创新思维引领的数学建模活动研究

◎张 璐

(吉林师范大学,吉林 长春 130000)

引 言

高中阶段是初等教育中至关重要的阶段，关系着学生未来生活学习的发展.我国教育部门和相关的教育科研工作者一直关注数学建模在高中阶段的应用.本研究以生物生长规律模型为主要研究对象，以数学模型对学生创新思维发展的重要性作为出发点和立足点，从创新思维培养、模型思想探究和模型案例分析三方面展开，体现数学建模在高中阶段教学的应用性和重要性，在不断变化的实际生活情境问题培育学生的数学思维.

一、创新性思维概述

创新性思维是指人们能够在已学过的知识和积累的经验基础上发现新问题，找到问题之间潜在的联系，能够从新的角度和方位分析问题，能运用新的方法解决问题，并且能创造新的解决问题的策略，进而更有效地解决问题.思维的灵活性与创新性也会随着学习者个体的发展而不断提高.

在一线教学中培养学生创新性思维和能力，需要教师具备创新精神和创新思维.教师需要有丰富的知识储备，有着扎实的数学功底.发现和找出问题之间的内在关联和本质[1]，在把握概念或知识的内涵与外延上另辟蹊径，用另外一种方法重现解题过程，或者用数学中类比思维探究相近的命题形式是否合理，能否进行推广和拓展.教师可引导学生通过归纳总结出新的观点和见解,不断提高自身，并根据学生的知识水平和接受程度，使得课程设计更有整合性和创新性，从而有计划性和目的性地去教授学生.

二、数学建模案例探究

数学是主观与客观相互结合的学科，数学模型本就存在于世界之中，一次函数模型用来描述匀速直线运动，二次函数模型用来描述抛物轨迹，反比例函数模型用来描述两个数互为倒数的情况，此外椭圆方程、抛物线方程、双曲线方程等都含有它们各自的几何含义.数学模型的学习，一方面是为了培育学生的数学学科核心素养，更重要的一方面是使数学生活化，让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思想理解世界，用数学的方法解决生活实际问题.

函数是高中阶段必不可少的学习的主线之一，函数与方程思想也是高中阶段数学学习的重要思想方法.数学建模活动因函数知识的应用而变得更加多元化.[2]从古至今人们对事物发展规律的认识，都是通过对事物的原型加以抽象而得出的.因此生活中的很多现象都可以借助函数模型加以描述.然而，在函数为主轴的数学教学中，数学建模问题并不等同于函数问题，数学建模中还蕴含着一部分函数无法刻画的模型.例如大气方程模型、导弹轨迹模型等.从数学普遍意义上来说，模型化的常规问题更符合数学的本质.建模的意义是使学生更有创新性思维和逻辑性思维，让学生把数学问题和实际问题有机地结合在一起，利用数学知识这一工具有效地分析和灵活地处理问题，培养学生运用建模思想和方法处理问题的能力.[3]下面以生长规律为例描述建模的过程：

图1 创新思维引领的模型教学过程

2.1 创设问题情境

高中数学建模落地行之有效的方式就是数学学科活动，在活动中教师要创设恰当的情境，可以是生活情境、科学情境、数学史情境等.例如探究生物生长规律问题，在实际教学环节中，教师创设的是生活问题情境，即生活中儿童身高的生长问题.结合卫计委发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》(表1)进行数学建模活动.

表1 2009年中国7岁以下儿童生长发育参照标准表

从表1中可以看出，2009年中国7岁以下儿童身高的增长速度呈现先快后慢的增长趋势.这种增减速度产生变化的模型不等同于一次函数模型的线性增长，教师在教学时要引导学生进行区分辨别.

再例如，农业科学研究者在研究某地区玉米在不同生长阶段，植株高度的变化特征及其趋势时，通过观察、测量、统计进而得到了表2数据.

表2 某地区玉米植株高度与生长关系表

从具体的数据中我们可以看出，玉米植株高度的变化，具有先慢后快，然后又变慢的增长规律.

通过对以上两组数据的分析，我们发现生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度，选择合适的函数表达式描述两个变量之间的对应关系，能够解决很多实际问题.

2.2 假设化简,模型确立

根据生长规律问题的特征及其目的，得知要描述的生长规律，实际上就是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，儿童的身高将怎样变化；随着生长阶段的不同，植株高度会怎样变化等.

教师要帮助学生建立完整的函数概念，不仅要让学生学会如何应用函数求解数学问题，更重要的是让学生能够用函数的模型思想解决实际问题.但大多数中学生对函数的理解仅仅停留在抽象的数学问题上，例如，求函数的定义域、值域、极值、最值、判断函数单调性和奇偶性等.实际上的函数模型要引导学生逐步使用函数描述客观世界事物.教师在课堂上引入具体的数学模型对中学生进行教学，有利于学生理解和应用函数的思想方法.

对以上两个例子我们可以借助函数y=f(x)来描述生长规律.

因为就生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y=f(x)在指定的范围内应该是增函数，又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y=f(x)不能是一次函数.

为了简单起见，可以假设函数的变量x，y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值).

当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式.

类似地，对于玉米植株高度来说，因为增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快，而我们熟悉的函数中，只有指数函数y=aex(a>1)具有这种性质，因此生长规律可用h(x)=aebx来描述.

2.3 确定参数,计算求解

例如，如果选择的是g(0)=49.7与g(4)=103.1，则有

类似地，也可选择表2数据中的两对对应值来确定函数h(x)=aebx中的a,b.

例如，如果选择的是h(2)=1.75与h(8)=97.46，则有

由此可解得a≈0.458，b≈0.670,所以h(x)=0.458e0.670x.

2.4 模型检验

最后分析模型结果.因为在求解时，我们只用到了部分已有的数据，因此可以利用其他数据来检验所建立的模型的优劣.

图2 函数模型检验图

对于玉米植株高度函数h(x)=0.458e0.670x来说，可以得出函数在前面7个阶段内，h(x)的函数值与实际值之间的误差不大.

三、数学建模教学要求

数学建模首先需要学生具备一定的知识储备，其次学生要善于发现问题，[4]要有一定的数学逻辑思维和清晰的解题思路，再次需要学生分析问题，与所学知识建立联系，最后学生要学会运用函数模型及其函数知识等的应用来解决实际问题.学生通过对高中数学建模活动的学习，能够拓展数学眼光，发展数学应用意识.紧密联系生活实际解决问题，感悟数学知识在实际生产生活中的密切联系，[5]能更好让实际问题与数学知识和数学建模的思想方法产生联系，培养自身应用数学建模思维能力.

3.1 对教师的要求

想要培养和提高学生数学建模能力，最重要的是一线教师对数学建模相关的内容有深入的了解，并能跟随时代的步伐，恰当巧妙地运用信息技术手段呈现数学模型.这就对教师的教学提出了相应的要求：

首先，因时而异：教师在教授学生建模思想和方法时，需要根据学生目前知识储备、学习兴趣、接受程度等各种因素进行全方位、多角度的考量.

其次，因人而异：教师需要对所教授的内容进行有目的、有针对性、有可行性的筛选和排列组合，既要满足学生的需求，激发学生的兴趣，引起学生的关注，还要符合教学的培养目标和提升学生的综合素质了.

再次，因势利导：教师在教学过程中应遵循循序渐进、由浅入深的策略，切不可操之过急，避免引起学生的反感情绪，要科学开展，合理实施.

最后，在明确教学目标的基础上将理论和实际相联系.比如在学习“函数模型和应用”这一知识点时，我们根据学科特点、课程特点以及学生学习情况，引入现实生活中儿童生长规律和玉米植株生长的现象，再与教材内容相结合，引导学生建立数学模型进行探究，帮助学生加深对函数模型和函数知识的理解和应用.这样既能培养学生的创新性思维，使其思维得到拓展，又能帮助学生全面理解和把握数学建模的思想和方法，从而使学生数学建模的能力得到全面有效的提升.[6]

3.2 对学生的要求

在参与数学建模活动后，教师应启发学生利用数学建模活动中学习到的知识发现问题、思考问题、解决问题.而解决问题的关键之处在于学生是否对模型产生内化的理解，产生对该类模型的感悟，才能抓住模型的本质，从而将该模型应用于实际生活当中.而在这一应用过程中，就要求学生从理解的角度对模型进行记忆，把握其本质内涵，善于联想，将模型依托于生活实际，这样才能发挥数学建模提升学生自学能力的作用，使学生用自己独特的语言理解数学.

四、数学建模教学启示

创新性思维的发展离不开数学建模活动的帮助.笔者在课堂开展一线数学建模活动后，发现数学建模活动在一线教学中的价值与帮助，并希望创新性思维能够促进数学建模活动课程在一线教学中的有效运用.

4.1 数学建模激发学生兴趣

数学建模活动在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，提升学生探索数学知识的热情.任何学科想要发展学生的学科能力和素养，[7]都离不开学生个体本身对该学科的热情与兴趣.而数学建模活动正是非常好的契机，利用数学建模活动可以让学生们领会到数学课堂与众不同的一面，教学中可以利用计算机软件进行模型拟合，提前让学生接触一些数学类软件.利用理工科的培养方式，让学生经历猜想、感知、操作、建模的活动过程，可以使学生经历整个活动过程后能够学有所思，学有所悟.

4.2 数学建模促进学生思维

在一线教学过程中笔者发现，数学建模也有利于促进学生的思维发展.传统的课堂教学模式是讲授法，多以教师的讲解为主，学习者被动地接受.而在数学建模活动课程中，学生们随着建模活动的不断进行，在活动中会不断产生新的思考，这也不断地刺激着学生的自我思维.学生思考模型和实际之间的区别，有利于其不断地分析问题，解决问题，不断促进思维活动.一部分数学模型比教师的提问或引导的效果更能直接有效地促进学生思维活动.

4.3 数学建模发展学生自学能力

数学建模活动课堂能发展学生的自学能力.和传统的数学课堂教学方式相比较，数学建模活动课堂充分体现了过程性评价的评价理念，更加注重学生的发展.这样的建模活动落实了学生的主体地位，彰显了以学习者自身发展为导向的目标.[8]学生们在建模过程中的应用、尝试，都能有效地发挥数学教学活动的发展性，都能够有效锻炼学生的自主学习能力，促进学生数学学习能力的提升.学生在尝试建模活动中，[9]不断试错不断反思，也有助于学生的学习效率和质量的提升.

4.4 数学建模培育学生创新性思维

许多学生在题海战术过后，产生了严重的思维定式，缺乏思维的创新性.而在数学建模活动中，通过对同一类问题的不同模型的建构，可以有效地拓展学生的思路与视野，让学生以不同的角度思考问题，学生的思路打开了，才能谈问题解决的创新性.学生的空间想象能力、总结归纳能力尚有不足，但是在数学建模活动中，通过动态化、直观化的呈现，可以有效地弥补学生学习能力和经验方面的不足，从学生的基础进行发展，以达到培育学生创新性思维的目标.

结束语

以上就是笔者对数学建模活动在一线教学中的运用策略的探讨.简要来说，数学建模活动对高中阶段的数学学习中有着重要的意义和价值，对学生数学学科能力的发展存在正相关.高中阶段的数学教师，也应当开发教材中的数学模型，促使数学建模思想在课堂中有效融入，切实提高课堂教学效率.