克罗内克《代数量的算术理论概要》的历史分析

程军叶 王勇兵 王淑红

(河北师范大学数学科学学院，石家庄 050024)

1 引言

利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker，1823—1891)是德国著名数学家，曾先后当选柏林科学院院士、巴黎科学院通讯院士、伦敦数学会荣誉会员、英国皇家学会会员等，曾担任《纯粹与应用数学杂志》(JournalfürdiereineundangewandteMathematik)主编、柏林大学数学教授，冠有德国数学界“无冕之王”的称号[1]。

克罗内克一生发表论文近150篇[2]，大部分发表在《柏林科学院月刊》(MonatsberichtederBerlinerAkademie)与《纯粹与应用数学杂志》上，在代数学、数论、椭圆函数论等方面做出了重大贡献[3]。他先后提出了著名的“克罗内克-韦伯定理(Kronecker-Weber theorem)”和“青春之梦猜想”(Jugendtraum)[4]；用椭圆函数求解出了一般的五次方程；建立了除子理论，克服了唯一因子分解的困难；创立了有理函数域论，探讨了算术与椭圆函数之间的关系，提供了用解析方法研究代数数论的基础，从而建立起了各学科之间联系等。此外，克罗内克还是一位哲学家，对数学哲学有着强烈的信念，曾试图将一切数学算术化。他曾写道：“有一天人们终将成功地将所有数学算术化，也就是说，将数学建立在最狭义的数概念的单一基础上。”[5]在这种哲学观念的指导下，克罗内克开始了他的算术化工作。

就代数几何的算术化工作而言，克罗内克1882年在《纯粹与应用数学杂志》上发表《代数量的算术理论概要》(Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen)，继承了恩斯特·库默尔(Ernst Kummer，1810—1893)的理想数思想，首次提出了“除子”的概念，建立了除子理论。除子理论是理查德·戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)理想论的另一种形式[6]，虽然人们通常比较推崇戴德金的理想论，但同时代克罗内克的思想也不容忽视。他开辟了以除子为基础的算术方向，与戴德金等人一起迈出了代数几何算术化的第一步，开创了代数几何算术化的先河。

目前与其《代数量的算术理论概要》相关的论述主要有：朱尔斯·莫尔克(Jules Molk，1857—1914)1885年发表的文章《可除性概念和一般消元理论》(Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de l’élimination)全面而详细地讨论了克罗内克《代数量的算术理论概要》中的除子理论、模系统(modular system)、一般消元理论等内容[7]；亨利·范因(Henry Fine，1858—1928)1892年发表的文章《克罗内克及其代数方程算术理论》(Kronecker and His Arithmetical Theory of the Algebraic Equation)重点阐述了《代数量的算术理论概要》中的基本要点，解释了克罗内克在这篇文章中对伽罗瓦代数方程原理的理解[8]；哈罗德·爱德华兹(Harold Edwards，1936—)1990年出版的书籍《除子理论》(DivisorTheory)系统地介绍了克罗内克的一般除子理论，阐述了自己对除子理论的理解([9]，pv)；爱德华兹1992年发表的文章《克罗内克代数量的算术理论》(Kronecker’s Arithmetical Theory of Algebraic Quantities)介绍了《代数量的算术理论概要》中的内容和思想，详细阐述了多项式分裂域的构造思想[10]；蒂埃里·库克(Thierry Coquand，1961—)2004年发表的文章《克罗内克关于代数簇的一个定理》(Sur un théorème de Kronecker concernant les variétés algébriques)介绍了克罗内克《代数量的算术理论概要》中的定理“在n个变量的多项式环中，有限生成理想的任何根都是n+1个元素生成的理想的根”[11]，并给出了在克鲁尔维数≤n的环中该定理的构造性证明；爱德华兹2007年发表的文章《克罗内克一般算术基本定理》(Kronecker’s Fundamental Theorem of General Arithmetic)对克罗内克的代数基本定理进行了陈述和证明，并对具有整系数的多项式函数进行了深刻的探讨[12]；《交换代数早期历史中的可除性理论和代数几何基础》(Divisibility theories in the early history of commutative algebra and the foundations of algebraic geometry)介绍了克罗内克在《代数量的算术理论概要》中所讨论的模系统([13]，p91)。这些文献都对克罗内克《代数量的算术理论概要》中的部分内容作了介绍，但都并未明确指出克罗内克这篇文章中所体现的代数几何算术化思想。其原因可能在于克罗内克的除子理论被数学家和数学史家公认为理解起来很困难，而且他的《代数量的算术理论概要》不是以“定义、定理、证明”的模式来撰写，加之由代数几何算术化所产生的算术几何本身就是当代的一个很有难度的数学学科。这些因素叠加在一起，使得克罗内克的代数几何算术化思想至今仍未被很好地解读。

有鉴于此，我们在以上研究的基础之上，认真理解和分析克罗内克的长篇德语原文《代数量的算术理论概要》，同时结合其他相关文献，运用概念分析法和曲安京教授提出的重构路线图方法[14]，着重对“为什么说克罗内克代数量的算术理论是代数几何算术化的开端”这一问题进行探讨。通过探讨该问题，可以使人们更清楚地理解和掌握克罗内克代数几何算术化思想的内涵。特别地，这还将有助于我们进一步了解克罗内克的除子理论与代数几何之间的联系。

2 克罗内克代数几何算术化思想产生的动因

在分析克罗内克的《代数量的算术理论概要》之前，我们首先要弄清楚克罗内克建立代数量算术理论的动因是什么？

克罗内克是库默尔的学生，自进入利格尼茨中学之后便认识了库默尔。库默尔当时是利格尼茨中学的教师，发现克罗内克具有数学天赋，对他的培养远远超出了学校的要求，并鼓励他从事数学研究工作。克罗内克由此对数学产生了浓厚的兴趣。1855年，克罗内克重返柏林，成为柏林大学的讲师，库默尔在这一年受聘为柏林大学教授，于是二人成为同事。克罗内克与库默尔不仅是生活中的好朋友，还是学术上的知己，他们经常一起探讨数学问题，分享学术上的成果。因此，克罗内克的很多思想都源于库默尔，例如克罗内克《代数量的算术理论概要》就是对库默尔理想数研究的继续。克罗内克发现库默尔的唯一因子分解定理并不是对任意的数域都成立，不具有一般性，于是克罗内克开始试图完善库默尔的理想数理论。

克罗内克在早期阶段就特别重视代数量的算术研究，通过对阿贝尔方程的复根的研究，他想到了对任一有理域建立阿贝尔方程的代数算术问题，并于1853年6月发表了文章《论代数可解方程》(Ueber die algebraisch auflösbaren Gleichungen)，给出了这个问题的解决方案[16]。之后，他便经常在发表的论著和大学讲座中强调代数的算术方面，并将算术方法应用于个别代数问题，但他发现，如果不借助代数量的一般算术理论，便很难实现这一点，于是克罗内克开始了关于代数量算术理论的漫长研究之路。直到1881年，他才在庆祝库默尔取得博士学位50周年的纪念会上报告了文章《代数量的算术理论概要》，并于1882年发表在了《纯粹与应用数学杂志》上。在这篇文章中，他定义了代数量：系数属于有理域(R′，R″，R‴，…)的n次不可约方程的每个根是量R′，R″，R‴，…的n次代数函数，即代数量[17]，将代数方程与代数函数联系了起来；定义了代数除子，建立了除子理论，为代数曲线理论中“点是什么”这个长期存在的问题提供了答案；引入了模系统，并对模系统定义了对应于代数集交和并的加法和乘法，借助模系统，对一般有理域中整代数型(integral algebraic form)的可分解性问题进行了探讨，将库默尔的唯一因子分解定理推广到了一般的代数域，促进了多项式方程组求解问题的发展。由于代数几何的兴起主要源于求解一般的多项式方程组，这种方程组的解所构成的空间就是代数簇，代数簇又是代数几何的主要研究对象，即多项式集合的公共零点解的集合[18]，而代数集是若干个多项式的公共根的集合，因此代数簇与代数集密切相关。由此，克罗内克首次将数论与代数几何联系起来，建立了数论与代数几何之间的联系，迈出了代数几何算术化的第一步。而这种数论与代数几何相结合的思想正是库默尔理想数理论中所没有的。让·迪厄多内(Jean Dieudonné，1906—1992)曾评论道：“克罗内克这种将代数几何与代数数论相结合的思想是代数几何涌现新结构和新思想时期的主要驱动力，对现代代数几何的思想产生了深远影响。”[19]但迪厄多内并未具体分析克罗内克的代数几何算术化思想。

还要说明的是，克罗内克之所以可以完成这篇文章，建立起代数量的算术理论，除了他本身的数学天赋和恩师库默尔等人的影响之外，还离不开家庭对他的影响。他的父亲是一位成功的商人，酷爱哲学，对他算术化的哲学思想产生了重大影响。他的母亲也出自一个富裕的家庭。在他正式上学之前，他的父母便请了私人教师在家指导他学习，为他之后的数学生涯奠定了基础。克罗内克非常热爱数学，对数学有着非凡的洞察力。勒热纳·狄利克雷(Lejeune Dirichlet，1805—1859)在评价他的博士论文《论复单位元》(De Unitatibus Complexis)时说道：“克罗内克在论文中表现出了非同寻常的洞察力、极大的勤奋以及对高等数学现状的准确认识。”[20]在多重因素的影响下，克罗内克完成了《代数量的算术理论概要》。

下面我们通过重点分析克罗内克在《代数量的算术理论概要》中提出的“除子理论”，来具体分析克罗内克在这篇文章中所体现的代数几何算术化思想。

3 克罗内克的除子理论

克罗内克一直关注着由量R′，R″，R‴，…确定的有理域(R′，R″，R‴，…)。他认为首先确定这样一个域对于探讨整函数的可分解性问题是必要的。他在1853年6月、1873年2月以及1879年3月刊登在《柏林科学院月刊》上的文章中都提到了这个问题。他将包含量R′，R″，R‴，…的所有整系数有理函数的域称为有理域，其中R′，R″，R‴，…可以是超越的常量、变量及其代数函数等任何种类的量[17]。确定有理域之后，克罗内克从由特殊到一般的角度出发，对自然有理域(R′，R″，R‴，…都等于1和R′，R″，R‴，…都为自变量的域，用现代术语来说，就是多项式环的商域)[10]中整函数的可分解性问题进行了探讨。他认为系数属于自然有理域的任意多变量的整函数都能以一种简单、完全确定的方式唯一地分解为不可约因子的乘积。

为将该结论推广到一般有理域，即代数域(一个代数量与一个自然有理域组合而得到的域)，克罗内克开始借助一个新的概念展开对代数量的理论进行研究，这个概念便是除子。早在1859年，库默尔就宣称克罗内克将很快发表一篇简洁而又完善的关于代数数的文章。他谈道：“关于复数理论的一般命题，我还可以参考克罗内克的论文，这篇论文很快就会发表，在这篇论文中，最一般的复数理论与任意次的型的可分解理论都得到了充分而简洁的发展。”[17]但直到1882年，克罗内克才在文章《代数量的算术理论概要》中提出“除子”的概念，建立除子理论。

由于最大公因子的定义方式在域扩张时不变，并且独立于所考虑的域，而因子分解却并非如此。因此，克罗内克从最大公因子入手，给出了除子的概念。这也是克罗内克的除子与戴德金的理想不同的地方。他将复数x+u′x′+…的范数分解之后的因子称为本原型Fm(x+u′x′+…)，利用本原型的“导数”是x+u′x′+…的范数，即

P·Fm(x+u′x′+…)=Nm(x+u′x′+…)，

这实际上受到了库默尔分式理想数的启发。库默尔早在1847年的论文《将由单位根形成的复数分解成素因子》(Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren)中就用分式定义了理想数，他借助复数ψ(η)，由同余式

f(α)Ψ(η)≡0(modq)

为建立一般有理域中的除子理论，克罗内克将复数的代数除子的概念推广到了整代数型：如果一个整代数型可被它的本原型整除，并且该本原型的导数是整代数型的范数，那么商就表示一个一般的“代数模或除子”[17]。在关于“代数除子”的探讨中，克罗内克并没有使用亏格(一般有理域中的全体代数函数)的概念，他意识到，只有当亏格确定时，才可以确定代数除子不可约性的概念。他完善代数除子不可约性的概念(如果一个代数除子不等价于给定亏格的代数除子的乘积，那么这个代数除子是“不可约的”或“素的”)[17]之后，才考虑在某一特定域中将除子分解为素除子。他利用除子可除性的性质，通过连续的除法运算，证明了亏格的代数除子能以一种且唯一的方式分解为不同的不可约除子(素除子)的幂的乘积，即除子理论的第一个基本定理：

定理1.给定有限个除子A1，A2，…，Am，存在互素的除子B1，B2，…，Bn使得Ai是它们的乘积，也就是说，当i≠j时，(Bi，Bj)=1，并且存在整数σij使得Ai=B1σi1B2σi2…Bnσin，i=1，2，…，m。

克罗内克还讨论了由线性型生成的代数除子与一般的代数除子之间的关系，给出了除子理论的第二个基本定理：

定理2.一个一般的代数除子至少可被一个由线性型生成的代数数除子整除。

建立除子理论之后，克罗内克开始对一般有理域中整代数型的分解问题进行探讨。为此，他引入了模系统(f1，f2，…，fn)(即一般有理域中整代数型f1，f2，…，fn的有限序列)([13]，p90)，将除子的概念推广，证明了模系统也可以分解为不可约模系统的乘积。借助模系统，克罗内克提出了对模p的同余式进行分解的方法，将同余式f(x)≡0(modp)分解为形如f(x)≡f1(x)n1f2(x)n2…(modp)(其中p是素数)的形式，从而解释了除子的可除性，将除子变为了可分解形式，证明了一般有理域中的整函数也可以分解为不可约因子的乘积。即命题：一般有理域中的每个整代数型都能以完全确定的方式，唯一地表示为不同的不可约形式的乘积。

克罗内克所建立的代数函数论中的除子理论，将代数量的算术理论推广到一般的代数域，克服了库默尔唯一因子分解的困难。因此，克罗内克的除子理论也适用于数论，对数论的发展也有贡献。但如今，人们通常将克罗内克的除子理论视为数论中戴德金理想论的替代品，实际上克罗内克的除子理论也有比戴德金的理想论先进之处，比如它独立于所考虑的域，当域扩张时，所有定理仍然成立，而戴德金的理想作为域的某一子集，在很大程度上要取决于所考虑的域。

4 克罗内克迈出了代数几何算术化的第一步

克罗内克《代数量的算术理论概要》通过建立除子理论，引入模系统，不仅将库默尔的唯一因子分解定理从分圆域推广到了一般代数域，克服了唯一因子分解的困难，而且还开辟了以除子为基础的算术方向，建立了代数几何与数论之间的联系，是代数几何算术化历史的开端。

克罗内克的除子理论为代数曲线理论中“点是什么”这个长期存在的问题提供了答案。在有理数域中，代数曲线上的函数域是自然有理域的代数扩张([22]，p302)，因此具有除子理论的特征。设R是由方程F(x，y)=0定义的代数曲线上的有理函数域，其中F是系数在Z中的关于两个不定量的不可约多项式。设a和b是R中的代数数，使得F(a，b)=0。与这样一对代数数相关联的是R中的一个除子，即由(x-a)U+(y-b)V表示的除子的分子(其中x-a和y-b是K的元素，而U和V是不定量)。如果(a，b)是F=0的一个非奇异点，即如果F在(a，b)处的偏导数不全为零，那么以这种方式得到的K中的除子称为一个“位”([9]，px)。位以代数方式确定曲线上的点。例如，原点(0，0)不会在x3+y3-xy=0的笛卡儿叶形线上产生一个位，而是产生两个位的乘积，即一条曲线上“函数”x/y的零点和极点。原点是两个位的乘积，这表达了几何上的“事实”，即原点是笛卡儿叶形线的一个二重点。此外，当R与适当的常数邻接时，代数曲线上函数域K中的每个除子可以写成位的幂的乘积。这将克罗内克所定义的除子与代数曲线理论中通常定义为整系数“位”的形式和(或者等价地说，整指数位的形式积)的除子联系了起来。因此，克罗内克的除子理论可以推广到代数几何中。

此外，克罗内克还在《代数量的算术理论概要》中给出了关于代数方程的一个基本定理，即关于n个量的方程组的预解式的因子可以用一个只含n+1个方程的方程组来表示，由任何数量的方程构成的方程组都可以用一个只含n+1个方程的方程组来代替[17]。这很好地解决了定义代数集所需的方程的个数问题。设K是一个代数闭域，X是K上的一个n维光滑仿射簇，从集合论上定义X的代数集所需的方程个数是一个值得探讨的问题，而克罗内克给出的这个定理很好地回答了这一问题，即对于X的任意代数集，n+1个方程都是足够的。这为代数簇的研究奠定了基础。此外，克罗内克还指出，预解式F1F2…Fn=0的每个因子Fk=0(k=1，2，…，n)都代表一个n-k维的流形，从几何上讲，一个给定的n个量x′，x′，x″，…，x(n)构成的方程组可以同时定义点、线、面的方程组[8]。例如，任何双曲率的代数曲线都可以用一个只含4个代数方程的方程组来表示等。由此，克罗内克将代数曲线与代数方程联系了起来，促进了代数几何的发展。

因此，克罗内克《代数量的算术理论概要》通过提出除子理论，引入模系统，迈出了代数几何算术化的第一步。而与克罗内克几乎同时，戴德金和海因里希·韦伯(Heinrich Weber，1842—1913)也给出了代数几何算术化的思想，他们以戴德金的理想论为基础，从单变量代数函数入手，开始了对复数域上代数函数域的研究，并于1882年在《纯粹与应用数学杂志》上发表了《单变量代数函数理论》(Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen)。在这篇文章中，他们利用环和理想，借助分析学和拓扑学，对之前得出的一些结论进行了证明。此外，他们通过引入数论的思想，揭示了数域与函数域之间的相似性以及数论与几何之间的相似性，将代数几何与数论联系了起来。特别地，他们用纯代数的方法研究代数函数，证明了任何包含有理数的代数闭域上的“黎曼-罗赫”定理[23]，开辟了以理想为基础的算术方向，为代数几何的研究提供了有力的工具。

无论是克罗内克以除子理论为基础的代数量的算术理论，还是戴德金和韦伯以理想论为基础的代数函数理论，他们都在一定程度上引入了代数数论的思想，将代数几何与代数数论联系了起来，为代数几何与代数数论的发展夯实了基础，完成了初等代数几何的算术化。之后，巴特尔·范德瓦尔登(Bartel van der Waerden，1903—1996)、奥斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski，1899—1986)、亚历山大·格罗滕迪克(Alexander Grothendieck，1928—2014)等数学家又通过引入抽象代数方法、拓扑方法等，完成了高等代数几何的算术化。

德国数学家库尔特·亨泽尔(Kurt Hensel，1861—1941)是克罗内克的学生，深受其影响。亨泽尔在克罗内克的算术理论基础上，利用《代数量的算术理论概要》中克罗内克基于不定型建立除子理论的思想，对“代数域中整数的判别式(即亏格的判别式)存在非本质因子，甚至所有数的判别式存在共同的非本质因子”这一事实进行了解释[24]，并于1884年发表了文章《判别式及其非本质因子的算术研究》(Arithmetische Untersuchungen über Diskriminaten und ihre ausserwesentlichen Teiler)和《论非本质判别式因子》(über die außerwesentlichen Diskriminantenteiler)。此外，亨泽尔还对判别式及其素除子的理论、用基本系表示整量、除子的分支理论、域的组成、代数函数理论等进行了探讨，促进了算术理论的发展。其中，对代数函数的研究，可以从1902年与格奥尔格·兰茨贝格(Georg Landsberg，1865—1912)合作完成的《代数函数论》(TheoriederalgebraischenFunktionen)一书中看到。在这本书中，他们发展了一种新的算术方法，探讨了代数几何的应用。这在一定程度上与戴德金和韦伯对单变量代数函数的研究，共同促进了代数函数理论的发展，推动了代数几何算术化的发展进程。

此外，克罗内克《代数量的算术理论概要》中的很多思想也被之后的数学家所引用。例如，他提出的“通过添加变量实现域扩张的思想”被韦伯所继承，继而提出了表示虚二次数域最小扩张的“类域”，推动了类域论的发展；他文章中的“消元思想”被范德瓦尔登纳入了1930—1931年出版的两卷本《近世代数学》(ModerneAlgebra)中。

总之，克罗内克《代数量的算术理论概要》提出了除子的概念，建立了除子理论，引入了模系统，建立了代数几何与数论之间的联系。韦伊曾这样评论道：“事实上，克罗内克试图描述并开始建立一个新的数学分支，它将数论和代数几何学作为其特殊情形。”[23]韦伊所描述的“新的数学分支”正是格罗滕迪克后来所建立的“算术几何”。由此也可看出，克罗内克通过建立以除子理论为基础的代数量的算术理论，将代数几何与数论联系起来，迈出了代数几何算术化的第一步。

继这篇文章之后，克罗内克还发表了多篇关于代数量算术理论的文章，例如，1882年发表的文章《代数型的算术理论》(Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Formen)，1883年发表的文章《将自然有理域中的整量分解为不可约因子》(Die Zerlegung der ganzen Grössen eines natürlichen Rationalitäts-Bereichs in ihre irreductibeln Factoren)，1886年发表的文章《模系统在初等代数问题上的应用》(Ueber einige Anwendungen der Modulsysteme auf elementare algebraische Fragen)，1887年发表的文章《一般算术的基本定理》(Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik)等。这些文章都对代数量的算术理论进行了探讨，都在一定程度上体现了克罗内克代数几何算术化的思想。

5 结论

本文通过对克罗内克的经典文献《代数量的算术理论概要》及其相关文献进行研读和分析，发现受库默尔理想数理论的影响，克罗内克从复数的最大公因子入手，通过将复数的最大公因子表示为分式的形式(即复数除以它的本原型)，从而定义了由线性型生成的代数除子，并将其推广到了整代数型，建立了除子理论，将任意给定的除子分解为了素除子的乘积。他借助模系统，证明了一般有理域中的整代数型可以唯一地分解为不可约型的乘积，将代数量的算术理论推广到了一般的代数域。此外，克罗内克的除子理论可以应用到代数曲线上，他引入的模系统可以通过代数集与代数簇建立联系。可以说，克罗内克将代数几何与数论联系了起来，迈出了代数几何算术化的第一步。

致 谢衷心感谢匿名审稿人和上海师范大学陈跃副教授给出的宝贵建议和意见!