数在形中更直觉，形有数时易入微

颜 江

数形结合是一种数学思想方法，通过把抽象的数学语言、数量关系与几何图形、位置关系结合起来，借助“以形助数”或“以数解形”的方法使问题简单化。此数学思想在现代小学数学教学活动中较为常见，作为贯穿整个小学阶段的数学教学有效的解题方法之一，正在被广泛应用。数形结合思想的本质是通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，培养学生的“有氧思维”，从而提高课堂效率，实现高效教学。本文结合课堂实例，具体阐述如何在数学课堂教学中开展数形结合的有效教学。

一、数形结合的教学优势

（一）直观化教学

数学教学活动的组织、实施必须以提升学生的数学学习能力为基本标准，教师要结合学生的数学理解能力、数学学习过程设计对应的数学教学方案，从数学解题、问题推导、信息搜集等角度入手，剖析问题的具体构成元素，启发学生的数学思维。但对小学生来说，多要求共存的数学教学模式并不利于学生的接受：多种理论与教学要求在课堂上共存，导致学生难以快速地掌握数学知识；大部分数学教学资源以数字、符号为构成元素，理解难度较大，教学素材难以理解。在针对有关数学知识开展数学教学活动时，很难使学生快速掌握数学学习要求。数形结合则为学生学习数学知识提供了新的思路：在数学课堂上，有关教学活动围绕着数字、图形两大要素开展，教师帮助学生挖掘教材中的算理知识，但不以计算的方式进行授课，而是借由图形加工相关数学问题，帮助学生进行理解。在数形结合的推动下，答案、结果等评价性要素被暂时舍弃，学生需要借助直观的几何图形去理解数学问题，从而形成数学探究思维[1]。对小学生来说，数形结合给出了更为直观的学习方式：先看图，再提问，最后解决问题。数学教学演化为一个搜集资源和知识的过程，教学质量得到了有效提升。

（二）理性化教学

著名数学家欧几里得提出的“几何学”的有关概念为现代数学的发展和人类文明的进步作出了巨大的贡献。随着后世几何学的不断发展，数字与图形之间的壁垒被逐渐打破，关于数字与图形之间关系的探索逐渐演化为推动教育改革的原动力。阿恩海姆认为，思维的基本材料是表象，而不是人们通常所强调的概念和语言。这一观点指明了思维与客观现象之间的关系：学生在认识到有关材料之后形成数学思维，并通过对材料的挖掘、探究来锻炼自身的思维意识。对教学活动来说，“表面现象”远比复杂的数学理论更为重要。在数形结合教学下，数学图形材料作为“现象”出现在数学教学活动当中，在向学生展示数学知识的同时，借助图形来掩盖数学理论，要求学生通过理性分析过程掌握相关数学关系，重新理解数学知识[2]。图形中包含多种数学信息，可对学生的数学推导能力和逻辑思维等关键素养进行开发，从而促使学生快速掌握数学知识，找准数学学习的突破口。教师要抓住教学的理性化、功能化特点组织授课，积极挖掘数形结合的教学功能，以图形呈现数学关系，锻炼学生的相关数学思维，优化数学教学方法。

二、数形结合在小学数学计算教学中的应用策略

（一）以 “图” 引 “数”，掌握计算思路

计算教学只有搞明白了算理“为什么要这样算”，才能真正掌握算法“如何计算”。在“数”中寻找“形”，把计算问题转化为形状、图示去解决问题，这样的直观呈现，易于学生理解和接受[3]。同时，学生在探究、领悟算理的过程中，建模思维也可得到发展，形成抽象的计算方法，提高计算的正确率和速度。小学生由于感性思维的发育程度比理性思维要高，其在数学学习中更容易从直观的“形”中读取信息，而对抽象的“数”缺乏敏感度。在这种情况下，数学教师需要帮助学生弥补短板，在数形结合教学中，训练学生对“数”的判断能力，使其在面对“数”时，也能够拥有足够的分析能力，更好地解决问题。

例如，在教学“分数乘法”一课时，如果只是让学生知道计算方法——分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，相信所有的学生都能记住并运用，计算的正确率较高。但是，教学不仅仅是为了让学生会机械地计算，还需要让学生知道分数乘分数的算理。课堂上，教师通过图形的展示为学生讲解相关数学知识：将一个圆形分成6 份，要求学生说明每一份与原图形之间的关系。通过算理推导不难发现，被分割之后的图形与原图形之间保留着“局部”“整体”的关系，即6 份能够重新组合成一个图形，由此引出“六分之一”的数学概念。教师在讲解算理之后导入新一轮的数学教学：既然等分的图形可以用“几分之几”这一概念来表示，那么图形所分成的分数是不是也会对数产生影响？由此引出对分子、分母两个数学概念的探究，围绕着数字的写法、表达特点继续展开讨论。

（二）理 “数” 画 “形”，突破难点

“数字”对一年级的学生来说是比较抽象的，他们具备的是形象思维，倾向于通过表征来接受新知识。为了弥补短板，小学生需要进行有关“数”的训练，将“数”中的信息转变为“形”，从而逐步提高自身对“数”的敏感度。在实际教学中，数学教师应注意相关练习的安排，在围绕“数字”展开教学的过程中，有意识地加入“数字”向“图形”的转化，让学生在不知不觉中适应这种学习方式。因此，在教学时，教师应根据数字画出图形，借由图像、线条等素材展示数学知识，用写绘的形式凸显知识的难点，从而使学生突破难点，掌握知识[4]。

例如，在教学“10 以内数的加法”这一部分内容时，教学的难点在于：在原有的基数上再累加上去。简单的数学知识当中包含着算理，这一环节的教学要为学生后续数学技能的发展服务。在组织教学活动的过程中，可配合数形结合方法来实施授课。教师为学生准备写有数字1—9 的卡片，在课堂上与学生进行游戏：学生每人画出一条数轴，随后随机抽取两张或多张卡片，如抽取两次卡片，分别抽取到“5”和“9”，则要在数轴上先向前移动5 个点，再向前移动9 个点，并计算出移动的最终距离。基础板块的数学计算教学难度偏低，但算理的有关概念较为复杂，因此，教师要正确理解算理与数学计算之间的关系，挖掘算理的本真价值，借由数形结合，将数学计算活动转化为一个直观、高效的过程，使学生在实践的同时理解数学知识。

（三）析 “数” 联 “形”，直击重点

“数形结合”是数学学科中格外重要的一种理念，贯穿数学教学的各个阶段。学生熟练掌握“数形结合”，可以在后续的学习中减少许多困难，更加高效地解决问题。在课堂教学中，数学教师要从多个角度展现“数”与“形”的关系，并引导学生采取不同的方式对二者进行转化与联合解读，使学生熟练地运用解题工具。在算理教学中，教师可引导学生用数联系形，以形诠释数，实现数形联合，从而直击知识重点，使学生在直观中明晰算理，在抽象中掌握算法。

例如，教师在教学“笔算两位数乘两位数”时，可以两位数乘整十数和两位数乘一位数的笔算为基础。教学“14×12”时，引导学生厘清算理，让学生尝试自己独立完成计算，可以用画一画、圈一圈、算一算等方法实施授课。教师可以常见的“点子图”为对象，指导学生进行数学计算：绘制两张横向、纵向分别有10 个点的点子图，在每张点子图上分别选定12、14 个点，进行乘法计算。学生手持画有12个点的点子图，在上面标记点数，与所选中的14 个点相乘，每次点击一个点，则最终的计算结果要增加14。在利用点子图进行计算的过程中，帮助学生整理数学计算思路：既然每一次点击都代表着增加14，是否可以将12 分成不同的数字进行点击？如将12 划分为6+6、10+2 等，将两位数与两位数的乘法转化为两位数乘一位数的乘法。教师可以有意识地引导学生观察点子图和口算以及笔算之间的联系，使学生明白数字当中的乘积关系，确定数学计算方向。教师引导学生口算与点子图进行沟联、口算与笔算进行沟联、点子图与笔算进行沟联，进行多番的转换，直击算理的重点，直观中抽象出计算方法，并建立表象，形成模型，从而掌握两位数乘两位数的计算方法。

（四）“形” 上觅 “数”，非此即彼

数学概念比较抽象，需要较强的逻辑思维能力。而学生形象思维占主体，要理解、形成和内化、运用概念，需要建立具象和表象。教学中运用“形”的直观性，引入概念，发现概念的形成过程，抓住概念的本质属性，结合“数”概括出其内涵，深刻理解概念，发展学生发散性思维[5]。对小学生来说，数学知识本身带有独立性、不可替代性的特点，但借由图形材料解答相关数学问题，则可以模糊数学知识之间的边界，将学生已经掌握的数学知识引入到全新的教学活动当中，启发学生的数学思维。

教师要尝试利用各类数学用具、图像来贯彻“数形结合”思想，以形展示数、以数标记形，启发学生的数学探究思维。以数学教材中“大数的认识”为例，学生开始接触百万、千万等大数，数的概念被无限放大，如果通过数位、数字等简单的数学知识要求学生进行记忆，则数学教学活动过于单一，教师可通过数形结合唤醒学生的数学思维：以个、十、百三个基础单位为对象引导学生进行思考，要求其通过画正方形的方式说明三个数位之间的关系。用面积为1 的正方形代表个位，则面积为10 的正方形代表十位，边长为10 的正方形代表百位，面积即是数位的最大值。而面对“百万”“千万”等更大的数位，则可以通过数学计算来绘制数学图形，通过图形来理解数学单位。我们目前学到的最大的单位是万，如果用正方形来表示万，那么这个正方形的边长是多少？如果用表示万的正方形来表示百万，这个正方形的边长又是多少？一万当中包含着100个100，故正方形的面积为10000，边长为100。对于一百万，则相当于100 个面积为10000 的正方形，边长要变为原来的10 倍。在形上寻找数的“踪迹”，将抽象的数字转化为直观的几何概念，可以有效提升学生的数学理解能力。

（五）润 “形” 解 “数”，还原本质

在传统教育模式下，理论类的知识点往往被错误地看作需要“背诵”的部分，进而产生了一系列机械式教学方法，使学生陷入无穷无尽的死记硬背中，丧失学习活力。实际上，数学概念的学习并不是一个死记硬背的过程，是需要学生经过自主消化、吸收的过程，学生只有自己领悟其中的本质，才能很好地掌握并运用概念。对于概念的展开，运用“数形结合”，追溯概念的根本，掌握概念的本质，顺藤摸瓜理解概念的外延，进而达到灵活应用[6]。

例如，同一个数在不同的数位所表示的大小和意义是不一样的，学生刚接触这一知识点时理解起来还是有一定的难度的。要把这个难点突破并内化成自己的知识，可以进行一些操作实践，一步一步地领悟。学生可以学着教师的样子，把一颗珠子在计数器上摆一摆，在摆的过程中推导算理——相同的珠子摆放在百位上、摆放在十位上，其大小是否会发生变化，并思考这个数在不同数位上所表示的数学概念。在摆放珠子、记录数字的过程中，通过形的展示帮助学生理解数位的有关概念：由于数位的不同，同一个数所表示的意义和大小其实是完全不同的，本质含义一目了然。这样的教学可以使学生自己领悟和理解概念的内涵，掌握知识，最后通过这样的活动举一反三，在探索的过程中领悟其他的知识。

“数形结合”的思想方法是数学课堂中不可或缺的一种教学方法，更是学生学习过程中的一种重要解题方法。学生掌握“数形结合”学习策略后，在厘清算理、透析概念、解决问题方面有了本质的改变，明白了在数学学习的过程中要理解知识的本质、明了概念的形成，把抽象的知识具体化、形象化，做到“有形”，在“有形”的数学中掌握知识要领，发展了“有氧思维”，从而形成了“无形”的思维。