云制造资源的多维指标能力转换为相对优势程度，并结合层次分析法和蚁群算法，实现了云制造资源综合优选匹配；文献[8]采用前景理论计算制造资源供需双方的满意度，并设计了基于相互满意度的制造资源“多对多”稳定匹配算法，实现了云制造资源的Pareto最优匹配；文献[9]研究了云制造资源间QoS的相互影响与依存关系，在此基础上运用改进遗传算法实现了多资源QoS相互关联条件下的资源优选匹配；文献[10]利用模糊积分度量云制造资源需求与云制造服务资源间的匹配程度，并采用模糊积分法实现了云制造服务资源的敏捷化匹配；文献[11]借助Web服务本体技术对云制造资源进行了语义化描述，并在此基础上使用语义相似度算法和蕴含关系推理，实现了云制造资源的基础属性和功能要求优选匹配；文献[12]针对云制造环境下制造知识服务的匹配问题，设计了由企业维、服务维、交互维等维度构成的知识服务评价指标，并通过在变精度粗糙集算法中引入敏感系数实现了云制造环境下制造知识服务的优选匹配。然而，在实际加工运行过程中，机床装备资源通常具有作业时间不定、生产故障频发、紧急插单等随机扰动(Random Disturbance, RD)的特点[13-14]，这些随机扰动的出现将不可避免地影响机床装备服务能力，导致初选资源执行制造任务的质量难以满足预期要求。而现有机床装备资源优选方法没有考虑生产随机扰动对机床装备资源服务能力的影响，缺少面向生产随机扰动的机床装备资源动态调整策略。

为此，本文基于前期研究成果，结合离散Markov跳变系统理论，构建云制造环境下加工任务执行过程的QoS动态演化模型，设计云制造任务QoS的状态反馈控制与闭环控制系统，提出面向生产随机扰动的机床装备资源动态优选策略及算法，以解决高频扰动导致云制造环境下机床装备资源服务能力难以得到保障的问题。

1 总体思路

云制造环境下制造任务通常会细分为不同粒度的若干个子任务，并按特定的工艺网络化协同执行[15]。因此，各子任务的机床装备资源优化选择不仅需考虑资源的基础功能属性(加工类型、主轴行程、可达粗糙度等)，还需综合考虑加工时间、加工成本、加工质量、智能化程度、能耗水平、环境影响等使用属性[16]。其中，加工时间、加工成本和加工质量通常是用户对特定资源的关注重点，在云制造加工任务执行过程中易受各类随机生产扰动而变化，致使各子任务间的协同运行难以得到保障[17-18]。因此，本文提出一种云制造环境下面向生产随机扰动的机床装备资源动态优化选择思路，如图1所示。

该动态优选方法将云制造任务执行过程视为一类控制系统，首先根据特定子任务候选资源集数量，确定资源状态变换(即发生各类随机扰动)的模态规模，并以云制造任务的QoS随机稳定为控制目标，将任务执行过程中各类随机扰动映射为相应资源服务能力的变化情况，利用Markov跳变系统建立云制造任务执行过程中QoS动态演变模型；其次，基于机床装备资源运行状态的模态规模，通过其历史运行数据确定模态转移概率矩阵的部分参数，并建立相应的QoS状态反馈控制器；最后通过线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)与云制造QoS要求校验两种方法共同确定不同模态下的机床装备资源动态优选方案，从而实现云制造环境下面向生产随机扰动的机床装备资源动态优选。

2 云加工任务QoS动态演化模型构建

在云制造环境下机床装备资源加工任务中，随机扰动将导致提供机加工服务的机床装备资源服务能力下降，并最终表现为云制造任务的实际QoS失稳而偏离预期值。为此，本文基于Markov跳变系统理论，建立了云制造任务执行过程QoS动态演变模型，以表征随机生产扰动对机床装备资源服务能力的影响程度。

Markov跳变系统由KARSOVISKII等[21]于1961年提出，用于描述遵循一定规律和特性在多种跳变模态间随机切换的一类随机系统。Markov跳变系统可有效地刻画云制造环境下机床装备资源执行制造任务这类易受内、外部随机扰动而导致机床装备服务能力发生随机跳变的生产服务过程，具体如下：

首先，从抽象化离散时间的角度刻画云制造环境下机床装备资源执行加工任务的过程，可认为每个时刻云加工任务的实际QoS主要由上一时刻的QoS实际状态以及两时刻间的机床装备资源选择情况决定。因此，以离散时间Markov跳变系统建立云制造任务执行过程QoS动态演化模型，可表示为[22]：

xk+1=A(rk)xk+B(rk)uk+Bd(rt)dk;

xk=x0,rk=r0,k=0。

(1)

其中，xk∈Rn为系统的状态向量；rk为系统所处模态，其遵循转移概率矩阵Pr在各模态间跳变；uk∈Rm为系统的控制向量；dk∈Rp为未知输入信号；x0、r0分别为系统的初始状态和初始模态；A(rk)、B(rk)、Bd(rk)分别为已知且与系统模态rk相关的系数矩阵。

2.1 状态向量

(2)

特别地，记x0为任务开始执行前的云制造任务QoS状态，表示最理想情况下的云制造任务QoS状态，即通过初始优选得到的资源Rori在完全未发生扰动情况下执行整个云制造任务的QoS值。

2.2 系统模态

系统模态rk描述云制造任务执行过程中候选机床装备资源集所处的服务能力状态。当候选资源集中资源数量较多时，加权计算候选资源集中各机床装备资源在理想运行状态下的综合服务能力，并取其能力最高的前m个资源构建系统模态，以保证候选资源的服务能力，同时有效控制系统模态规模，降低时间与空间复杂度。以Ri,k表示候选资源集中第i个机床装备资源在时刻k的实际服务能力，

Ri,k=(Ci,k,Ti,k,Qi,k,…)T。

(3)

可见，候选资源集中所有资源的状态组合将构成系统的模态集合，并遵循一定概率规律在各模态间跳变。考虑到两个机床装备资源同时发生随机扰动，且先后被选中以执行同一云制造任务的情况属于极小概率事件，因此在云制造任务执行过程中主要考虑的系统模态应围绕正在运行的机床装备资源所发生的随机扰动情况(如扰动消失、缓解、维持、恶化等)。任意时刻k的系统模态可由各机床装备资源服务能力组成的矩阵表示，即

(4)

2.3 系数矩阵

云制造任务执行过程中的QoS动态演变表征了云制造任务在无随机扰动情况下全部由初始优选资源Rori完成加工任务的QoS状态与实际受到随机扰动后由再次优化匹配资源分别完成加工任务的QoS状态间的差值情况。二者的差值与实际执行每一加工任务的资源服务能力R*,i有关，可表示为：

(5)

其中n为该云制造任务的待加工工件总数。结合x0表示无生产扰动情况下任务的QoS状态，可以确定式(1)的系数矩阵A(rk)、B(rk)、Bd(rk)分别为：

A(rk)≡1;

(6)

(7)

Bd(rk)≡0。

(8)

2.4 控制向量

系统控制向量uk为时刻k控制系统状态向量变化的外部输入量，即机床装备资源动态选择结果。对于候选资源总数为m的候选资源集，在k时刻允许指派最大工件数为τmax，剩余加工数为nremain的云制造任务，其控制向量可表示为

uk=(u1,ku2,k…um,k)T。

(9)

式中ui,k∈N,‖uk‖1≤min(τmax,nremain)

2.5 概率转移矩阵

概率转移矩阵P描述系统在各模态间的跳变概率，对于考虑q个模态的云制造任务执行过程中QoS动态演变模型，其概率转移矩阵可表示为

(10)

其中，矩阵元素pij表示系统由模态ri跳变到rj的概率；同时，该矩阵显然满足

(11)

结合文献[23]，以πij表示系统由模态i向模态j跳变的概率，?表示两模态间的未知转移概率，则概率转移矩阵P可表示为

(12)

3 基于QoS稳态控制的机床装备动态优选策略

云制造加工任务QoS的稳态控制依赖于控制向量uk对机床装备资源选择策略的动态调整。由于云制造加工任务执行过程中QoS状态可以认为完全已知，且没有未知输入信号的干扰，可直接采用状态反馈控制器作为QoS的稳定控制器。云制造任务QoS的状态反馈控制器可形式化表示为：

uk=K(rk)xk。

(13)

结合式(6)～式(8)，代入式(1)，可建立云制造任务的QoS闭环控制系统，表示为：

xk+1=(A(rk)+B(rk)K(rk))xk。

(14)

对于上述状态反馈控制器与闭环控制系统，其满足如下稳态控制定理[24]：

定理1对于离散马尔可夫跳变系统的任意模态i，若存在标量εi>0，ζi>0以及矩阵Xi，Yi，满足式(15)和式(16)，则转移概率矩阵部分未知的闭环系统式(14)是随机稳定的，且其状态反馈控制器参数为Ki=YiXi-1。

(15)

(16)

Ji=diag(j1,j2,…,jk);

(17)

式中：mui与mφi分别表示状态反馈控制的控制增益上限值和下限值，有0≤mui≤mi≤mφi，对于云制造服务质量动态演化模型的QoS状态反馈控制器，其控制增益显然满足稳定、一致和完全正常运行等特性，故有：

mui=mφi=1。

(18)

将式(17)和式(18)带入式(15)和式(16)，可得到简化后的LMI，表示为：

(19)

(20)

(21)

直接求解式(19)和式(20)仅可得到矩阵Xi、Yi的部分可行值，其乘积形式YX-1x难以直接满足式(9)定义的控制输入向量，也难以按传统线性目标函数最小化问题进行求解。因此，需基于直接求解得到的矩阵可行值，以可行域半径和搜索时间为限制，进一步搜索能够保障系统稳定且使得各分量尽可能满足式(9)定义要求的矩阵Xi、Yi新可行值。对于候选资源及其组合表示的新资源选择策略，采用加权法对各资源优选策略的实时服务能力进行计算与排序，从评价最高的优选策略开始搜索符合约束条件且保持系统稳定的资源选择策略uk可行解，即：

s.t.

式(9)、式(19)～式(20)成立。

(22)

其中：W为权重矩阵；Ik为策略uk中被选中的资源个数。

最终，将所得的资源选择策略uk进行最低QoS要求校验，若通过即可作为每次扰动发生时的动态资源选择策略；否则重回到上述优选过程，重新寻优机床装备资源的动态选择策略，其具体流程如图2所示。

4 实验仿真

为验证所提方法的有效性，本文以课题组前期开发的机床装备云制造服务平台(著作权登记号：2017SR499141)中一家车用空调制造企业的云服务应用案例进行仿真验证。目前，该企业已将10台翅片机、6台合装机接入云制造服务平台，并持续开展了空调芯体加工、工艺参数优化决策、生产质量在线优化和设备远程运维等各类生产加工过程云服务。本文以空调芯体翅片加工云服务为实验对象开展验证。通过调用平台中的历史服务记录可知，该服务共计加工空调芯体翅片1 000件，最低QoS要求如表1所示。

根据云服务平台统计分析，目前各类翅片机所发生的随机扰动主要包括加工质量异常、设备故障停机两类，此两类随机扰动后的加工服务时间分别上升14.8%和53.2%，加工服务质量分别下降23.7%和49.6%。在生产开始前，该企业经过生产能力平衡指定由QB12047号翅片机完成加工服务(策略1)，但在加工到第113件翅片时该设备发生了一次设备故障扰动，为此变更由QB18057号翅片机完成剩余887件零件加工(策略2)。为分析比较所提方法与企业现行采取策略的实际效果，笔者在平台中筛选了5台具有同等服务能力的翅片机资源以支持所提方法的应用，各翅片机的服务能力如表2所示。

表1 空调芯体加工云服务最低QoS指标值

表2 翅片机服务能力描述

因此，该空调芯体翅片加工云服务系统的初始状态为x0=[25 160 0.900]T，初始控制向量u0=[1 0 0 0 0]T，其物理意义表示企业选择策略1执行全部空调芯体翅片加工云服务。根据翅片机发生随机扰动类型，将空调芯体翅片加工云服务系统模态分为3类，即：r1表示翅片机正常运行，r2表示发生加工质量异常，r3表示发生设备故障停机，则服务系统在3类模态间的概率转移矩阵P满足：

基于MATLAB Control System、Robust Control工具箱构建相应LMI组，并进行参数矩阵元素的非线性约束和可行解搜索，得到若干满足约束条件的新可行解。其中实时服务能力满足最低QoS指标要求，且加权评价最高的可行解表示为(加权参数W=[0.3 0.5 0.2])：

结合系统的实时QoS状态，可以确定由QB18057号和QB12063号翅片机共同负责该随机扰动发生后的后续加工任务(策略3)，即最终该任务的稳态控制向量

其中，QB18057号翅片机分担532件(即887×0.6)空调芯体翅片的加工任务，QB12063号翅片机分担355件空调芯体翅片的加工任务。以上3种策略执行空调芯体翅片加工云服务的平均服务成本、服务时间及综合QoS效益分析如图3～图5所示。

结合云服务平台的服务数据及仿真分析可知(图3～图5)：采用本文所提的资源动态优选策略(策略3)执行空调芯体翅片加工任务的平均服务成本、服务时间及综合QoS指标均优于策略1，其综合QoS值提高了11.34%；而与策略2(初始资源发生扰动后，剩余加工任务全部由QB18057号翅片机完成)相比，策略3虽然在服务成本这一单项指标上有所不足，但其所需的平均服务时间、综合QoS指标明显优于策略2，其中QoS提升12.96%，因此，策略3产生的综合效益更高。综上所述，本文所提出的机床装备资源动态优选方法能有效提升随机扰动环境下的云制造服务质量的稳定性，具有较好的实用性。

5 结束语

本文针对云制造环境下机床装备资源在任务执行过程中易发生随机扰动，导致云制造任务实际QoS不能满足用户预期要求的问题，基于离散Markov跳变系统，构建了云制造任务执行过程QoS动态演变模型；设计了一种以控制云制造任务实时QoS状态稳定为目标，以机床装备资源选择策略为控制参数的云制造环境下机床装备资源动态优选方法；通过一个应用仿真案例，验证了所提方法的有效性和实用性。后续课题组将重点围绕云制造环境下生产随机扰动成因及其影响评价、高频扰动下机床装备资源的可信性评估等理论展开研究，以进一步丰富云制造服务理论，推动云制造模式向制造车间底层落地应用。