数形结合提高解题能力的应用分析

于 晶

（河北省张家口市第四中学 河北张家口 075000）

数形结合是高中数学教学中较为常用的方法之一，将该思想方法运用在高中数学中，不仅能有效降低数学问题的难度，还能促进学生高效掌握数学知识，提升学生的解题能力。因此，作为数学教师，应积极探寻数形结合在高中数学教学中的运用路径，以期将数形结合的教育价值充分发挥在课堂教学中，进而构建更为高效的高中数学课堂，并以此拓展学生的思维，提升学生的解题能力，有效促进学生学科核心素养的提升。

一、数形结合的相关概述及应用原则

（一）数形结合的相关概述

“数形结合”思想中“数”所指的是数与式，而“形”所指的是图形与图像。数与形均是数学教学中最根本的研究对象，在一定的条件下可以相互转化和渗透，而这种联系则被称为数形结合。数形结合是教育教学中较为常用的一种数学思想方法，其应用共包含两种形式，其一是借助数的精确性阐述形的一些属性，其二是借助形的几何直观性阐述数之间的关系。简单概括来说，“数形结合”思想包含两方面内容，即“以形助数”和“以数辅形”，其中“以形助数”所指的是数形结合在代数问题中的运用，通过将形作为手段、数作为目的，把难以理解的代数问题向简单直观的几何问题转化，并借助几何工具对代数问题进行解决。而“以数辅形”所指的是因有些图形太过简单，直接观察并不能看出一定规律，这时就应给图形赋值来解决实际问题。将数形结合运用在数学教学中，能将抽象问题具体化，将复杂问题清晰化，以此充分调动学生学习数学知识的兴趣，提高学生的解题能力，培养学生的数学思维，为学生学科综合能力的提升提供重要保障。

（二）数形结合的应用原则

所谓数形结合教学即教师在开展教学工作过程中，将数学知识以图形的方式呈现在学生面前的一种教学方式，此种方式不仅能降低数学知识的复杂程度，同时能帮助学生更快地解决数学问题，这也是有效培养学生逻辑思维能力的关键。但数形结合中包含多种基础性的理论知识，因此想要在高中数学教学中有效运用数形结合，来提高学生的解题能力，就必须遵循以下几个原则：首先为等价性原则。所谓的等价性原则主要是指教学过程中运用数形结合时，代数与几何性质的转换应是等价的，若不遵循这一原则，解题一定会出现漏洞。其次为双向性原则。所谓双向性原则主要是指教学过程中运用数形结合，不仅要对几何直观进行分析，还要进行代数抽象的探索，两者之间只有相辅相成，才能有效促进学生解题能力的提升。最后为简单性原则。也就是说想要有效运用数形结合，就要确保图形的简单性，否则该方法的运用也会失去原本的教学意义。

二、高中数学教学中运用数形结合解题的意义

首先运用数形结合解题有助于提升学生的自主学习能力。高中数学教学中数形结合的运用，不仅能给学生提供动手演练的机会，还能启发学生的思维，促进学生自主学习能力的提升。例如，教师在教学人教版《三角函数》的相关知识点时，就可运用数形结合的方式开展教学，通过指导学生自主动手实践，利用点在图形圆之上的变化，得出正弦、余弦、正切、余切等函数意义，这也能进一步加深学生对三角函数意义的理解。其次运用数形结合解题有助于提升学生的解题能力。将数学结合运用在高中数学教学中，通过为学生呈现直观、形象的数学图形，可使学生更加清晰地掌握题目的要求，从而不断提升学生的解题能力。例如，教师在教学人教版《曲线与方程》建立对应关系中，就可以运用数形结合的教学思想，帮助学生在向量和坐标之间建立联系，进而有效提升学生的思维能力。最后运用数形结合解题有助于提升学生的认知能力。在高中数学教学中，运用数形结合可为学生呈现生动、直观的数学知识，也能更深刻地说明数学问题，促进学生认知水平的提升。例如，教师在教学人教版《集合》的相关知识点时，就可运用数轴对集合中的数集进行表现，这时学生可以快速掌握集合的意义及从属关系。

三、高中数学教学中运用数形结合提升学生解题能力的路径

（一）运用数形结合解决数学难题，启发学生数学思维

在现阶段的高中数学教学中，已经有非常多的高中生开始尝试运用数形结合思想对数学问题进行解决，但是其对于数形结合的认识并不全面，大多停留在画草图的阶段，这就在一定程度上忽略了数形结合下数学知识的综合性特征。尤其是数学的重难点知识，只借助假想推导数学图形，根本无法有效地解决数学问题。因此，教师在运用数形结合开展教学时，想要提升学生的解题能力，必须向学生着重强调图形的准确性及等价交换，积极改变并创新数形结合的教学思路，以此提高学生解题的能力。例如，教师在教学人教版《三角函数的图像与性质》这一课程内容时，由于该知识点是高中数学教学中的重难点知识，因此教师在开展教学时，就可有效运用数形结合思想来创新数学解题思路。在具体的教学过程中，教师可先向学生抛出一个问题“函数y=sinx与y=tan x，已知这两个函数均有实数根，求其图形在区间[0，π]上的交点数量”。之后教师就可运用数形结合思想进行授课，首先明确数学区间，在[0，π]内取值计算；其次明确函数的具体关系，将函数y=sinx与y=tanx取值的具体范围及函数图像特征画出来，对交点数量进行计算。这时教师应详细告知学生，作图时应充分考虑两个函数在取值中所存在的差别，并引导学生按照题目的具体内容进行作图，以此提升学生的数学解题能力。此种运用数形结合开展数学教学的方式，不仅能启发学生的数学思维，同时能促进学生数学解题能力的提高。

（二）运用数形结合引导学生想象，丰富学生解题方法

在当前的高中数学教学中，很多数学教师非常重视数形结合在教育教学中的应用，但是在开展实际教学时，其认知水平还局限于作图及解题的层次，未从根本上重视数形结合的思维锻炼能力。因此，在高中数学教学中运用数形结合时，教师应以开发和训练学生的理性思维技能为主，指导学生借助数形结合思想在想象的过程中假设、探索，以此提高学生的解题能力，并有效促进学生学习效率的提升。例如，教师在教学人教版《圆的方程》这一课程内容时，想要运用数形结合提高学生的解题能力，教师可指导学生依靠想象及逻辑推理能力进行思考，从而帮助学生有效积累解题的经验。这时教师可向学生提出如下问题“已知有两个实数，分别是x，y，满足x2-y2-6x-4y+12=0，求y/x 的最大值与最小值”。之后教师就可运用数形结合将相关的问题转化为图形素材，并引导学生展开想象，按照题干的信息我们知道，点（x，y）满足圆的方程的一般规则，y/x 是点与原点连线之间的斜率，如果（x，y）为动点，y/x 的最大值与最小值则为从原点向圆，所引出两条切线的斜率。在教师引导下学生完成作图后，教师可继续引导学生推导问题“按照直线与圆相切的关系，将K值求出来，并计算y/x 的最大值与最小值”。这时教师仍旧运用数形结合思想实施授课和解题，这个过程中教师不仅要训练学生的数学思维，还要引导学生自主探究，与存在的数学问题相结合，自主总结学习数学知识的经验，以此有效解答数学教学中的复杂问题。此种运用数形结合引导学生想象开展教学的方式，不仅能丰富学生的解题方法，提高学生的解题能力，还能优化和完善数学教学的流程。

（三）运用数形结合指导学生总结，锻炼学生思维能力

在高中数学教学中，数形结合的运用既可作为一种数学教学方法，也可在开展具体的教学活动时转化为教学工具，究其原因，高中数学教学活动的开展，更加重视提升学生的理性思维及综合技能，并要求学生从多个方面掌握数学知识。因此，教师在开展具体的教学活动时，可运用数形结合思想来引导学生总结经验，以此锻炼学生的思维能力，提高学生的解题能力。例如，教师在教学人教版《三角函数的诱导公式》这一课程内容时，先是向学生提出如下问题“已知tan（π+a）=4，求sin（π+a）cos（π-a）的值”，如果直接套用已知的公式进行计算，那么计算的过程是非常复杂的。因此教师就可以运用数形结合思想，将三角函数诱导公式的相关知识在课堂中整理出来，并为学生提供相应的“参照物”，通过数学图形对三角函数之间的数学关系进行记录，并总结sin（π-a）、cos（π-a）等相关的数学知识经验，从而使学生明确这之中的数学关系，之后与数学图形相配合，有效掌握三角函数诱导公式的取值范围。此外，在学生解题时，教师还可指导学生绘制三角函数诱导公式的相关图像，使学生对所学的数学知识有更明确的理解和认识，以此有效总结数学经验，来解答数学教学中存在的重难点问题。此种运用数形结合指导学生总结经验开展教学的方式，不仅能锻炼学生的思维能力，还能逐步促进学生解题能力的提高。

（四）运用数形结合引导学生绘图，培养学生理性思维

在高中数学教学中想要运用数形结合提高学生的解题能力，教师必须改变以往“灌输式”的教学模式，积极创新数形结合教育教学的方法，并允许学生自由发挥，以此在提升学生解题能力的同时，促进数学教学质量的提升。在实施具体的教学过程中，教师在运用数形结合教学时，可选择教材中较为典型的例题进行授课，在向学生讲解知识的过程中，引导学生深入分析和思考数学问题，并独立进行绘图，以此促进学生学习任务的高效完成。例如，在教学人教版《二次函数与一元二次方程、不等式》这一课程内容时，教师为学生设置了如下问题“已知方程2x2-(m+3)x+m2-1=0 在（0，2）与（2，4）上有两个不相等的实根，求解m 的取值范围”。学生在看到教师设置的数学问题时，只看到了“方程求解”的问题，并未挖掘数学问题中的难题，但其实该道题的解题要求非常复杂，首先方程中涵盖两个未知数，且有两个不相等的实根，所以求解难度相对较大；其次无法确定m 的取值范围，m 的值有可能是有理数，但也有可能是实数。学生在尝试对该道题进行解答时，教师就可以运用数形结合引导学生进行认真的思考，如方程2x2-(m+3)x+m2-1=0，可将其转化为函数ƒ（x）=2x2-(m+3)x+m2-1，之后按照二次函数的图像进行解题，并运用二次函数的性质及定义进行求解，进而得出ƒ（0）>ƒ（2）、ƒ（2）<ƒ（4）、ƒ（4）>0 这三个不同的不等式，从而明确m 取值的具体范围。这个过程中教师应指导学生自主绘图，依靠自己的能力对数学知识有更深层次的认识和理解，以此在提高学生解题能力的同时，促进学生解题效率的提升。此种运用数形结合引导学生自主绘图开展教学的方式，既能培养学生的理性思维，也是提升学生数学解题效率的一种行之有效的方法。

总之，数形结合作为高中数学教学中一种重要的教学方法，将其合理运用在数学教学中有十分重要的现实意义与应用价值。作为新时代的高中数学教师，也应紧跟教育发展步伐，积极探寻数形结合思想在教学中的应用路径，通过运用数形结合引导学生想象、指导学生总结、引导学生绘图的方式，将数形结合的教学价值发挥到最大，以此有效提高学生的解题能力，促使学生更加快速、准确地解决数学教材中复杂困难的数学题，并在无形之中促进学生抽象性、创新性及创造性思维能力的发展，为学生学科核心素养的全面提升奠定坚实的基础。