一题“多解”到多题“通解”的变迁

◎张国兵

(广东省东莞市东正路62号东莞中学，广东 东莞 523005)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》的重点是落实数学学科的核心素养，这对我们教师的教学也提出了新的要求.教师要通过设定学习任务，来渗透数学学科核心素养[1].其中解题任务是数学学习的一个非常重要的载体任务.

数学学习离不开解题，解题的过程实际上也是培养学生的数学思维能力的过程，同时也是培养学生数学学科核心素养的能力的过程.高考题、模拟题、调研题等试题都是专家们精心制作的，在用来考查学生对知识的掌握情况的同时，也在考查学生学科素养的提升情况，为国家选拔优秀人才，完成数学学习的终极使命——会用数学的眼观观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.通过学习一道好题的多种解答方式，学生不仅能够较好地把握问题的本质，还能透过试题解答的过程来挖掘隐含的解题规律，实现多题通解，从而提升学生的数学思维和数学核心素养.正如美国著名数学家波利亚在其著作《怎样解题》中表达了自己的解题观点——解题的价值不是答案本身，而是在于弄清楚是怎样想到这个解法的，是什么促使你这样想、这样做的，这其实也是在说解题过程还是一个思维过程，是把一个知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程.在数学学习的过程中，教师有一个重要的任务就是要教给学生如何思考问题，如何将问题深化，如何将问题归纳抽象，进而揭示数学问题的本质.下面笔者根据多年从教经验，从学生所反映的问题出发，以一道压轴题为例来探寻一题“多解”到多题“通解”的变迁.

一、数学学习过程中的解题问题

1.没有思考就做题

一听就会，一做就错，看到答案就恍然大悟.在我们身边不乏这样的同学，事实上，在现实的教学、考试中以及综合题方面体现得更加明显，尤其是压轴题，学生在做题不能理顺题目中所蕴含的逻辑关系，就是单纯的过一遍.我们发现这些学生在看到题目时觉得面熟，可以肯定自己在哪做过原题或是类似的题目，可此时无论怎么想也想不起来怎么做，于是陷入回忆、思考以前做过的题目，始终没有思路，从而无从下笔，最终只能是望题兴叹.当看到答案时，情绪激动，唉！原来是这样做的，就是自己不能独立地把题目完整的做出来，他们常常依附于答案才能完成题目的解答.笔者在多年的教学观察中发现，其原因是因为学生在做题目时没有真正地理解题目及解法，没有理顺其蕴含的逻辑关系，找不到突破点，只能用答案的思路或跟着老师的思路把题目抄下来，没有经过自己思考、加工、处理，误以为自己会做了.其实只是把题目背过一遍而已，一段时间过后，就只能记得题目不记得解法.为克服这种情况，笔者认为，在完成一道题目的解答后，可以从不同的方向上再去思考解法，如从几何方向、代数方向、数形结合方向，函数的特点方向等；可以让同学分组讨论各自的解法及各自的理解，检查自身对该题的理解还缺少什么，比较同学之间不同的解法的优缺点，追求更高更优的解法.发现问题时立即询问老师，力争把题目理解得更透彻.其本质就是要同学养成一题多解的习惯，逐渐形成多题通解的目标.通过长期的训练定能达到相当高的解题能力，进而提高思维能力和数学学科素养.

2.会做的题，总是做错

从事一线教学的教师很清楚，学生学习过程中会做的题目总是做错才是最可怕的.很多学生都说自己很粗心，这次错了没有关系，下次肯定不会错，可是下次仍然会错.原因主要有以下两点.

(1)思维能力的缺陷.计算时对时错，不能把知识迁移，不能举一反三，不会灵活的选择算法，表达方法等，这不仅仅是算法的问题，往往是由于想不到的问题，其实是思维能力不能跟上知识在运算过程中的运算能力.运算能力和思维能力是学好数学必备的能力，缺一不可.可以说运算能力是“器”，思维能力是“术”，思维能力跟不上，运算能力很难有成效.高中阶段能有效锻炼思维能力的方法之一是一题“多解”的发散思维和多题“通解”的归纳思维.

(2)心态不端正，题海式训练.有的同学对概念模糊，对自己知识掌握不牢，模棱两可问题的轻视或忽略.其实错误总是在自身掌握不牢固的地方出现，那些看似粗心犯错，其实也都是应用知识不熟练导致出错.一味地采取题海战术，纵使刻苦勤奋，仍然收获甚微，长此下去，学生会对数学学习失去信心，对学习数学有一种畏惧感.

有的同学认为只要会做就行了，平时算不对没有关系，考试一定能算对.殊不知这种做法更不明智，这是因为我们学习的目的除了要掌握知识、探寻解决问题的方法外，还要在学习过程中养成良好的学习习惯和解决问题的态度.避免出现浮躁的学习性格和不严谨的思维模式.通过数学学习提升数学核心素养的一个必备的条件是养成良好的学习习惯，要养成良好的学习习惯就要准备一个整理经典题的好题本(或错题本)，把一些好题(错题)记下来，在追求一题多解到多题通解的过程中，理顺解题思路，选择最优解，进而达到解决一类问题目的，才能成功回避题海战术来提高数学学习.

二、一题多解的探寻

1.问题呈现

已知函数f(x)=lnx-ax；

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2时，证明：x1·x2>e2.

解：本题第(1)问的解答过程此处省略.下面用多种解法来解第二问.

2.解法探究

解法一 转化问题，用函数的性质来证明不等式

要证：x1x2>e2，只需证：lnx1+lnx2>2.

解法二 变换函数实现妙解

解法三 直接构造函数

解法四 巧引变量，变换函数一

解法五 巧引变量，变换函数二

欲证x1x2>e2，只需证lnx1+lnx2>2，即只需证明t1+t2>2，即

故g(k)在(0,1)上单调递增，因此g(k)

三、解题反思，实现多题通解

一道数学题经过一番艰辛探索得到答案之后，必须进行解题反思.反思解题过程有利于揭示问题的本质，拓展思路，沟通知识，培养概括解决问题的能力.通过归纳总结解题思路，有利于提升学生抽象概括解决一类问题的能力.

从以上几种解法可以看出，解决这一类问题时，我们先要对所求问题进行恒等变形，构造新的函数，再通过研究函数的性质来完成问题的解答，同时也是这类问题的难点、关键点.一题多解是要求我们从不同角度对已知条件或所求结论进行恒等变形，变形的层次不同，选取的点不同可能用到的方法也就不同，这是很典型的发散思维.如果我们对题目条件或问题进行恒等变形或略微调整也会出现很多不同的题目，但他们的解法同样也可以归为同一类，这就是我们常说的多题通解问题.下面我们通过分析下列各题来实现多题同一解.

(1)若m=-3，讨论函数f(x)的单调性，并写出单调区间；

思路分析(1)略.

(1)若f(x)在点(e2,f(e2))处的切线与直线4x+y=0垂直，求f(x)的单调减区间；

(2)若方程f(x)=1有两个不相等的实数解x1,x2，证明：x1+x2>2e.

思路分析(1)略.

例3已知函数f(x)=ex-kx+k(k∈R).

(1)试讨论函数y=f(x)的单调性；

(2)若该函数有两个不同的零点x1,x2，试求实数k的取值范围并证明：x1+x2>4.

思路分析(1)略.

例4已知a为实常数，函数f(x)=lnx-ax+1(a∈R).

(1)讨论函数y=f(x)的单调性；

(2)若函数y=f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1

思路分析(1)略.

以上几题试题的呈现形式不同，函数类型也有所不同，问法上也有所不同，可以说是完全不同的题目，但它们的本质相同，都是主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查构造函数思想、函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.并且它们的解题思想一致——构造函数，研究函数的性质来证明相关结论.这也是多题通解的机理，因此这一类的题目可以实现多题通解.

事实上，一题多解，多题通解的教学中承载着培养数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的内容.在解题教学过程中，直观想象、数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等能力的培养与我们这里倡导的一题多解和多题通解是密不可分的.解题教学中的变式拓展实质上是多题通解的呈现形式，文中通过对一道压轴题的探究，可以引导学生从不同的角度、不同方式、不同层次来探究问题.从而完善了学生的认知结构和方法体系，这种方式既有利于学生掌握知识的内在本质，也提升了学生的逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等学科核心素养.

一题多解是从不同的角度、不同的方位去分析审视同一题，培养学生的发散思维；一题多变通过改变题设或结论或引申新问题，使学生对知识的理解更深刻，提高学生的创造性思维.解题教学的目标应是罗增儒教授所倡导的：谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.

四、结 语

在高中数学教学过程中，教师应该积极应用一题多解和多题通解的学习方法，这不仅能够提升学生的解题能力,同时还能够拓展学生的思维,使其学会采用多种方式解决数学学习中的问题，并且思考不同问题之间的关联性，从而实现举一反三的目的.著名数学家、数学教育家G·波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着要善于解题.波利亚一语点明数学教学的根本目的———提高学生探索和解决问题的能力，培养学生的数学创新精神.”我们在求解一个新问题时，只有透彻理解数学思想、数学方法并能融会贯通时，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最优方案.而一题多解归纳到多题通解的思想具有将所学知识加以融会贯通的作用，是一种培养创新能力的重要思维方法.因此，一题多解，多题通解应当成为我们掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段，也应成为数学教学的闪光点.