考虑用户选择的公交发车频率优化模型

寇少垚

摘要 随着轨道交通快速发展和小汽车保有量的增长，公交客流量持续下滑，公交公司的利润也随之下降。文章建立了双层规划模型：上层模型以最优化公交公司利润为目标;下层模型考虑用户选择行为，对城市地面混合交通网络流量进行均衡分配，并基于Frank-Wolf算法对模型进行求解，最后结合算例，通过敏感度分析研究公交发车频率对公交公司利润影响。

关键词 城市公交;发车频率;客流分配;双层模型

中图分类号 U491.17;F572 文献标识码 A 文章编号 2096-8949（2022）01-0028-04

0 引言

轨道交通和新型交通方式地迅猛发展导致传统地面公交已不再承担城市公共交通的主体功能，客流量逐年下降。早在2012年，国务院发布的《国务院关于城市优先发展公共交通的指导意见》就明确指出：优先发展公共交通是缓解交通拥堵、转变城市交通发展方式、提升人民群众生活品质、提高政府基本公共服务水平的必然要求。

国内外针对城市地面公交系统的研究比较类似，主要集中在公交线路发车频率优化、公交票价研究、公交网络设计等等。Hadas（2012）和Herbon（2015）分别基于每小时累积客流量和公交服务水平优化单条线路的公交发车频率和公交车容量;陈坚（2012）研究了公交票价对出行者出行成本和出行行为选择的影响，并建立了SUE模型。Bruno（2012）研究了票价监管、出行信息提供与公交服务水平、乘客出行成本之间的关系，为文章提供了研究思路。

综合来看，现有文献研究主要关注在公交系统的优化上，较少考虑出行者出行方式选择对地面公交系统的影响。然而，国内公交专用道建设进展缓慢：以上海市为例，2020年上海市中心城范围公交专用道覆盖率仅为11.8%，绝大多数公交与小汽车同占一条道路行驶，道路的拥堵状况势必会降低公交出行的吸引力。由此可见，在城市地面公交优化模型中，应考虑小汽车对公交系统的影响[1]。因此，该文假设出行者可选小汽车和公交车两种出行方式，考虑出行者选择驾车出行导致路段小汽车流量增多对公交系统的影响，建立双层规划模型，优化公交发车频率。

1 公交发车频率优化模型

1.1 问题描述

首先分析公交公司的利润模型。公交公司的运营成本主要包括燃油成本、维护费用、司乘人员工资和车辆折旧成本;公交公司的运营收入主要来源于车票收入和政府财政补贴。

其次，下层模型中假设出行者可根据不同出行方式的出行成本自由选择小汽车或公交车出行O-D。为此，该文构建双层模型，上层模型优化公交公司利润，下层模型求解地面混合交通网络均衡问题，通过敏感度分析研究发车频率对公交公司利润的影响[2]。

1.2 模型符号

具体模型符号定义详见表1。

1.3 上层模型

1.3.1 公交公司利润模型

公交公司希望其收益达到最大化，其收益可简化为票价收益减去各个线路公交车的运营成本。模型决策变量为，代表l路公交车的发车频率，具体目标函数为：

（1）

式中：，。

约束条件：

（2）

（3）

式（2）表示出行者在车站平均等待时间不能超过10 min，式（3）表示公交公司运营车队规模。

1.3.2 全体出行者出行成本模型

出行者可选择小汽车和公交车两种地面交通出行方式。式（4）表示小汽车出行成本，包括在途时间成本和燃油成本;式（5）表示公交车出行成本，包括时间成本、车内拥挤成本和票价成本。

（4）

式中：

（5）

（6）

1.4 下層模型

下层模型对出行者流量进行均衡分配，决策变量为和，分别表示选择使用小汽车和公交车出行路径p的客流量。

根据交通网络流均衡分配理论，小汽车或公交车出行者选择O-D间某一路径出行产生的出行成本一定小于或等于选择其他路径出行产生的出行成本，可用如下模型表示：

对于公交车客流（小汽车客流同理）：

（7）

出行者的出行方式选择依据自身对各出行方式出行成本的感知决定，该文采用经典的Logit模型来模拟出行者的出行行为选择，选择小汽车和公交车客流量见式（9）和式（10）。

（8）

（9）

约束条件：

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

式（11）和式（12）分别表示路段a的公交车流量和小汽车流量;式（13）为路段a的通行时间，用BPR函数进行计算，并把每辆公交车折算为小汽车当量;式（14）表示选择公交车通行路径p的时间成本，其中每项分别代表在途时间、候车时间和车辆停靠站时间;式（15）和式（16）分别表示l路公交车平均载客量和选择公交车通行路径p的拥挤成本;式（17）和式（18）分别表示流量守恒约束和非负约束。

2 求解算法

该文选择采用经典的Frank-Wolf算法求解下层模型，即所建立的城市地面混合交通网络均衡模型。

算法具体步骤如下：

（1）设置选择小汽车出行的初始流量。按照零流时各路段负效用对小汽车流量进行全有全无分配，得到各个路段的初始流量，同时令i=0。

（2）求出各路段辅助流量。根据路段—路径关系矩阵更新各路径的小汽车出行成本，按照该出行成本再次全有全无分配流量到各路段，得到各路段辅助流量。

（3）确定迭代步长。求满足如下方程的解λ：

（19）

若λ有多個解，则选择满足0<λ<1的解。

（4）确定新的迭代起点。在求出λ后，令，得到的更新后的路段流量即为新的迭代起点。

（5）收敛性检验。当各路段小汽车流量满足收敛条件：

（20）

则停止迭代，否则返回（2）并令i=i+1继续迭代。e为事先确定的某正小数，负责调节计算精度。

（6）同理，可以按照同样的步骤计算公交车出行者流量均衡。

（7）分别计算通过小汽车和公交车出行O-D对r-s的最小出行成本，代入Logit模型即式（6）即可求出选择小汽车出行的出行者数量。如果结果和该次循环步骤（1）中选择不同交通方式的出行者数量一致，则终止循环，说明已达到均衡条件;若不一致，则按照Logit模型求出的不同交通方式的出行者数量后返回步骤（1）重新迭代，直到两者近似相等为止。

3 算例分析

3.1 算例参数

为了简化计算量，算例选择包含一对O-D的简单网络来进行敏感度分析。

算例假设O-D间总出行需求量为8 000人次/h，出行者均可以选择公交或小汽车出行。交通网络中共有a1～a6六条单向路段，共有l1～l5五路公交车负责该网络的公交服务，O-D间有四条可选路径。公交出行成本计算方面，按照时间成本、舒适度成本和票价成本占广义公交出行成本50%、30%和20%来设定成本折算系数;小汽车出行成本按照时间成本、票价成本占广义小汽车出行成本的80%和20%来设定折算系数[3]。算例网络结构和其他参数见图1、表2和表3。

3.2 算例结果

基于上述交通网络和参数，利用Matlab搭建模型并求解算例。结果显示，当公交发车频率为15班/h时公交公司可以获得最大的利润。当发车频率小于15班/h时，随着发车频率的提高，乘客的候车时间逐渐降低，公交出行成本减少，使越来越多的乘客选择乘坐公交出行，公交公司的运营收入增长幅度要大于由于发车频率的提高所导致的运营成本的增长幅度[4]。当发车频率大于15班/h时，乘客对候车时间的减少已不再敏感，此时发车频率的提高不能为公交公司带来超额收益。

4 结论

该文建立了考虑出行者出行方式选择的公交发车频率优化模型：上层模型以公交公司利润为优化目标，下层模型用Logit模型模拟用户的出行方式选择，并基于交通网络流量分配理论对城市混合交通流量进行均衡分配。为求解下层模型，该文对Frank-Wolf算法做出了改进，使其能够求解混合交通网络流量问题。最后通过算例的结果可以验证该模型的有效性，其可为政府和公交企业提供决策依据和模型基础。

参考文献

[1]Yuval Hadas，Matan Shnaiderman.Public-transit frequency setting using minimum-cost approach with stochastic demand and travel time[J].Transportation Research Part B，2012（8）：1068-1084.

[2]Avi Herbon，Yuval Hadas.Determining optimal frequency and vehicle capacity for public transit routes：A generalized newsvendor model[J].Transportation Research Part B，2015（71）：85-99.

[3]Bruno De Borger，Mogens Fosgerau.Information provision by regulated public transport companies[J].Transportation Research Part B，2012（4）：492-510.

[4]陈坚.出行行为与公交定价理论及应用研究[D].成都：西南交通大学，2012.