基于径向平均法的离心机过渡过程的丰度方程

2022-02-14曾实

同位素 2022年1期

曾实

(清华大学工程物理系，北京 100084)

离心机在运行过程中，无论工况调整，还是因为故障导致的工况波动，总是要经历过渡过程。这个过程中，因为离心机的水力学状况随时间发生变化，离心机的分离情况也随之而变化。比如，在调整了分流比后，离心机从一个分流比过渡到另一个分离比。过渡过程中，离心机内部流场产生变化，影响物质的输运，分离状态也从一个状态变化到另一个状态。这些变化表现为分离系数的变化。

本课题研究了离心机水力学的过渡过程[1]，能够在一定简化情况下，获得离心机在过渡过程中的流场。在已知流场时，可通过求解描述流场中各组分的物质输运方程，即丰度方程，对离心机的分离状态进行分析。与求解过渡过程中时间相关的流场相比，求解时间相关的丰度方程比较复杂。鉴于径向平均法[2]能够简化丰度方程，通过分析简化的丰度方程，使求解大为简化和快速。因此，本文基于径向平均法的思想，给出描述在过渡过程中离心机丰度轴向分布的方程，避免在离心机分离分析中求解复杂的方程。

1 丰度方程

为了使某时刻流场扰动为相对于当时滞留量情况下的扰动，引入变密度的等温刚体模型概念[1]。这个模型在流场中各处引入了源汇。为区别于模拟供料和取料所引入的集中在某个局部区域的源汇[3]，这里把流场各处都存在的源汇称为弥散性源汇，仅指应用变密度等温刚体模型所引入的弥散性质量源汇。图1为离心机轴向剖面示意图。图中，Z和a分别为转子的高度和半径，以角速度Ω转动。不失一般性，假定下部为精取料端，P为精料，上部为贫取料端，W为贫料。供料为F，在轴向位置ZF处供入。

图1 离心机轴向剖面示意图Fig.1 Illustration of the cross section of a gas centrifuge

存在源汇和把离心机内流场视为轴对称的情况下，描述离心机中气体同位素混合物总质量守恒方程为：

(1)

(2)

(3)

在公式(2)中，τr,i和τz,i分别是第i组分在r和z方向上的质量通量：

τr,i=Jr,i+ρuCi

(4)

τz,i=Jz,i+ρwCi

(5)

ρi为混合物第i组分密度，Ci为第i组分丰度：

ρi=ρCi

(6)

Jr,i和Jz,i分别是第i组分在r和z方向上的扩散流通量：

(7)

(8)

式中，T0为气体平均温度，Mi为第i组分的摩尔质量数，D为互扩散系数，R0为普适气体常数。下面关系成立：

(9)

这里，NC为同位素混合气体中的组分数目。在过渡过程状态，∂ρi/∂t≠0。综合公式(4)～(8)，代入式(2)得：

(10)

分析离心机的分离，需要求解方程(10)，求解的边界条件如下。在径向上，转子壁面存在物质无渗透条件：

τr,i|r=a=0

(11)

而在轴心，存在自然边界条件：

(12)

为表示简单，记：

(13)

FD,i和FC,i分别是在转子轴向位置z处的第i组分扩散流通量和对流输运通量。

在转子的轴向截面位置z处，第i组分的通量FL,i为：

(14)

除了条件(11)、(12)外，求解还需要下面两个轴向方向的条件。在转子轻取料端，

(15)

在转子重取料端，

(16)

由方程(10)可见，用数值方法求解不复杂，重点要关注丰度的轴向分布，得到更为简单的方程，也使方程的求解更加简单。令：

(17)

Ψ并不是针对稳态情况所定义的流函数，只是在定义的形式上与流函数相同，则：

(18)

其中，FT=Ψ(a,z)。把式(10)乘以r然后对r积分：

(19)

由此解出∂Ci/∂r：

(20)

把(1)式乘以r，然后对r积分，得到：

(21)

这样在式(20)右端的第3和第4项就是：

(22)

把式(20)乘以Ψ并从0到a对r积分，得式(18)右端第2项：

(23)

把上式代入式(18)，结合式(14)、(15)，得

(24)

2 方程的简化

2.1 应用径向平均法的简化

(25)

类似地，左端第3项为：

(26)

这样，方程(24)可写成：

(27)

上式即是描述过渡过程、流场中存在源汇时离心机内丰度轴向分布的微分方程。相对于方程(10)，方程(27)大为简化，仅是一元变系数时间相关的微分方程，求解简单。

在取料端，有：

(28)

根据公式(1)、(2)，应用单纯轴向流假设，有：

(29)

(ZF

(30)

(31)

(ZF

(32)

从公式(29)、(30)，得到：

(33)

(34)

类似地，

(35)

把公式(34)、公式(35)分别代入公式(27)，得：

(36)

(37)

2.2 单纯轴向流假设下的进一步简化

方程(36)、(37)的求解仍然比较复杂。充分利用单纯轴向流的假设可进一步简化。注意，虽然根据方程(29)、(30)有FT=P(0

(38)

应用方程(33)，方程(36)、(37)就是：

(39)

(40)

至此，得到了描述过渡过程中、在单纯轴向流假设下描述丰度轴向分布的微分方程。研究中，在半径方向经常用约化高度x代替r作为变量，x的定义为x=A2[1-(r/a)2]，其中速度系数A2=M(Ωa)2/2R0T0，这里M为气体的平均摩尔质量。这样，以x为变量的丰度方程可写成为：

(41)

(ZF

(42)

需要特别指出，方程(41)、(42)不能用于z=ZF处。

2.3 初始条件和边界条件

实际上，由于无法知道离心机内部情况，难以给定初始条件。不过，对充气开始的最初情况，可能是比较容易给出的，且任何其他状态，都是最初过程过渡过去的。此时，分离不充分，可大致认为：

(43)

上面的条件可认为是一种假设。

在任何时候，上下两端的边界条件是：

(44)

自然，在两端有：

(45)

(46)

因此，还必须给定在整个离心机中质量守恒的条件：

(47)

3 讨论

方程(27)是分析离心机内丰度轴向分布一般形式的微分方程。方程中与流场相关的量在求解流场后均已知，可进行丰度方程的求解。这个流场不限于数值求解、本征函数法求解还是其他方法求解得到的流场。但是，对于过渡过程，流场的求解复杂，每一个时间步都需要进行流场的求解，而且目前除了文献[1]中的尝试外，还未见求解离心机过渡过程流场的研究。因此，这里对分离的分析也需以文献[1]中的流场结果为基础，也就是说，需引入变密度等温刚体模型、单纯轴向流的简化。这样，需要把一般形式的丰度方程(27)变为更为简化的方程(36)和(37)。

按Cohen的做法[2]，可以略去丰度方程中轴向反扩散项，即丰度对轴向坐标的二阶导数项，以进一步简化方程，但基于下面的考虑，在这里保留此项。由于存在时间导数项，去掉此项也难以像在稳态情况下那样得到某种条件的解析解(如低丰度)，因而必须数值求解；而数值求解时此项所增加的计算量可以忽略不计。当然，在将来实践中如证实轴向反扩散在过渡过程中的作用可以忽略，也可去掉此项使方程更加简化。

这里对方程(47)进行一下说明。根据守恒方程(2)得到：

(48)

由于：

(49)

从而得到方程(47)。