绳驱动并联清洗机器人绳索张力优化

李建， 陈羿宗， 王生海， 韩广冬， 罗伟荣， 孙玉清

(大连海事大学轮机工程学院， 大连 116026)

城镇建筑的玻璃外幕墙由于长期暴露在空气中，表面会积累许多污染物，这就需要频繁地实施清洗作业[1]。传统的清洗作业方式主要为人工清洗，工作人员劳动强度大，并且高层作业危险系数高。除此以外，还包括爬壁机器人及轨道清洗机器人两种作业方式。爬壁机器人[2-3]在作业过程中可能会受到障碍物阻碍，降低作业效率，且越障能力有待考验。后者需要在建筑物上预装轨道，导致清洗作业成本高。两种作业方式都未能得到普及应用，亟需一种应用至高楼清洗作业的机器人替代人工完成作业。

绳驱动并联机器人是一种新型机器人，其采用柔性绳索代替刚性杆件以实现末端动平台位姿控制[4]，具备成本低、结构简单及运动范围大等优点，在工业、海洋以及医疗等领域[5-8]有广泛的应用。在上述成功应用的启发下，现通过在绳驱动并联机器人末端动平台上安装水枪等清洗装置，将绳驱动并联机器人相关技术应用至外墙清洗领域。

为实现清洗作业，需确定绳驱动并联机器人的构型。末端动平台只需在作业平面内实现平动及转动即可实现大范围、无死角作业。为使整体结构简单，采用三自由度四绳驱动并联机器人实现清洗作业。用m表示绳索数量，n表示末端动平台运动自由度数，绳驱动并联机器人可根据m与n之间的关系可分为三类：欠约束绳驱动并联机器人(m≤n)；完全约束绳驱动并联机器人(m=n+1)；过约束绳驱动并联机器人(m>n+1)。采取的三自由度四绳驱动并联机器人为完全约束绳驱动并联机器人，可实现末端动平台的完全控制，驱动力只有1个冗余度，可保证实时求解优化后的绳索张力[9]。

针对绳驱动并联机器人绳索张力优化算法，国内外相关研究人员也已经开展了广泛的研究。Pott[10]提出基于绳索张力封闭解的张力优化算法，该算法实时性能良好，但应用的物理意义不够明确。刘嘉韧[11]提出采用力优化迭代算法求解绳索张力，该算法可在一定程度上改善系统刚度，但是迭代次数过多会影响系统性能。张卓等[12]提出采用相关力最小一范数作为优化目标求解绳索张力，但优化后的张力连续性较差。何俊波[13]使用最小p范数法作为优化目标求解绳索张力，但当p过大时，张力求解算法无法正常使用。Chen等[14]针对绳驱动并联除锈机器人进行深入研究，提出以相关力的最小方差法作为优化目标求解绳索张力,优化后的张力连续性好，但实时性欠佳且系统刚度固定不可改善。由以上分析可知，传统的最小方差法虽然能够解决绳索张力优化问题，但是优化后的绳索张力最值偏小。张力最小值偏小导致系统刚度较差，张力最大值偏小导致系统抗扰性能差。针对复杂的清洗作业环境，应在索张力范围内尽可能提高张力均值。在此基础上，提出采用相关力改进的最小方差法作为优化目标求解索张力，解决优化后系统刚度较差及索张力不连续、不唯一的问题。

现以绳驱动并联清洗机器人为研究对象，该绳驱动并联机器人为完全约束绳驱动并联机器人。首先，建立考虑绳索弹性的系统动力学模型。在此基础上，将相关力改进的最小方差作为优化目标对绳索张力进行优化。采用多项式极值法求解最优绳索张力，并将优化后的绳索张力作为虚拟样机输入。最后，通过联合仿真验证理论分析的正确性。

1 清洗机器人工作原理及机械结构设计

绳驱动并联清洗机器人机械结构是动力学建模的基础，结构的合理性直接决定样机能否正常工作。如图1所示为清洗机器人结构图，四个驱动电机布置在底板上方，通过驱动电机驱动绳索收放以实现末端动平台按照预定轨迹运动，在末端动平台上安装高压水枪清洗工具便可实现清洗工作。为防止四根绳索收放时相互摩擦，采用底板上下侧分开走绳的结构形式。为防止绳索收放时发生跳绳现象，在四个滑轮出绳端使用压绳滑轮组。

图1 清洗机器人结构图Fig.1 Structural diagram of cleaning robot

2 动力学建模

动力学模型是进行轨迹跟踪控制的基础，动力学模型的准确性直接影响着清洗机器人的轨迹跟踪精度。

2.1 末端动平台的动力学模型

如图2所示为绳驱动并联清洗机器人动力学建模分析简图，通过电机驱动绞盘旋转，从而收放绳索，使末端动平台按照预设轨迹运动。建立大地坐标系O-XYZ及局部坐标系P-xyz，局部坐标系原点与末端动平台质心重合。第i(i=1,2,3,4)根绳索与压绳滑轮组端连接点为Bi，Pi为末端动平台的连索点。

在动力学建模前，先对绳索做如下假设。

(1)由于绳长跨度较短，且所选用的绳索直径较细，故绳索自重在建模时不作考虑。

(2)绳索为理想的柔性体，不能抗弯及受压。

m为末端动平台质量；g为重力加速度；Ti为第i根绳索的张力；Fr与Mr分别表示末端动平台受到的广义外力及广义外力矩， 特别包括清洗机器人在清洗作业时受到的反作用力及反作用力矩图2 绳驱动并联清洗机器人动力学分析简图Fig.2 Schematic diagram of dynamic analysis of cable-driven parallel cleaning robot

首先，基于Newton-Euler法，得末端动平台的动力学方程为

(1)

将式(1)进一步写成矩阵形式得

(2)

2.2 驱动装置的动力学模型

基于Newton-Euler法，进一步得到驱动装置动力学模型为：

(3)

式(3)中：Jm∈R4×4，为电机转动惯量矩阵；Vm∈R4×4，为电机黏性阻尼系数矩阵；θ=r-1[l1(t)-l1(t-1)l2(t)-l2(t-1)l3(t)-l3(t-1)l4(t)-l4(t-1)]为绞盘转动角度，li(t)-li(t-1)为第i根绳t与t-1时刻绳长差；r∈R1×4为绞盘卷筒半径；τ=[τ1τ2τ3τ4]T为电机转矩矩阵。

进一步，联立式(2)与式(3)得到清洗机器人动力学模型为：

(4)

M(x)e=M(x)+J(r-1)Jm(r-1)JT

J(r-1)Vm(r-1)JT

(5)

2.3 考虑绳索弹性的动力学模型

基于Lagrange法，建立考虑绳索弹性的动力学模型，系统的拉格朗日方程为

EL=Ek-Ep

(6)

系统的总动能为

(7)

系统的总势能为

(8)

式中：ΔL=[ΔL1ΔL2ΔL3ΔL4]T为绳长形变量矩阵，第i根绳长形变量为ΔLi=Lbi-Lai，Lbi为形变后绳长，Lai为形变前绳长矢量；K=diag(k1k2k3k4)为绳索弹性系数矩阵；yd为末端动平台质心相对于大地坐标系的y方向坐标。

进一步，机械系统的运动方程为

(9)

进一步联立式(6)与式(9)，化简总结得到考虑绳索弹性的系统动力学方程为

(10)

由式(10)可知，绳索形变量与弹性系数有关，需对绳索形变量予以补偿。以上所建立的绳驱动并联清洗机器人动力学模型，为绳张力优化算法验证提供理论基础。

3 绳索张力优化算法

如前所述，绳驱动并联清洗机器人为完全约束机器人，其驱动冗余性导致求解的绳索张力不唯一。但在实际的绳驱动并联机器人控制中，可确定一组最优的可行解作为绳索张力。在动力学模型的基础上，通过对绳索张力优化算法进行深入研究，确定绳驱动并联清洗机器人绳索张力最优解。

3.1 绳索张力求解

在绳驱动并联清洗机器人进行清洗作业时，驱动电机的功率及绳索强度有限，且绳索为柔性几何体，为避免绳索在实际作业中出现虚牵的现象，需要对绳索张力进行约束，绳索张力的线性约束范围为

Tmin≤T≤Tmax

(11)

冗余驱动使得无法正常求解绳索张力。首先，将绳索张力分解为

T=TS+TH

(12)

式(12)中：TS∈R4×1为绳索张力特解项；TH∈R4×1为绳索张力通解项。

在此基础上，对结构矩阵J进行奇异值分解，引入结构矩阵的广义逆J+=JT(JJT)-1，分别得到张力特解项与张力通解项为

(13)

TH=N(J)λ

(14)

式中：N(J)为结构矩阵的一维零空间基底，第i个元素N(J)i=(-1)i+1det [1 …Ji-1Ji+1…J4]；λ∈R1为任意标量。

将式(13)与式(14)联立，并代入到式(11)中，可得

(15)

3.2 绳索张力优化模型

式(15)对λ的取值范围做出约束，可通过调整λ的取值来改变绳索张力通解。绳索张力优化的问题就转变为对λ的单目标优化问题，建立优化模型为

(16)

式(16)中：F(λ)为待优化的目标函数。绳驱动并联清洗机器人为完全约束机器人，优化的目标及约束条件均为凸函数，优化后的λ可行域也为凸集。基于凸优化理论，绳索张力优化问题存在唯一最优解。进一步针对F(λ)，采用多项式极值求解方法，便可以确定绳索张力最优解[15]。

对传统最小方差法加以改进，引入张力极值平均项，可使4根绳索张力在张力极值的平均值附近变化，使得张力分布更为均匀连续。待优化的目标函数F(λ)可表示为

(17)

(18)

对于完全约束机器人，式(17)可进一步总结为关于λ的二次多项式(a、b、c为系数)，即

F(λ)=aλ2+bλ+c

(19)

最优解λ*求得后，将其代入式(14)中，便可求得绳索张力通解，进而求得优化后的绳索张力值。

4 实例计算与分析

通过MATLAB-Simulink建立绳驱动并联清洗机器人动力学模型以及绳索张力优化模型，使用Adams建立虚拟样机模型。将绳索张力优化结果作为虚拟样机模型的张力值输入，末端动平台质心坐标点作为输出，进行Simulink-Adams联合仿真。

4.1 建立仿真模型及仿真参数整定

在不影响仿真精度的前提下，使用Adams对绳驱动并联清洗机器人模型进行简化，并进一步使用Adams-cable模块建立仿真模型。压绳滑轮组出绳点在大地坐标系的坐标分别为oB1=(-0.85，1，0) m，oB2=(0.85，1，0) m，oB3=(0.85，-1，0) m，oB4=(-0.85，-1，0) m。末端动平台连索点在局部坐标系下的坐标为pP1=(-0.05，0.05，0) m，pP2=(0.05，0.05，0) m，pP3=(0.05，0.05，0) m，pP4=(-0.05，-0.05，0) m。末端动平台质量为2.5 kg，惯性张量Ixx=0.062 6 kg·m2，Iyy=0.031 3 kg·m2，Izz=0.031 3 kg·m2，由于惯性主轴与局部坐标系重合，故其他惯性张量为零。

绳索直径为2 mm，绳索弹性模量k=1.0×105N/mm2，其余参数默认。建立Simulink-Adams联合仿真模型如图3所示，由轨迹输入、动力学建模、张力优化算法以及Adams虚拟样机四部分组成。右上角为Adams虚拟样机模型，四个端点为球状哑物体，用于绳索张力的输入。创建Adams输入输出状态变量，输入状态变量为绳索张力，输出状态变量为动平台质心坐标。将系统模型导出为S函数模块，建立联合仿真模型。

图3 Simulink-Adams联合仿真模型Fig.3 Simulink-Adams co-simulation model

4.2 张力优化算法联合仿真验证

绳驱动并联机器人结构参数如前所述，在此基础上，进行联合仿真验证。绳索最大张力值Tmax=800 N，绳索最小预紧力Tmin=10 N。末端动平台运动轨迹如下：

(20)

式(20)中：该轨迹为圆形轨迹，轨迹半径为R=0.4 m，为运动轨迹半径；ω=2π/T，为动平台运动角速度；T=12 s，为动平台运动周期。仿真步长设定为变步长，仿真时间为12 s，进行仿真验证。

当λ*始终为零值时，绳索张力的特解项就是绳索张力。由图4(a)可得，绳张力特解项变化曲线不光滑，且其值有负值出现，与实际经验不符，故需通过通解项优化绳索张力。图4(b)～图4(d)为优化后的绳索张力，由图可得，优化后的4根绳索张力曲线连续光滑变化。初始时刻，由于动平台重力作用，使得绳索1、2张力大于绳索3、4张力。下一时刻，动平台向左上方运动，使得绳索2、3张力逐渐减小，绳索1、4张力缓慢增大。在6 s时，动平台过左极点，绳索2、3张力又缓慢增大，以实现动平台沿圆形轨迹向右移动。同时可以发现刚度改善系数愈大，绳索张力均值愈大，系统刚度得到改善，但同时绳索张力的极大值变大，极大值过大会引发绳索疲劳断裂。综合系统刚度及绳索强度，在下面的仿真分析中，选定刚度改善系数为0.2。

图4 圆形轨迹索力优化前后对比图Fig.4 Comparison of before and after cable force optimization of circular trajectory

图5(a)为λ*值的变化趋势，其在上下限内连续变化。图5(b)为绳张力通解项变化图，变化趋势基本与优化后的绳张力相同，说明绳索张力上限远大于特解项的情况下，优化后的绳索张力主要由通解项决定。

图5 绳索张力优化部分值变化图Fig.5 Partial value change of cable tension optimization

如图6所示轨迹对照图，在张力优化验证仿真模型为开环系统的情况下，输入优化后的绳索张力值至虚拟样机，末端动平台的运动轨迹与期望轨迹基本一致。

图6 圆形轨迹对比图Fig.6 Comparison of circular trajectory

圆形轨迹误差值如表1所示。由于系统为开环，且绳索具有弹性及惯性，误差逐渐累积导致最大误差较大，但终点误差较小，角度误差近乎为零。其中X方向最大位移误差为0.064 m，Y方向由于重力存在导致末端动平台运动惯性较大，最大误差为0.078 m，最大误差均值为0.071 m。针对轨迹的终点误差，X方向为0.9×10-3m，Y方向为9.4×10-3m，终点误差均值为5.15 mm。

表1 圆形轨迹误差值Table 1 Circular trajectory error value

将末端动平台运动轨迹设定为直线，进行联合仿真验证。轨迹为

(21)

式(21)中：ω=2π/T，T=12 s，为动平台运动周期。仿真步长设定为变步长，仿真时间为12 s，刚度改善系数为0.2，其余参数同前，进行仿真验证。

如图7所示为绳索张力不含优化项及优化后的对比图，由于轨迹为通过平面几何中心且向右加速移动的直线，因此前期1、2绳张力较大克服重力作用，后期2、3绳张力大于1、4绳张力以实现加速运动。

图8所示为直线轨迹对比图，可知，在绳索弹性及动平台重力及绳索弹性的影响下，动平台质心在y方向振动的同时向x轴正方向移动。

直线误差轨迹如表2所示，最大误差均值为9.25 mm，终点误差均值为3.5 mm，质心角度误差近乎为零。在系统为开环的情况下，总体误差较小。

图7 直线轨迹索力优化前后对比Fig.7 Comparison of before and after cable force optimization of linear trajectory

图8 直线轨迹对比Fig.8 Comparison of linear trajectory

表2 直线轨迹误差值Table 2 Linear trajectory error value

5 结论

本文推导了考虑绳索弹性的绳驱动并联机器人动力学方程，在此基础上提出将相关力改进的最小方差作为优化目标的绳张力优化算法，解决优化后系统刚度较差及绳张力不连续、不唯一的问题。并将该算法应用至绳驱动并联清洗机器人进行联合仿真，得到以下结论。

(1)将张力优化问题转变为关于λ的单目标优化问题，根据凸优化理论及多项式极值求解方法得到绳索张力值的最优解。

(2)对于完全约束绳驱动并联机器人，在绳索张力上限远大于特解项的情况下，优化后的绳索张力主要由通解项决定。

(3)系统引入刚度改善系数，刚度改善系数愈大，绳索张力均值愈大，系统刚度得到改善，但同时绳索张力的极大值变大，极大值过大会降低绳索强度。可通过选取不同的刚度改善系数值，改变系统刚度。

(4)基于改进的最小方差法优化后的绳索张力，均匀分布在预设张力极值的均值附近。可通过调整张力极值，进而改变张力优化范围。

(5)建立将相关力改进的最小方差作为优化目标的绳张力优化模型并进行仿真，仿真结果表明，采用改进的最小方差法优化绳索张力，优化后的绳索张力光滑连续变化。圆形轨迹最大误差均值为0.071 m直线轨迹最大误差均值为9.25 mm。在系统为开环的情况下，轨迹误差较小，表明张力优化效果良好，可为绳驱动并联机器人完成实际的清洗作业提供理论基础。

值得注意的是，本文所建立的动力学模型及绳张力优化算法不止适用于绳驱动并联清洗机器人，普遍适用于完全约束绳驱动并联机器人，是一种具备通用性的建模方法。在此理论研究的基础上，可对完全约束绳驱动并联机器人的控制策略进行深入研究，并通过实验进一步验证理论研究的正确性。