基于稳定价格预期的露天矿山边际品位优化方法

严利伟，张慧，张灯堂

(中冶集团资源开发有限公司， 北京 100028)

矿石边际品位是矿山生产过程的重要指标，用于区分矿石和废石。边际品位的取值决定了入选矿石量以及平均品位，对矿山企业的经济效益有直接的影响。K. F. Lane 提出以净现值最大化为目标的边际品位优化方法[1−2]。该方法引入了机会成本的概念，根据采选冶产能约束条件下单位矿石的最大收益确定最佳边际品位。优化使用的参数包括采选冶各个环节的产能、矿山生产过程中的各项成本以及矿石的品位分布情况。一般来说，矿山在设计阶段已经根据开采规模和矿石品位匹配了合适的采选冶产能，随着资源逐渐减少，机会成本逐渐降低，边际品位会呈缓慢下降的趋势。合理的边际品位可以让矿山在生产期间保持良好的现金流，同时在合理利用资源，提高项目净现值方面具有十分重要的意义。

虽然Lane 法的提出已经过去了许多年，但由于其迭代算法的复杂性，目前在国内外的矿山的应用较少。许多学者基于Lane 法提出了一系列的改良算法[3−4]。由于国内多数矿山采用固定双品位指标，针对Lane 法的研究较少。目前关于边际品位的研究着重于建立边际品位与净现值之间的非线性关系[5−7]，取净现值最大的边际品位为最佳边际品位。这种方法本质上是关于生产规模和生产年限的优化，求得的边际品位无法根据矿产品价格的变化进行动态调整。有学者在边际品位分析中引入了边际成本的概念[8]，并探讨了金属价格对边际品位的影响[9]。本文以某露天铜矿为例，提出了一种简单易用的边际品位优化方法，首先利用Lane 法进行迭代计算，建立了稳定价格预期下矿山生产周期内的边际品位策略，拟合了剩余净现值与剩余矿岩总量的函数关系，利用该函数可以在金属价格临时变化时对边际品位进行及时调整。

1 边际品位优化理论

从经济学的定义看，F代表机会成本，所以作为一个最优化策略，不仅要考虑矿石的收益情况，还要考虑开采矿石所带来的机会成本。

首先需要确定优化边际品位所需要的参数，见表1。

表1 优化采用的参数

以v表示dV*/dR，利用以上参数，在采、选、冶产能限制条件下，处理单位矿石所带来的净现值变化分别是：

以边际品位g为横轴，v为纵轴绘制函数图像，见图1。由于生产过程必须受到采、选、冶至少一个环节的产能限制，因此在某个边际品位上的净现值变化仅能取这3 个值中的最小值。最优的边际品位可以使这个最小值在整个边际品位选择区间内达到最大。

图1 单位矿石收益随边际品位的变化

2 矿山概况

某斑岩型露天铜矿采用铜品位0.25%作为边界品位，将0.2%～0.25%铜品位的矿石作为低品位矿作堆存处理。铜矿石经过采、选、冶三个环节，以粗铜为最终产品进行销售。目前主要产能约束在选矿环节，以满足选矿厂最大处理矿石量为目标，根据矿石的品位分布特征，以0.25%为边界品位反算年度采剥总量。该矿年采矿能力在2000 万t 以上，因目前在基建期，面临较大的剥离任务，副产矿石比较少。上部有4 个台阶的剥采比较大，且存在较多氧化矿石，矿石品位分布与下部台阶存在较大区别，在绘制品位−吨位曲线时仅考虑898 水平以下的台阶。

采用克里格法对境界内矿块进行估值，导出不同边界品位下的矿石量和矿石平均品位，并绘制成品位−吨位曲线（见图2）。从图2 可以看出，在品位为0.18%之后吨位开始快速下降，一直到品位为0.4%之后下降趋势才开始趋缓，表明境界内大部分的矿石品位位于0.18%～0.4%之间。边界品位为0.5%时，矿石量不足1000 万t。因伴生金含量较低，经济价值不大，为了避免模型的复杂化，本次计算没有采用当量品位。

图2 境界内898 水平以下品位−吨位曲线

3 计算方法

本次研究采用Excel 表格进行边际品位的迭代计算，一共有3 个表格，第1 个表格输入各种参数（见表2），第2 个表包含了不同边际品位下的矿石比例、平均品位，然后根据式（16）～式（18）计算不同边际品位下的Vm、Vh和Vk值，并绘制这3个值随边际品位变化的图，从中可以获得最佳边际品位。第3 个表格进行边际品位的迭代计算，计算的主要参数包括机会成本、现金流、剩余矿岩总量等，其中单位矿岩产生的现金流为：

表2 优化采用的参数

在选矿能力为主要约束时，以最大选矿能力生产，处理矿岩总量为H/x，单位矿岩处理时间τ=x/H，当年的现金流为c*H/x。

4 不同方案的计算结果

4.1 稳定价格预期（7000 美元/t）的最优边际品位策略

铜价为7000 美元/t 的边际品位变化见表3。从表3 中可以看出，最佳边际品位从第1 年的0.29%稳步下降到第12 年的0.23%，一直到开采结束。每年的采剥总量和现金流也由于边际品位的下降而减少。从第16 年开始利用之前堆存的低品位矿，将矿山寿命延长了不到两年。低品位矿共有6 万t，平均品位0.25%。利用低品位矿总共可以获得1000万美元的现金流，由于发生在16 a 以后，对净现值的贡献仅300 万美元左右。若采用该边际品位策略，以6.5%为折现率，矿山的净现值为307 600 000 美元。从时间上来看，第8 年矿山的累计净现值已经达到201 250 000 美元，大约是总净现值的三分之二。

表3 铜价为7000 美元/t 时的边际品位策略

与固定边界品位0.25%的方案相比，采用动态边际品位获得的累积净现值一直高于采用固定边界品位的累积净现值（见图3）。前8 a 两者的差距逐渐扩大，主要是由于采用动态边际品位在矿山开采前期边际品位较高，资源消耗较快。两者的差距在第8 年达到最大，为1920 万美元。后8 a 随着动态边际品位逐渐下降，每年消耗资源变少，现金流变少，两者的差距在缓慢缩小。采用动态边际品位，资源会在第16 年耗尽。利用低品位矿石可以延长矿山寿命至18 a。而采用固定边际品位，资源会在第17 年耗尽。采用固定边际品位堆存的低品位矿平均品位仅为0.22%左右，而在7000 美元/t 的铜价下这种低品位矿很难产生盈利，对净现值的贡献也是微乎其微。

图3 稳定铜价预期时累积净现值随时间的变化

4.2 铜价临时升至9000 美元/t 的边际品位

通过多项式拟合获取稳定价格预期（7000 美元/t）时剩余矿岩总量与剩余净现值之间的关系（见图4）。结果表明，剩余净现值是剩余矿岩总量的二次函数。然后进行迭代计算，提高第1 年的开始净现值，计算机会成本，通过机会成本计算边际品位、第1 年消耗矿岩总量、现金流，然后利用净现值的定义计算第2 年开始时的剩余净现值。反复调整第1 年开始的净现值，直至第2 年开始的净现值与剩余矿岩总量对应的剩余净现值吻合为止。

图4 稳定铜价预期时剩余矿岩总量与剩余净现值之间的关系

结果表明，在铜价临时涨到9000 美元/t 时，第1 年的边际品位为0.32%，消耗矿岩总量为11 676 000 吨，获得现金流71 270 000 美元，第2 年开始时净现值为285 900 000 美元，与剩余矿岩总量（114 024 000 t）对应的剩余净现值吻合，反算出第1 年开始的净现值为335 370 000 美元。

4.3 铜价波动时的边际品位

采用上述相同的迭代方法，计算铜价8000 美元/t 和6000 美元/t 之间波动的边际品位。假设铜价有长期稳定的预期，为7000 美元/t，铜价围绕7000美元/t 上下波动。每年都认为铜价的变动是临时性的，铜价长期的预期不变。通过当年的铜价先估计该年初的净现值，利用上述的二次函数计算稳定铜价预期下的剩余净现值，两者之差代表因为经济形势变化而导致的机会成本。然后计算机会成本、边际品位、现金流，并得出下一年度开始的净现值，同样地要求下一年度开始的净现值与剩余的矿岩总量对应的净现值相吻合。

计算了前8 a 的边际品位随铜价波动而变化的情况（见表4），由表4 可以看出，铜价在8000 美元/t 时的边际品位均要高于6000 美元/t 时的边际品位，表明在铜价比较高时，优先利用高品位矿石能获得 较好的净现值。但随着资源减少，机会成本降低，边际品位同样会逐渐降低，在本例中第7 年铜价8000 美元/t 时边际品位降到了0.27%，而在第8 年铜价6000 美元/t 时则降到了0.23%。

表4 铜价波动时的边际品位策略

与固定边际品位（0.25%）的结果相比，在铜价波动的情况下采用动态边际品位依然能获得更高的净现值（见图5）。两者相差最大是在第7 年，差距为1730 万美元。

图5 铜价波动时累积净现值的变化

5 影响边际品位优化的因素

5.1 金属价格的预测

合理的边际品位取值是基于对金属价格的准确预测，因为无论是长期的价格期望还是短期的价格波动，对于机会成本都有较大影响。矿山开采的前半段对净现值有较大贡献，在这段时间机会成本对铜价的波动也更为敏感，因此对这一阶段的铜价预测需要更加谨慎。当前的铜价位于9000 美元/t左右，对于近两年的铜价走势，不同的机构有不同的预测。有的认为铜价会维持在高位，甚至涨到12 000 美元/t，有的认为会回落到7000 美元/t。企业应综合各方面的看法形成自身的判断，并基于形势变化及时做出调整。

5.2 矿石品位分布

目前的矿石品位分布是基于勘探钻孔数据，采用普通克里格法估值得出的。普通克里格法在矿体控制程度不足时会产生不可避免的品位平滑现象[10]。为了获得更为准确的品位分布情况，有必要开展补充勘探和生产探矿，对矿体进行加密控制，对勘探模型进行优化。采用多种估值方法，例如序贯高斯模拟[11−12]、指示克里格等，比较不同方法估值效果的优劣。另外要重视矿山地质工作，开展常态化的探采对比工作，建立生产地质模型，与勘探地质模型进行对比。

5.3 企业经营策略

Lane 法是以最大净现值为目标的边际品位优化方法，这种方法考虑了资金的时间价值，符合一般的财务原则。如果以利润最大化为原则，则应该以盈亏平衡品位作为边界品位。采用动态边际品位具有较多好处。一方面项目的净现值更高，低品位矿的回收价值更高。另一方面采用动态边际品位可以在前期获得更好的现金流，减少未来不确定性对矿山企业造成的影响。采用动态边际品位对企业的管理提出了更高的要求。边际品位论证本身就是比较复杂的一项工作，需要多部门协作才能完成。财务部门要协调各生产单位进行成本的分割和核算。技术部门要汇总探矿和生产数据进行地质模型更新。生产管理部门综合各方面信息对金属价格进行预测，在获得最佳边际品位后，制定生产计划，调整采、选、冶系统的各项生产参数，以适应边际品位的变化。

6 结论

（1）与固定边界品位相比，采用动态边际品位能获得更好的净现值，并且低品位矿的回收价值更高。

（2）矿山在开采过程中，随着矿产资源的减少，机会成本降低，边际品位呈现下降趋势。金属价格临时变化会引起机会成本的较大变化，从而影响边际品位。通过计算稳定价格预期的剩余净现值与剩余矿岩总量的关系，方便计算价格临时变化年度的机会成本，从而方便对最优边际品位进行及时调整。

（3）要获得合理的边际品位，需要对金属价格有准确的预测，对矿石品位分布情况有精确的掌握。边际品位的调整对企业管理提出更高的要求，需要多部门各司其职、密切协作才能顺利推进。