一些capable群

李志秀

(晋中学院 数学系,山西 晋中 030600)

对于一个给定的群G, 若存在另一个群H,使得H/Z(H)≅G, 则称G可以充当中心商, 或称G为capable群.早在1938年Baer在文献[1]中开始研究中心商问题，后来许多学者都研究过此问题[2-11].对中心商问题的研究, Hall在他的p-群研究的奠基性论[2]中做了如下评论:“一个群G需要满足什么条件才可以充当另一个群H的中心商群，这是个有趣的问题，得到大量的必要条件是比较容易的，但要得到充分条件却很难.”Hall提出的同倾族方法(isoclinism)与群的中心商密切相关.此外, 中心商问题与覆盖群(covering groups)的Schur’s理论及射影表示(projective representation)都有联系.作者在文献[10-11]中借助群的扩张理论、通过复杂的换位计算对一些3群及极大类的3群的capable性质做了一些探索，得到了一些其所有的极大子群都同构且幂零类是2的capable群G,并由群G构造得到了群H,使得H满足H/Z(H)≅G.若无特别说明，论文所用的符号和概念均取自文献[12].

引理1[12]设G是群,a,b,c∈G,则

(1)[ac,bc]=[a,b]c；

(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c]=[a,c][a,c,b][b,c]；

(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c=[a,c][a,b][a,b,c].

引理2[12]设G是亚交换群,a,c∈G,n为正整数, 则[cn,a]=[c,a]n.

引理3[12]设G是亚交换群,a,b∈G,对于任意正整数i,j,设[ia,jb]=[a,b,a,…,a,b,…,b],则对于任意的正整数m,n,有

引理4[13]一个有限群G被称为是一个C2In-1群，如果G的所有极大子群都同构且幂零类是2.

1 主要结果

下面给出论文的主要结果,以下所讨论的全部都是3元生成的C2In-1群.

定理1若G为群G=〈a,b,c|apn=bpn=cpn=xpr=zpr=ypr=1,[a,c]=y,[b,c]=z,[a,b]=x〉.当p=2时,n>r≥1;当p>2时,n≥r≥1.则G是capable 群.

证明从p3n+3r阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉≅Zpn×Zpn×Zpn×Zpr×ZPr×Zpr,

令映射

σ:x→x,y→y,z→zf,d→d,e→e,f→f,

再把它扩充到整个A上，易证σ是A的pn阶自同构.设〈a〉是pn阶循环群，且在A上的作用与σ相同，令B=A〈a〉,则|B|=p4n+3r.在B中规定映射

γ:x→x,y→ye,z→z,d→d,e→e,a→ax,

再把它扩充到整个B上，易证γ是B的pn阶自同构.设〈b〉是pn阶循环群，且b在B上的作用与γ相同，令C=B〈b〉,|C|=p5n+3r.设〈c〉是pn阶循环群，且c作用在C上,有

xc→xd,yc→y,zc→z,dc→d,

ac→ay,bc→bz,H=C〈c〉,

H=〈a,b,c|apn=bpn=cpn=xpn=zpn=ypn=dpr=epr=fpr=1,

[a,c]=y,[b,c]=z,[a,b]=x,[xpr,c]=[ypr,b]=[zpr,a]=1〉，

Z(H)=〈xpr,ypr,zpr,d,e,f〉,

H/Z(H)≅G,

即群G是capable.

定理2若G为群，且

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

则G是capable 群.

证明从26阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉≅Z2×Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射

σ:x→x,y→y,z→zd,d→d,e→e,f→f,

再把它扩充到整个A上，易证σ是A的22阶自同构.设〈c〉是22阶循环群，且在A上的作用与σ相同，令B=A〈c〉,c2=x,则|B|=27.在B中规定映射

γ:x→x,y→y,z→ze,f→f,e→e,c→cz,

再把它扩充到整个B上，易证γ是B的22阶自同构.设〈a〉是pn阶循环群，且a在B上的作用与γ相同，令C=B〈a〉.设〈b〉是22阶循环群，且b作用在C上,有

b:x→xf,c→cy-1,y→y,

f→f,a→ax,H=C〈b〉,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=e2=1,

c2=x，[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x,

[x,b]=f,[z,c]=d,[z,a]=e〉,Z(H)=〈d,e,f〉,

H/Z(H)≅G,

即群G是capable.

定理3若G为群，且

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，b2=xz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

则G是capable 群.

证明从25阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉≅Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射

σ:x→xf,z→z,y→y,f→f,d→d,

再把它扩充到整个A上，易证σ是A的22阶自同构.设〈b〉是22阶循环群，且在A上的作用与σ相同，b2=xz,令B=A〈b〉,则|B|=26.在B中规定映射

γ:x→x,y→yf,z→zd,f→f,d→d,b→by,

再把它扩充到整个B上，易证γ是B的22阶自同构.设〈c〉是22阶循环群，且c在B上的作用与γ相同，令C=B〈c〉,c2=x.设〈a〉是22阶循环群，且a作用在C上,有

a:x→xd,c→cz,y→y,

f→f,H=C〈a〉,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=1,

c2=x，b2=xz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x,

[x,a]=d=[z,c],[x,b]=f=[y,c]〉,Z(H)=〈d,f〉,

H/Z(H)≅G,

即群G是capable.

定理4若G为群

G=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=1,

c2=x，b2=xz,a2=xyz,[c,a]=z,[b,c]=y,[a,b]=x〉,

则G是capable 群.

证明从26阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G.

设交换群

A=〈x〉×〈y〉×〈z〉×〈d〉×〈e〉×〈f〉≅Z2×Z2×Z2×Z2×Z2×Z2,

令映射σ:x→xf,z→z,y→y,e→e,f→f,d→d,再把它扩充到整个A上，易证σ是A的22阶自同构.设〈c〉是22阶循环群，且在A上的作用与σ相同，c2=x,令B=A〈c〉,则|B|=26.在B中规定映射

γ:x→x,y→y,z→ze,e→e,d→d,c→cz,

再把它扩充到整个B上，易证γ是B的22阶自同构.设〈a〉是22阶循环群，且a在B上的作用与γ相同，令C=B〈a〉,a2=xyz.设〈b〉是22阶循环群，且b作用在C上,有

b:a→ax,y→y,z→z,

c→cy-1,x→xd,d→d,

H=C〈b〉,b2=xz,

H=〈a,b,c|a4=b4=c4=x2=z2=y2=f2=d2=e2=1,

c2=x，b2=xz,a2=xyz,[c,a]=z,[b,c]=y,

[a,b]=x,[z,a]=e=[b2,a],[x,b]=d=[c2,b],

[x,c]=f=[c2,a]〉,

Z(H)=〈d,e,f〉,

H/Z(H)≅G,

即群G是capable.