巧作平行线 构造相似形

周青松

类型一：巧连线段中点构造相似三角形

例1 如图1，在△ABC中，E、F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE、AF于点P、Q，求BP∶PQ∶QD。

【分析】求线段比可以转化为证相似三角形的问题来解决。通过已知条件获悉有三等分点、有中点，从而利用平行线构造相似形（A型或X型）得到BP、PQ与DQ的关系。

解法1：如图2，点D为线段AC的中点，点F为线段EC的中点，连接DF，从而得到DF∥AE，DF∥PE，△BEP∽△BFD，△APQ∽

△FDQ。通过平行线构造出了一个A型图和一个X型图，通过两次相似即可得到结论BP∶

PQ∶QD=5∶3∶2。

解法2：如图3，过点D作DG∥BC，交AE于点G，AF于点H。根据三角形中位线定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ与DQ的关系，求比即可。

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理和三角形中位線定理，灵活运用定理、找准对应关系是关键。

类型二：过顶点作平行线构造相似三角形

例2 （2021·江苏连云港）如图4，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D。若BF=3FE，则[BDCD]= 。

【分析】传统方式依旧可行，利用平行线构造相似形（A型或X型）便容易得解。此类问题也可以转化为三角形的面积问题来解决。

解法1：如图5，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点G。

因为BE是△ABC的中线，

易证△AEG≌△CEB，故BE=GE，GA=BC。

令EF=y，则BF=3y，GE=BE=4y，FG=5y。

因为AG平行于BC，易证△DFB∽△AFG，

故[BDGA]=[BFGF]=[35]，故[BDBC]=[35]，

从而[BDCD]=[32]。

解法2：如图6，过E作EG∥AD，从而可以得到FD∥EG，G是CD的中点，根据已知BF=3FE，可以得到[BDCD]=[32]。

解法3：如图7，连接CF，因为BE是△ABC的中线，所以FE是△FAC的中线，故S△FAE=S△FCE。

过点C作CN⊥AD于点N，过点F作FP⊥BC于点P，过点B作BM⊥AD交AD延长线于点M，令BM=h1，CN=h2，FP=h3，S△FAE=S△FCE=x。

因为BF=3FE，所以S△ABF=3x，

此时[S△ABFS△AFC]=[12AF·h112AF·h2]=[h1h2]=[32]，

故[S△BDFS△CDF]=[12DF·h112DF·h2]=[12BD·h312CD·h3]=[BDCD]=[32]。

【点评】本题表面上求的是两条线段的比，其实质仍然是构造相似三角形。

类型三：过一边上的点作平行线，构造相似三角形

例3 如图8，在△ABC中，AB>AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P。求证：[BPCP]=[BDCE]。

【分析】要证[BPCP]=[BDCE]，由图结构可知BP、CP共线且有公共端点，可以过点C作BA的平行线构造相似三角形，或过点C作DE的平行线，利用平行线分线段成比例来证明。

证法1：如图9，过点C作CF∥AB，交DP于点F，从而得到△PCF∽△PBD，故[BPCP]=[BDCF]，根据已知条件知AD=AE，结合CF∥AB可以推导出EC=CF，故[BPCP]=[BDCE]。

证法2：如图10，过点C作CF∥DE，交AB于点F，从而得到[BPCP]=[BDFD]，[ADDF]=[AEEC]，根据已知条件知AD=AE，故EC=DF，故[BPCP]=[BDCE]。

【点评】求同一条直线上有公共端点的两条线段的比，通常可以通过两条线段的三个端点之一作已知线段的平行线，构造相似三角形（A型或X型）。

类型四：过一点作平行线，构造相似三角形

例4 如图11，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=[14]AB，连接EM并延长，交BC的延长线于点D。求证：BC=2CD。

【分析】我们不难发现，此题与上述三个例题相似，依然是作平行线，利用平行构造相似三角形（A型或X型）来解决问题。

证法1：如图12，过点C作CF∥AB，交DE于点F，构造A型相似，△CDF∽△BDE，

∴[CFBE]=[CDBD]。

∵点M为AC边的中点，

易证△AME≌△CMF，∴AE=CF。

∵AE=[14]AB，BE=AB-AE，

∴BE=3AE，∴[AEBE]=[13]。

∵[CFBE]=[CDBD]，∴[CDBD]=[AEBE]=[13]，

即BD=3CD。

又∵BD=BC+CD，∴BC=2CD。

证法2：如图13，过点C作CF∥DE，交AB于点F，从而[AEAF]=[AMAC]。

又∵点M为AC边的中点，∴AC=2AM，

∴2AE=AF，∴AE=EF。

又∵[AEAB]=[14]，∴[BFEF]=2。

∵CF∥DE，∴[BFEF]=[BCCD]=2，∴BC=2CD。

【点评】经三角形一边的中点、三角形的顶点、三角形一边上的点作平行线来构造相似三角形求解，是基于相似来解决问题的常用方法。

（作者单位：苏州工业园区独墅湖学校）