广义逆与方程解的存在性

赵旭东， 王 姗， 魏俊潮

(1.运城师范高等专科学校 数学与计算机系， 山西 运城 044000； 2.扬州大学 数学科学学院， 江苏 扬州 225002)

0 引言

本文中，R均表示一个有单位元1的结合环. 设*:R→R为一个双射， 若对∀a,b∈R满足条件：

则称R为一个对合环或*-环.

设a∈R， 若存在b∈R， 满足

a=aba；b=bab；ab=ba，

则称a为R的群可逆元， 称b为a的群逆元， 由文献[1]知b是唯一的.用a#表示群可逆元a的唯一的群逆元， 用R#表示R的全体群可逆元的集合.

设R为*-环，a∈R. 若存在b∈R， 使得

则称a为R的Moore Penrose可逆元[2]， 简称为MP-可逆元， 称b为a的MP-逆元.由文献[3]知b是唯一的， 记为a+.因此有

用R+表示R的全体MP-可逆元的集合.

设R为*-环，a∈R+.若a+=a*， 则称a为偏序等距元[4].用RPI表示R的全体偏序等距元的集合.关于偏序等距元的研究还可参见文献[5-7].

设R为*-环，a∈R#∩R+.若a#=a+， 则称a为EP元[8].用REP表示R的全体EP元的集合.

设R为*-环，a∈R#∩R+.若a#=a+=a*， 则称a为强EP元[4, 9].用RSEP表示R的强EP元的集合.

很多作者对EP元及PI元进行了刻画， 如文献[4-8, 10-12].文献[12]借助于构造的方程在给定集合中解的存在性， 研究EP元及PI元素的性质刻画， 这是一种新的研究广义逆的方法.本文的主要目的也是利用相关方程在给定集合中有解的情况下， 研究元素的广义逆性质.

1 主要结果

在文献[12]中， 介绍了如下方程：

x=a+x(a+)*

(1)

我们可以把这个方程推广如下：

x=a+y(a+)*

(2)

定理1设a∈R#∩R+， 则方程(2)的一般解为

(3)

证明首先证明公式(3)是方程(2)的解.这是因为

a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*=a+p(a+)*.

取p=aa+y0aa+，z=y0， 则有

a+p(a+)*=a+(aa+y0aa+)(a+)*

=a+y0(a+)*=x0，

p+z-aa+zaa+=aa+y0aa++y0-aa+y0aa+=y0，

因此, 公式(3)确是方程(2)的一般解.

推论1设a∈R#∩R+， 则a∈RPI当且仅当

(4)

为方程(2)的一般解.

证明先证必要性.若a∈RPI， 则有(a+)*=a.

可见， 公式(3)与公式(4)相同， 由定理1知， 公式(4)为方程(2)的一般解.

再证充分性.若方程(2)的一般解可由公式(4)给出， 那么

a+pa=a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*

=a+p(a+)*，

其中p,z∈R.

因此对任意p∈R， 我们有a+pa=a+p(a+)*.

特别地取p=1， 有a+a=a+(a+)*， 从而a=aa+(a+)*=(a+)*， 所以a∈RPI.

定理2设a∈R#∩R+， 则方程的一般解可由公式(4)给出.

x=a+ya

(5)

证明类似于定理1可证.

推论2设a∈R#∩R+， 则a∈RPI当且仅当方程(2)与方程(5)同解.

证明必要性：假设a∈RPI， 则(a+)*=a， 因此方程(2)与方程(5)相同， 当然同解.

充分性：若方程(2)与方程(5)同解， 则由定理2知方程(2)的一般解可由公式(4)给出.再由推论1知a∈RPI.

定理3设a∈R#∩R+， 则a∈REP当且仅当

(6)

为方程(2)的一般解.

证明先证必要性.若a∈REP， 则a#=a+， 因此, 公式(3)与公式(6)相同， 由定理1可知公式(6)为方程(2)的一般解.

再证充分性.若方程(2)的一般解可由公式(6)给出， 则

a#p(a+)*=a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*=a+p(a+)*，

取p=aa*， 可得a#aa+a=a+aa+a， 即a#a=

a+a， 因此a∈REP.

定理4设a∈R#∩R+， 则a∈RPI当且仅当公式(3)为方程(5)的一般解.

证明先证必要性.若a∈RPI， 则a=(a+)*， 可知方程(5)与方程(2)相同， 从而有相同的解.由定理1可知公式(3)为方程(5)的一般解.

再证充分性.若公式(3)为方程(5)的一般解， 则

a+p(a+)*=a+(p+z-aa+zaa+)a=a+pa，

其中p∈R.

特别地取p=1， 有a+(a+)*=a+a， 左乘a得(a+)*=a， 所以a∈RPI.

现在变换方程(1)如下：

x+(a+)*=a+x(a+)*+a

(7)

定理5设a∈R#∩R+， 则a∈REP当且仅当方程(7)在集合χa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一个解.

证明先证必要性.若a∈REP， 则a+=a#， 可得a+a(a+)*=a#a(a+)*=(a+)*， 显然x=a是方程(7)的一个解.

再证充分性.

(1)若x=a是方程(7)的一个解， 那么

a+(a+)*=a+a(a+)*+a，

即

(a+)*=a+a(a+)*.

取对合*， 有a+=a+a+a， 因此a∈REP.

(2)若x=a#是方程(7)的一个解， 则

a#+(a+)*=a+a#(a+)*+a，

先左乘(1-aa+)， 得

(1-aa+)a+a#(a+)*=0，

再对最后得到的等式右乘a*a2a+， 得

(1-aa+)a+=0， 因此a∈REP.

(3)若x=a+是方程(7)的一个解， 则

a++(a+)*=a+a+(a+)*+a，

右乘a+a， 得a+=a+a+a， 所以a∈REP.

(4)若x=a*是方程(7)的一个解， 则

a*+(a+)*=a+a*(a+)*+a，

即

a*+(a+)*=a+a+a+a，

右乘a+a， 得a*=a*a+a， 有a=a+a2， 因此，a∈REP.

再应用对合， 得a#=a+aa#， 因此a∈REP.

(6)若x=(a+)*是方程(7)的一个解， 则

(a+)*+(a+)*=a+(a+)*(a+)*+a，

先左乘aa+， 得

a+(a+)*(a+)*=aa+a+(a+)*(a+)*，

再右乘a*a#a， 得a+(a+)*=aa+a+(a+)*. 因此

a+=a+(a+)*a*=(aa+a+(a+)*)a*

=aa+a+aa+=aa+a+，

因此a∈REP.

定理6设a∈R#∩R+， 则a∈RPI当且仅当a+∈RPI.

证明先证必要性.由于a∈RPI， 则a+=a*.

故a=(a+)*， 即有(a+)+=(a+)*， 于是a+∈RPI.

再证充分性.若a+∈RPI， 由“必要性”知 (a+)+∈RPI， 即a∈RPI.证毕.

用a+代替方程(1)中的a， 可得如下方程:

x=axa*

(8)

由定理6及文献[9]中的定理2.7， 知有下面的定理.

定理7设a∈R#∩R+， 则a∈RSEP当且仅当方程(8)在集合χa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一个解.