以培养学生数学核心素养为目标的教学设计——以三角函数知识教学为例

江苏省海安中等专业学校 刘爱琴

数学教师在教学中应当注重培养学生的核心素养，不断优化教学设计，优化教材的内容，设置有趣的教学情境，培养学生数学知识的实际应用能力，注重对知识点进行反思和总结，不断提高学生的数学核心素养。本文以三角函数一章的部分知识教学为例，阐述了以培养学生数学核心素养为目标的教学设计方法内容，以供参考。

一、挖掘教材内容，培养学生核心素养

数学教材的内容是很多专家和学者根据学生的身心特点精心设计的学习资料，教师应当充分挖掘教材的内容，让学生充分了解和掌握数学教材中关于三角函数的概念和公式等知识，夯实基础，为培养学生的核心素养奠定基础。

例如，教师在开展“任意角的三角函数”教学时，应当立足于教材内容的基本公式和基础理论知识，教师在进行教学设计时，应当先引导学生回顾初中锐角三角函数的定义和基本内容，为后续学习任意角的三角函数埋下伏笔。教师引导学生完成复习工作之后，给学生设置一些简单的问题，例如：我们是否可以在直角三角形内继续进行任意角三角函数的定义呢？通过抛出问题的形式来引导学生进行探索，通过平面直角坐标系来进行任意角三角函数定义的初步尝试。如下图，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α 的三角函数呢？

教师可引导学生通过平面直角坐标系来将几何问题转换为代数知识，采用点的坐标的形式来表达定义式中的三个量，教师应注重将数形结合思想渗透到这个过程中，让学生分组进行探讨：“为什么要在直角坐标系中进行三角函数的定义分析？以点的坐标的形式来进行三角函数式的表达有什么好处？”为方便学生思考，教师可以设置几个问题给学生讨论，如：(1)弧度是怎么定义的？圆的半径的大小会不会对弧度的定义产生影响？采用多大的圆来解释定义更恰当呢？(2)以任意一个三角函数y=sinα 为例，该三角函数的函数值受哪些因素的影响？若角的终边位置已被确定，我们是否还可以取终边上的任意一点来进行三角函数的定义？如何去决定这个点能使定义式变得简单？(3) 任意角的三角函数值与角终边上点的位置有没有关系？三角函数值的变化与谁有关？这样让学生在借助单位圆给任意角的三角函数下定义，教师根据学生的讨论结果进行整理并给出定义内容。

在此基础上教师让学生根据定义分析，要求角α 的三角函数值实质上是在求什么的值？以此来引导学生体会用圆的坐标进行三角函数的定义有哪些微妙之处。学生便会明白，这种学习模式不仅是对三角函数定义式的简化，还是对三角函数本质概念的突出显示，教师可借助问题设定的形式来引导学生进行三角函数定义的转化运用。以下题为例：已知角α 的终边经过点P(3，-4)，求角α 的正弦、余弦和正切值。在完成本题的基础上，教师可以通过下列变式引导学生对任意角三角函数的概念作进一步的认识，变式:分别求角π/3 和π 的正弦、余弦和正切值。先让学生从最简单的问题入手，通过变式让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值，加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想。为引导学生进一步理解任意角三角函数的概念，可以提问：你能否给出正余弦、正切函数在弧度制下的定义域？函数三要素中最本质的则是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以要继续研究其定义域。通过三角函数的定义来进行定义域的界定，既是对三角函数本质概念的完善，又是提升学生对数学概念的理解程度的有效途径。

二、小组合作探究学习，培养学生核心素养

数学学科在很多人看来是一个比较抽象的学科，学习起来不是很容易，学生在面对晦涩难懂的三角函数的公式和理论知识的时候常常会感觉到难以理解和掌握，容易产生厌学情绪，因此在课堂上他们经常会思想跑偏或者打瞌睡，不认真听老师讲的重点知识，学习质量和效率比较低下，等到做练习题的时候又不会，如此便陷入了一个死循环。如果教师积极组织学生开展小组合作学习，可以提高学生的积极性和主动性，让学生在合作探究学习中各抒己见，取长补短，有利于缩小学生之间的差异，促进学生的发展，同时也有利于培养学生的核心素养。

教师可以灵活采取让学生根据自己的兴趣进行自主组合，在小组学习中学生的学习习惯和学习能力各有差异，学生在共同的学习目标驱使下形成一定的聚合力，也能在相互交流的过程中达到合作学习的目的，集思广益地去从多方面入手思考问题，进而形成一种科学化、有效化的解题思路，提高学习效果。为了达到教学设计目标，教师在学生小组学习时应当布置一定的学习任务，而任务驱动合作学习可以使成员间的个性差异缩小，有利于学生基于兴趣爱好激发学习动机。在学生讨论的时候，教师可以在小组间巡察及时点拨学生思考，引导学生学会学习，有效地利用合作交流时间。学生在讨论中可以拓宽知识范围，将其他学生和教师的解题思路有效整合，转化为自己的思维并加深印象，有利于学生之间加强感情，培养合作精神，促进共同进步。学生在讨论交流完毕后，应当轮流发表意见，教师认真倾听，及时对学生的探究方式予以指导，有针对性地进行总结评价，以达到评价教学的根本目的。

例如教师在开展函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课）的教学时，应当组织学生分别探究A、ω、φ 对y=sin(x+φ)、y=Asinx(A＞0)、y=sinωx(ω＞0)的图象的影响，在学生理解了A、ω、φ 分别对图象的伸缩、平移变换变化规律的基础上，进一步探究A、ω、φ 对函数y=Asin(ωx+φ)的综合影响。教师给学生设置了以上两个问题之后引导学生开展小组探究学习，让学生自主探究研究策略，正确找出由函数得到的图像变化规律，让学生体会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。教师在教学中应当明确本节课的难点是:1.平移变换;2.A、ω 不为1 时的伸缩变换。突破难点的策略是：教学中不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子让学生自己画图探究体会，如画出y=sin2x 和y=sin3x，y=sinx/2 和y=sinx/3的简图，加强学生对整体代换思想的理解，同时也使学生对图像有更深刻的认识，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律。学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的变化关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法，从而突破难点。由于每个人的知识、能力不同，认识问题的习惯与特点不同，所以教师遵循自主探究、合作交流的教学方式，把本节课的探究过程设计为一个动态的、开放的系统，而不是设计成一个封闭的、静态的系统，这样才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生认知策略的发展。

三、分层布置数学作业，培养学生核心素养

作业是数学课堂的有效延伸，是对学生知识掌握情况的考察，数学教师应当尊重学生之间的个体差异性，认识到差异性的可贵之处，并且针对不同层次的学生逐层设计课外作业，这样不同学习层次的学生均能够达成作业的完成目标，从而促使学生感受到成功的喜悦，有利于激发学生的学习热情，在后续的数学学习中会更加努力。如果教师布置的作业没有分层设计，那么对一部分学习成绩较差的学生来说确实太难，他们为了完成作业就会去抄袭其他学习较好学生的作业，他们在照抄作业的时候对于一部分解题思路和公式并不理解，但也没有及时向其他学生和教师请教，久而久之学生就会对知识渐渐陌生，这样不利于学生掌握更多的数学知识，因此教师应当根据学生的具体情况合理设计课后作业，让学生通过完成不同层次的课后作业，不断巩固和加深所学的新知识，对提高不同层次学生的数学能力和素心素养有很好的推动作用。

教师应当对班级的学生进行综合评定，根据学生的成绩、学习能力以及动手实践水平等方面将学生分为三个等级，第一个等级是学习和动手能力均为较差水平的学生，第二个等级是学习和动手能力均为一般的学生，最后一个等级是学习和动手能力较强的学生，然后教师根据每个等级学生的具体学习状况采取合理的教学方法，让他们合理选择数学题目难度和内容，让每个学生都可以在学习中体验到成功的快乐。

例如，教师针对第一等级的学生应当布置一些基础练习：为了得到函数y=sin（2x-π/6）的图象，可以将函数y=sin2x的图象A.向右平移π/6 个单位长度；B.向右平移π/3 个单位长度；C.向左平移π/6个单位长度；D.向左平移π/3 个单位长度。而对于第二等级的学生教师可以布置一些拔高性习题：要得到函数y=2cosx 的图象，只需将函数y=2sin(2x+π/4)图象上的所有点的A.横坐标缩短到原来的1/2(纵坐标不变)，再向左平行移动π/8 个单位长度；B.横坐标缩短到原来的1/2 (纵坐标不变)，再向右平行移动π/4 个单位长度；C.横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π/4 个单位长度；D.横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π/8 个单位长度。而针对最后一个等级的学生应当布置一些拓展性的题目，如：已知函数f(x)=sin(π/3-2x)(x∈R)：(1)求f(x)的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y 轴对称?

教师采取逐层设计的原则将作业的难度进行了细致的划分，以促使学生能够依据自身的情况来进行自主选择，学生也便不会再觉得难以完成，使学生既能够感受到完成作业所带来的喜悦，同时又切实有效地掌握了相应知识内容，让学生获得自信心，保持学习数学的兴趣，有利于培养学生的核心素养。

四、巩固所学知识，引导学生反思评价

在这节课中，学生通过分组讨论、合作学习的方式对三角函数的知识进行了探究，通过解答例题来认识常见的题型，总结解题方法。在学习完常见题型后，教师可以引导学生发现不同题型之间的联系，学会透过现象看本质。在课堂小结环节，教师可以向学生提问：本节课你们都学习了哪些知识？自己掌握了哪些知识？在解题的过程中都运用了哪些数学思想？每个小组可以分别派一名代表来对本节课的内容进行回顾小结，教师对每个小组的回答情况进行打分，引导学生根据板书的内容继续完善答案。完成上述环节之后，教师就可以对本节课各个小组的综合表现情况进行打分和评价，对表现非常好的小组给予嘉奖和表扬，而对表现不是很理想的小组给予鼓励和支持。例如老师给出了这样一个问题：y=Asin（ωx+φ）+B型函数与y=at2+bt+c 型函数求最值的方法一样吗？学生在思考这个问题后可能会想到，这两种函数类型是不同的，但是说不出原因。这时教师就需要引导学生找到这两种函数的相同之处，即它们的解题方法可以采用化同角化同名或换元的方式进行解答，可以将多元的问题单元化，将复杂的题型化简，将不熟悉化为熟悉。这种方法其实就是透过现象看本质，发现不同题型中的相同之处和联系，这样可以进一步发现和体会数学思想在数学学习中的作用，有利于培养学生的数学核心素养。教师只是学生学习的引导者和支持者，在整个教学过程中应当以学生为主体，让学生进行分组学习、小组讨论是为了让学生养成独立思考的习惯和能力，激发各个小组的竞争意识，激发学生探究问题的积极性。数学本身就是一个具有抽象性的学科，对于一道题可能会有多种不同的解题方法，教师就需要引导学生进行探究来完善解题思路，将常规思路和创新思路进行对比，使学生的思维得到发散，进一步培养学生的核心素养。

根据新课标的要求，数学教学是一个更加注重过程及学习方法的学科，对学习的结果关注较少，数学注重的是培养学生的各种思维和能力。尤其是在一节课将要结束时，教师要引导学生对所学内容进行总结，这样可以巩固所学的知识，使知识基础更加牢固，这也是培养数学核心素养最不可缺少的一个环节。

数学教师在教学实践中，应当将学生放在教学活动的主体地位，在三角函数的教学过程中，不断挖掘教材内容，组织学生开展合作探究学习，并采取分层布置作业的教学方式，不断优化数学教学设计的内容和形式，让学生可以不断提高其自主学习和探究的意识和能力，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果，培养学生的核心素养，提升数学教学的质量和效率。