新型特征模基函数构造加速目标电磁散射分析

王仲根，郭 飞，孙玉发，王 攀，聂文艳，高晓嵩

(1.安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽 淮南 232001；2.安徽大学电子信息工程学院，安徽 合肥 230601；3.淮南师范学院机械与电气工程学院，安徽 淮南 232001 )

矩量法(Method of Moments，MoM)[1]是分析目标电磁散射问题的一种有效方法，但在处理电大目标时，计算时间和内存需求会急剧增加。为解决此问题，许多有效的加速算法被提出来，如自适应交叉近似(Adaptive Cross Approximation，ACA)[2]、等效偶极子法(Equivalent Dipole Method，EDM)[3]、快速偶极子法(Fast Dipole Method，FDM)[4]、自适应积分法(Adaptive Integral Method，AIM)[5]等，这些方法可以有效降低矩阵向量积计算的复杂度，但不能减少未知数的数目。为了减少未知数的数目，引入宏基函数到矩量法中以降低矩阵的维数，如复合基函数法[6]、子全域基函数[7]、特征基函数法(Characteristic Basis Function Method，CBFM)[8-9]和特征模基函数法(Characteristic Mode Basis Function Method，CMBFM)[10-11]。CBFM基于区域分块原理，将目标划分为多个子域，通过构造特征基函数(Characteristic Basis Functions，CBFs)且考虑各个子域之间的耦合作用，将矩阵方程转化为一个低维的缩减矩阵方程，但CBFs的生成需要设置大量的入射激励且CBFs的构造消耗大量时间。

特征模是一种仅和结构自身的形状和材料有关的固有模式，适应于任意电磁结构，与外加激励无关，尤其适用于分析多激励问题，因此特征模理论在天线的设计和优化中得到广泛应用[12-13]，但在电磁散射分析方面应用较少。文献[14]直接将特征模基函数作为全域基函数解决多激励散射问题；文献[15]使用特征模理论对全电介质包裹的电导体进行散射分解和控制；文献[16]把基于电场积分方程的特征模作为全域基函数以降低阻抗矩阵维数；文献[17]将双态近似法与特征模结合，计算目标单站雷达散射截面(Radar Cross Section，RCS)。但是上述方法在分析电大目标散射特性时，生成的阻抗矩阵维数大，特征模求解困难。

因此，针对CMBFM基函数构造较慢、求解效率低的问题，本文基于区域分块原理，提出一种新型特征模基函数法(Novel Characteristic Mode Basis Function Method，NCMBFM)，将目标划分为多个子域并扩展，根据模式显著性从每个子域的阻抗矩阵中获得有效模式作为特征模基函数，最后对筛选出的特征模基函数进行奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)，加强基函数之间的正交性，最后结合算例进行分析，以期为分析电大目标电磁散射特性提供一种参考。

1 特征模基函数法

MoM的基本思想是将积分方程转化为矩阵方程，即

ZJ=V

(1)

式中：Z为满秩稠密阻抗矩阵，维数为N×N；J和V分别表示电流系数和入射激励，均为N×1的矩阵，N表示未知数的个数。未知数较大时，方程求解非常耗时，CMBFM通过构造特征模基函数(CMBFs)实现对矩阵方程降维。根据特征模理论，对任意形状的导体目标，其CMBFs由阻抗矩阵求解得到，即

Z=R+jX

(2)

XJCM=λRJCM

(3)

式中：R和X分别表示Z的实部和虚部；JCM是与特征值λ相对应的特征向量。根据特征模的特性，对于散射问题，少数低阶CMBFs的叠加足以近似表示表面电流。在这种意义上，这些低阶的模式电流可以被选择作为基函数。假设特征模个数为K，将相应的模式JCM作为基函数，则感应电流J可以通过JCM的线性叠加得到，即

(4)

式中：ak为待求的展开系数，JCMk为第k个CMBFs。将式(4)代入式(1)，并在方程两边同乘以J的转置，得到关于ak降阶的缩减矩阵方程

ZRa=VR

(5)

ZR=JTZJ

(6)

VR=JTV

(7)

式中：ZR为缩减矩阵，维数为K×K，T表示转置；a为展开系数矩阵，通过求解方程(5)可以得到系数矩阵a。当分析电大目标时，随着矩阵维数的增大，求解式(3)的复杂度高，特征模求解困难，CMBFM计算效率低。

2 新型特征模基函数法

为了提高传统CMBFs的构造效率，本文提出了NCMBFM。将所求目标划分为M个子域，再将每个子域离散成Ni个单元(i=1,2,…,M)。由于分割后目标的形状发生改变，每个子域上的CMBFs也会相应发生改变，特别是在被截断的虚拟边界附近，因此这些CMBFs并不能准确表征每个子域上的原始电流。为了解决这一问题，对每个子域进行扩展，在引入扩展区域后，可以保证虚拟边界附近特征电流的平滑性和延续性[18]，则式(1)变成如下形式

(8)

(9)

SVD技术不仅可以去除CMBFs中的冗余信息，同样可以增强CMBFs间的正交性,进而优化缩减矩阵的条件数，加速矩阵的迭代求解。因此，在CMBFs生成之后应用SVD技术，SVD过程如下

(10)

(11)

(12)

(13)

应用NCMBFs构造的缩减矩阵的条件数得到优化，可以显著加快缩减矩阵方程迭代求解效率。

3 数值算例

为验证本文方法的有效性和准确性，分别对导体立方体和球的双站RCS进行了计算。所有算例均在Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2682 v4 @ 2.50GHz 2.50GHz (2个处理器)，64.0 GB RAM的PC机上完成，编译器采用Visual studio 2017，迭代算法采用BiCGStab，迭代阈值设置为0.01(无预处理)，SVD的门限设置为0.001，为了测试本文方法的精确性，定义均方根误差

式中:Na为采样点数；σref,i表示商用软件(FEKO)计算的RCS结果；σcal,i表示CMBFM或NCMBFM计算的RCS结果。

算例1：计算了一个边长为1m立方体的双站RCS， 入射频率为600MHz， 入射角θ=0°～180°,φ=0°。用三角单元进行剖分，单元数为9 304，未知数为13 956；NCMBFM将目标划分为8个子域，每个子域均向外扩展0.15λ，扩展后未知数为17 963。为研究扩展区域对精度的影响，图1给出了4种不同扩展区域条件下RMSE随τcm变化的情况。从图1可以看出，扩展区域越大，精度越高；当扩展区域为0.15λ，τcm为7×10-4时，RMSE可以达到0.22dBsm，而扩展区域为0.3λ，τcm为8×10-3便可以达到此效果。扩展区域的增大，未知数的个数也会随之增多，为了平衡计算效率和精度，选择扩展区域为0.15λ，τcm为3×10-4。表1给出了两种方法构造CMBFs的时间，结果表明子域扩展增加了CMBFs的个数和未知数的数目，CMBFM构造基函数时间1 134.72 s，而NCMBFM构造基函数时间为27.833 s，CMBFs构造效率显著提高。

图1 不同扩展区域下RMSE随τcm的变化情况 图2 不同阈值下有无SVD处理的迭代次数

表1 两种方法构造CMBFs的时间及各子域未知数数目

表2给出了在不同扩展尺寸下有无SVD情况下缩减矩阵的条件数。由表2可知，在使用SVD后，缩减矩阵的条件数下降了两个数量级，矩阵的条件数得到了优化。图2给出了迭代求解缩减矩阵时，在不同迭代阈值下，有无SVD处理对迭代求解效率的影响。结果表明经过SVD后，矩阵方程迭代求解次数显著下降。当迭代阈值设置为0.01时，两种方法的迭代次数分别为6 137和86，计算效率提高了87.7%。分别应用CMBFM和NCMBFM计算导体立方体HH极化的双站RCS，计算结果如图3所示，从图3可以看出NCMBFM和FEKO计算结果吻合度较好，计算精度较高。

表2 有无SVD对缩减矩阵条件数的影响

图3 立方体双站RCS

算例2：计算了一个半径为1m导体球的双站RCS，入射频率为800MHz，入射角θ=0°～180°,φ=0°。用三角单元进行剖分，单元数为34 828，未知数数目为52 242。NCMBFM中将目标划分为8个子域并均向外扩展0.15λ，扩展后未知数为62 687。与CMBFM相比，加入SVD技术之后，缩减矩阵的条件数从3.49×107下降到4.38×105，迭代次数从19 566下降到151。两种方法计算的HH极化双站RCS如图4所示。从图4可以看出，NCMBFM计算出的结果与CMBFM和FEKO吻合较好。

图4 导体球双站RCS

4 结论与展望

本文给出了一种新型特征模基函数构造方法，该方法在特征模基函数法的基础上，首先将目标划分为多个子域并向外扩展，保证虚拟边界附近特征电流的平滑性和延续性；然后根据模式显著性从每个子域的阻抗矩阵中选出有效模式作为基函数；最后应用奇异值分解技术，增强基函数之间的正交性，优化了缩减矩阵的条件数。数值结果证明，该方法在保证精度的同时，有效提高了基函数构造时间和缩减矩阵迭代求解的收敛速度，提高了计算效率，为分析电大目标电磁散射特性提供了一种新的途径。

对于电大目标，由于子域数目较多，特征模数目急剧增加，缩减矩阵维数变大，缩减矩阵方程迭代求解收敛较慢。在今后研究中，可将矩阵预处理技术引入到本文方法中，进一步优化矩阵条件数，提高特征模分析电大目标电磁散射特性的效率。