略论数学教学中的“倾听历史”

陈雨晴　韩粟　汪晓勤

摘要：在数学教学中，倾听并不局限于师生之间、生生之间，还包括通过数学内容与古人建立联系，即“倾听历史”。教师应该引导学生开放、包容地对待古人的数学见解，站在古人的立场看待数学知识。“倾听历史”除了帮助学生形成对数学知识更为深刻的认识，还在教学中发挥了数学史的德育价值。“倾听历史”的做法包括：分析古今差异，理解数学知识；探寻古人错误，提升学习信心；体悟古人思想，把握数学本质。

关键词：数学史；数学教学；倾听；数学理解；学科德育

一、 引言

立德树人是当今教育的根本任务，而数学教育则承载着落实这一根本任务的重要功能。培养“德才兼备”型人才自古以来都是我国的教育理想，所谓“才德全尽谓之圣人”。而“圣”在《说文解字》中的解释为“通也，从耳呈声”，可见“圣人”是善于倾听的人。犹太民族经典著作《塔木德》也告诫人们，应该用两倍于说话的时间去倾听。可以说，“学会倾听”是数学学科德育的重要内容。

着眼于学生、教师和教学内容这三个教学的基本要素，已有的关于数学课堂中“倾听”的讨论集中在学生与教师、学生与学生之间，着眼于当下存在的生命体，而忽视了教学内容这一重要的因素，也忽视了当下的学习者与创造数学知识的古人的关系。日本学者佐藤学认为，学习包含同教科书（客观世界）的相遇与对话。在数学学习中，学生时常迷失在书本的概念、方法、命题里；以考试为导向的教学迫使学生在短时间内快餐式地摄入大量知识，而来不及消化，更谈不上吸收；书本知识及教学内容对学生而言，如同浮光掠影一闪而过。同时，除了未能深入教材编写者的心灵去理解教材之外，学生也缺乏倾听知识创造者的意识，从而未能与古人形成有效的对话，而与古人数学发现的精彩之路渐行渐远。为了更好地理解数学内容，学生不仅需要倾听教师、同伴，还应该倾听知识的创造者。

有研究者指出：“‘倾听教育学的思想取向侧重将‘倾听视为研究和问题解决，旨在探索人的思想或观念诞生和发展的奥秘。”对于数学学习而言，古人的思想观念已成为数学史的一部分，故而数学史可以搭建学生和古人沟通的桥梁，成为我们倾听知识创造者的重要通道。由此，“倾听历史”是数学学习中“学会倾听”的重要组成，不仅体现了参悟古人的思想方法以解决数学问题的智育价值，而且彰显着摒弃以自我为中心的思维习惯，学会尊重和包容的德育价值。

鉴于此，本文以数学史为抓手，探讨数学教学中“倾听历史”的意蕴，提出数学教学中“倾听历史”的路径与方法，并通过案例说明具体的实践过程，以期为今日教学提供参考。

二、 数学教学中“倾听历史”的意蕴

（一） “倾听历史”的基本内涵

“倾听历史”是站在不同时代、不同文化的立场下对数学知识和数学意义的内化和理解过程。“倾听历史”要求我们对数学知识和数学文本保持开放的态度，旨在有效地与古人形成对话，进而产生思维的碰撞、智慧的交流。狭义的倾听，意即“侧耳而听之，同时还要用心细听”，不仅涉及感觉，还涉及思维这一更为复杂的认知过程。耳是倾听过程的媒介，听觉系统通过耳对外界的刺激进行信息编码和加工，而听者在这个过程中用心用脑、积极思考。显然，我们已经无法在物理上听到古人的声音，因此，“倾听历史”超越了传统意义的以耳为介，强调的是心灵的感受、精神的领悟。这要求我们跳出先入为主的观念，以尊重和包容的态度对待古人的数学见解。

（二） “倾听历史”的哲学审思

从哲学上看，“倾听历史”注重史料的源初性，强调清除偏见而不虚推古人，以实现在精神上与古人处于平等的对话地位。审视东西方的倾听哲学可以发现，中国的文化传统自古便对倾听有着深刻的认识，倾听哲学蕴含的智慧烙印在中华民族的文化基因中。其中，道家的倾听哲学是体现中华民族崇尚倾听文化的典型代表。道家讲究大道无形、大音希声，并将听分为三个境界：耳听、心听和神听。老子认为：“上学以神听，中学以心聽，下学以耳听。以耳听者，学在皮肤；以心听者，学在肌肉；以神听者，学在骨髓。”耳听停留在感官察觉，依声循迹；心听依赖于“我可以理解”的已有经验进行表征的判断和推求；唯有神听才可以让事物不受干扰地显露本来面目，保持原始状态的敞亮，神听是体悟道的奥秘的过程。“倾听历史”追求神听之境，关注对数学本质的洞悉，以实现数学思想的交融和个人智慧的通达为目标。

而西方的文化脉络中，“视觉中心主义”长期占据思想的主导地位，直到近现代，倾听思想的地位才逐渐提升。以海德格尔、伽达默尔、杜威为代表的哲学家在反思传统哲学的基础上探讨倾听思想的价值和意义，倾听文化随之呈现多元发展的生机。海德格尔指出：“为了清除偏见，我们必须下定决心去倾听。倾听使我们超逾所有传统习见的藩篱，进入更为开阔的领域。”清除偏见（避免标签化、脸谱化）是为了更好地认识与思考，其本真态度便是倾听。倾听更意味着理解与领会，要“以一种谦卑的态度向他者敞开”，“只有回到一个人或事物自身的历史与其存在的环境，我们才可能真正理解它”。对于数学学习而言，如果仅关注和记忆外显形式下精致而完善的概念、命题、公式等，就难以理解它们内隐的深刻思想。只有回到数学知识产生的历史背景，以平等尊重的态度看待数学家们的工作，体悟他们的思想精髓，才能有效地倾听古人，也即实现对数学知识和数学意义的理解和领会。

伽达默尔则提醒我们：“并不是说，倾听某人讲话或阅读某个著作时，我们必须忘掉所有关于内容的前见解和所有我们自己的见解。我们只是要求对他人的和文本的见解保持开放的态度。”数学本身具有相对性，不同时空和不同文化造就了多元化的数学思想。就像欧氏几何中的三角形内角和等于180°，而罗氏几何中的三角形内角和小于180°，黎曼几何中的三角形内角和大于180°一样，非欧几何的出现并不能否定欧氏几何的合理性，因为数学家们是站在不同的立场去创造不同的几何体系的。数学公理未必就是绝对正确的真理，只是“对数学对象的性质的约定”。同一个数学研究对象也可能呈现不同的定义。比如，在古希腊时期，椭圆是以平面与圆锥的截线来定义的，而在17世纪之后，椭圆的第一定义“平面上到两定点的距离之和为常数的动点轨迹”，第二定义“平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的动点轨迹”，第三定义“平面内与两定点形成的直线的斜率乘积为定值的动点轨迹”相继登上历史舞台。事实上，我们对数学一直处于探索中，理应开放而辩证地看待各种不同的数学见解，更应站在知识产生的时代背景中与数学家们对话，倾听数学家们的心声。而数学史是人创造的，因此，也成为我们倾听古人的媒介。

（三） “倾听历史”的教育价值

回到数学教育，“倾听历史”有助于彰显数学史的德育价值。著名教育家苏霍姆林斯基始终关注学生倾听能力的培养。他认为，倾听能力是一种观察能力，作为倾听的观察具有“提升道德的敏锐性和促进智力发展”的价值。数学教育是促进学生智力发展的重要载体，同时能帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法。“倾听历史”使我们能够在古人的数学研究历程中汲取经验，同时为我们提供了研究数学或其他学科的思考方向，数学史的智育价值通过“倾听历史”得以发挥。然而，未融入数学史的数学教学也能促进学生的智力发展，让学生获取一定的数学知识，此时“倾听历史”所具备的更为独特的意义是什么呢？未融入数学史的数学课堂丧失了许多精彩的德育素材和资源，因此，“倾听历史”彰显数学史德育价值从而落实学科德育方面的意义显得至关重要。

数学往往给人留下“聪明者的游戏”“天书”等印象。课堂中，学生不追问知识产生的动因而机械记忆数学公式、疲于应付考试的现象屡见不鲜。学生如果对数学持有自卑和抗拒的态度，以应付考试为学习的第一要务，怎能真正地理解数学、学好数学呢？“倾听历史”旨在改变学生对数学和数学家“遥不可及”的固有印象。从“毕达哥拉斯悖论”到“贝克莱悖论”再到“罗素悖论”，数学的发展经历了三次危机，可见其并非一帆风顺；同样，数学家们研究数学的过程也是艰辛和曲折的，比如纳皮尔（J.Napier，1550—1617）二十年如一日地制作对数表，难以想象他面对如此繁杂的计算克服了多大的困难。这些历史能够让学生明白：即使是某个时代最伟大的数学家，他们的认识也存在局限性；数学并非天外来物，如今呈现的一个个结论都是数学家们通过呕心沥血的研究得到的。“倾听历史”同样要对古人保持尊重的态度。比如，负数的概念在如今的中学阶段便能够被学生所理解，但古人却花了几千年去认识它，而我们不能自认为古人愚蠢或我们比古人高明。“倾听历史”同时要摒弃以自我为中心的思维习惯。比如，现在我们习惯于将方程写作等号的一边为0的形式，而从历史上看，古人并未采取这种写法，那么学生在解方程时一定要化为等式的一端为0的形式吗？“倾听历史”能够让学生体悟到，数学是一门具有探索性、演变性、发展性的学科，在学习数学知识的同时，也应该学习数学家们追求真理、勇于创新、坚持不懈的精神。“理性、情感、信念和品质”等数学史德育要素，通过“倾听历史”，能够更好地渗入课堂，使课堂更富人文性，进而能够促进学生在知、情、意、行上全面发展。

综上所述，“倾听历史”沟通了学生认知能力和非认知能力的发展。数学的学习，绝不局限于表层数学知识的理解和深层数学思想的领悟，还需要关注数学背后的“人”，需要关心数学家们和数学研究者们在“做数学”时的想法。对数学背后“人”的元素的观照能够反哺数学的学习过程，使学生实现对知识的深刻理解。

三、 数学教学中如何“倾听历史”

（一） 分析古今差异，理解数学知识

米山国藏曾言：“数学中的许多重要概念从它最初的原始状态，随着时间的推移，由于种种原因而被一次一次地扩张、推广，结果成为像今天这样广泛而精确的概念。”数学定义、命题等的古今差异成为学生认知过程的障碍。“倾听历史”就是要回到知识发展的关键历史阶段，在了解当时数学家们对数学知识的见解后，再来思考古人的想法与我们相异的原因，从而充分理解数学知识。

比如，现今的教科书中，对数的定义通常是：若a^x=N（a>0且a≠1），则数x叫作以a为底N的对数（logarithm）。对数是学生难以理解的数学概念。对数的“对”是什么含义？对数的中英文名称有什么来历？这些问题都困扰着学生。而对数概念发展至今，其定义的形式已经出现了巨大的变化，对数原本的含义以及对数蕴含的数学思想也难以在现今的定义中窥见。对数由纳皮尔发明，纳皮尔是基于等差和等比数列之间的对应关系来研究对数的，纳皮尔还构建了一个运动的幾何模型来解释这种对应关系。对数的“对”实为几何级数和算术级数之间的对应；而“logarithm”来源于“logos（比）”和“arithmos（数）”的组合，这里的比是等比数列的公比，数便是公比的个数。在那个时代，纳皮尔发明对数的动机是简化计算，将大数的乘除转化为加减；同时，纳皮尔是在前人研究双数列的基础上进一步探寻对应关系蕴藏的运算法则的，对数的思想来源也是前人的研究。在当时，指数概念尚未成型。而欧拉认识到“对数源于指数”，并明确指出对数和指数的互逆关系时，指数的概念与符号已经被世人所熟悉。以幂指数形式定义的对数已经和诞生时的原貌迥然不同，从幂指数形式的定义中难以看到对数产生的动机和对数的含义，甚至还容易让人产生“指数比对数出现得更早”的误会。“倾听历史”，分析古今差异产生的原因，可知：（1） 纳皮尔是以前人对双数列的研究为基础发明的对数；（2） 在纳皮尔时代，指数概念尚不清晰，又何谈让人们意识到指数与对数的互逆关系呢？

再如，古今对正弦定理的证明也有很大的差异。如今的教科书中，利用向量或三角形面积等证明正弦定理是主流方法。这些方法都很简洁，无须增加过多的辅助线。而最早证明正弦定理的是纳绥尔丁（NasirEddin，1201—1274）。他的做法是：

如图1所示，在△ABC中，延长BA于点E，延长CA于点G，使得BE=CG=R；分别以B、C为圆心，BE、CG为半径作圆，与直线BC交于点J、I；分别过点A、E、G作直线BC的垂线，垂足分别为D、F、H。

其中，EF=sinB，GH=sinC，由△ABD∽△EBF，△ACD∽△GCH可得AB∶AD=BE∶EF=R∶sinB，AD∶AC=GH∶CG=sinC∶R，将上述两个等式相乘可得AB∶AC=sinC∶sinB。

倾听纳绥尔丁的心声，为什么他会产生利用相似三角形证明的想法？为什么他会构造半径相等的圆？因为在当时，三角函数是以与圆相关的一些线段来定义的，其本质是线段，而值与圆的半径相关。在以几何研究为主流的时代，相似三角形是产生线段比例很好的工具，而正弦定理实际上就是某些三角形中线段的比例关系。随着时间的推移，三角函数的三角比定义走进人们的视野，而正弦定理的面积证法便基于三角比的关系。继续往后，随着人们对向量的认识逐渐深入，正弦定理作为向量的应用也应运而生。也许，从现在的视角出发，证明正弦定理无须作出过多的辅助线。但是，体会二者之间的差异，我们发现，不是纳绥尔丁不懂求简，而是三角函数的定义存在古今差异；同时，纳绥尔丁充分践行了当时主流的对三角函数的研究思路，即将其放在圆中考虑。

“倾听历史”，分析古今差异，即要纵观数学知识的历史脉络，将数学知识放在产生的时代中去理解。或许数学知识的原意在一代又一代的发展中被“遮蔽”起来了，我们要做的便是借助数学史进行“解蔽”。

（二） 探寻古人错误，提升学习信心

“只有那些从来也没有尝试过新事物的人才会永远不犯错误。”这句常被认为是出自爱因斯坦的引言，提醒人们不要害怕在研究的过程中犯错误，因为谬误与真理时常相伴。数学史的用途之一是向学生揭示曾经阻碍过进步的概念困难和错误。“倾听历史”便要探寻数学家们出现不恰当的或错误的数学理解的成因，因为根据历史相似性原理，数学家们出现的错误也可能是学生在数学学习中容易陷入的困境。从教师的立场看，学生或许犯错了，可是从古人的立场看，学生只不过经历了概念理解的一个必然阶段。从古人的想法中得到的启发，能够帮助教师理解学生，也能促进学生树立积极、正面的数学学习信念，提升学生的数学学习信心。

学生容易理解错误或认知不完善的数学概念，在历史上往往也经历了漫长的发展，经过一代又一代数学家们不断地修正，最终才呈现完善的定义。

例如，毕达哥拉斯学派曾经错误地认为无理数（不可公度量）不存在。那是他们过于迷信经验（直观）带来的普遍认识，没有意识到逻辑（理性）的力量和价值，没有充分形成理性的信念。

又如，棱柱在《几何原本》第11卷中被定義为“由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似的且平行的，其他各面均为平行四边形的立体图形”。图2显然是该定义的反例，而已有研究表明，学生也容易凭借几何直观形成与此棱柱定义相似的错误认知。

“倾听历史”，探寻古人错误，即要了解数学家们的错误是怎么产生的，并对他们的数学见解秉持开放包容的态度。在课堂中，学生的错误认知或许正与历史上数学家们的理解契合，借助数学史，学生也会更加辩证地看待这些错误认知。

（三） 体悟古人思想，把握数学本质

“数学的逻辑结构的一个特殊的和重要的因素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的……数学的各种方法是数学最重要的部分。”流于表面的数学学习会让学生丧失在精彩的思想方法中汲取精神养分的机会，“倾听历史”便要了解数学家们的思想方法和数学发现过程，做到知其然，知其所以然，知其何以所以然。古人的某些思想方法在今日看来并未过时，并且是教学的绝妙素材。正如法国数学家拉普拉斯所言：“读读欧拉，他是我们所有人的老师。”先人的经验能够开阔我们的视野，同时，理解先人的思想方法也是理解数学本质的必经之路。

例如，“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，数与形是数学主要的研究对象，数形结合思想可谓贯穿整个数学课程（尤其是高中数学课程）的思想主线之一，而解析几何融几何直观与代数运算于一体，充分彰显了数形结合的思想。“倾听历史”便要挖掘数形结合思想与解析几何诞生的关系以及这种思想在解析几何中蕴含的数学本质。数形结合思想古已有之。比如，“形数”是古希腊时期毕达哥拉斯学派的重要研究对象，体现了以形表数和以数驭形——形数之间的互相表征。而法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）也是站在前人的肩膀上创立的解析几何。16世纪，法国数学家韦达（F.Viète，1540—1603）系统地引入代数符号并丰富了方程理论，从而推动了代数学的发展。韦达试图用代数方法来解决几何作图问题，并且认为线段的加减乘除可以由代数符号表示，从而转化为代数运算。笛卡儿《几何学》的第一卷以长度将线段和数量联系起来，意图将几何问题代数化，并用方程表示线段之间的关系，而第二卷则将平面上的点与坐标（x，y）对应，化曲线为含有未知数x、y的方程。笛卡儿察觉到“代数的一些内容缺乏直观性”，并认为“欧几里得几何缺乏动感和想象力”，而立志建立“一种集代数与几何两门学科的优点于一身而能去掉两者的缺点的新学科”。

数形结合思想是产生解析几何的关键，“解析”意即用代数方程来研究几何问题。从几何研究的角度来看，传统几何学侧重于定性地演绎图形的性质与相互关系，而解析几何则借助代数方程定量地分析图形的性质与相互关系。这种转变实际上包含了在数学内部将纯几何研究对象进一步抽象为代数研究对象的过程，并通过建立方程模型来刻画几何图形的性质与相互关系。笛卡儿的思想实际上经历了史宁中教授所说的“抽象—推理—模型”的过程，而这个过程更是彰显了数学家的理性精神。同时，笛卡儿的数形结合思想所体现的对数学本质的见解也值得我们学习。他说：“所有那些旨在研究顺序与度量的科学，都和数学有关。至于所求的度量是关于数的呢，形的呢，声的呢，还是其他东西的呢，都是无关紧要的。”②对于今日的解析几何教学而言，数形结合思想不是“建设限代化”（“建立坐标系—设出相关点—限制条件—代入方程—化简”）这句口号所能简单地概括的。学生应该了解化常量为变量在实现由静态几何到动态几何的过程中的作用，应该体悟数形结合思想助力几何实现由二维平面到高维空间突破的价值。

“倾听历史”，体悟古人思想，意味着对数学本质的思考。每一个数学概念的诞生都并非一蹴而就的，我们除了要知其然，知其所以然，知其何以所以然，还应该看到知识背后数学家们的火热思考，学习他们的理性精神。

总之，我们对数学的认识，不应停留在表面所呈现的知识上，还应该涉及做数学的“人”，从数学家身上学习理性、求真、创新、执着等精神，进而获得对数学更深刻的见解。

（陈雨晴，华东师范大学教师教育学院。韩粟，华东师范大学教师教育学院。汪晓勤，华东师范大学教师教育学院，教授，博士生导师。主要从事数学史与数学教育研究，致力于HPM研究、实践、传播和人才培养。著有《数学文化透视》《HPM：数学史与数学教育》《数学史与初中数学教学：理论、实践与案例》《数学史与高中数学教学：理论、实践与案例》等。）