高中数学现象教学的内涵及其实践策略

2022-01-27◎曹彬

数学学习与研究 2021年35期

◎曹彬

(贵州省黔西第一中学，贵州毕节 551500)

前言

一条鱼从来没有离开过生长的河流，一只青蛙给这条鱼描述它在岸上看见的牛的样子.青蛙说：“牛有两只角，有鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵，还有四条腿和一条长长的尾巴.”于是鱼的脑袋里浮现出身上长有角、鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵、腿和尾巴的“鱼”的样子.目前，很多教师和学生在不辞辛劳地扮演着青蛙和鱼，青蛙不可谓不辛苦，要给鱼讲清楚牛的角、鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵、腿和尾巴的样子并不轻松，但最终结果却是鱼极有可能被贴上“愚笨的鱼”的标签.

看到前不久闯入云南玉溪大街上横冲直撞的庞然大物的照片时，我们的第一反应是它是大象.回想“盲人摸象”的故事，在摸大象的六个盲人中，如果前五个盲人将他们摸到的东西分别描述出来，那么第六个盲人会得到正确的大象模样吗？显然不会，这就是现象的重要性，充分体现了“看得见”比“摸得着”“闻得到”“听得见”等更能让学习者建立准确的模型，正如我们经常听到的“百闻不如一见”.

然而，我们应该清楚现象不等于事实.比如，当我们看到黄昏时太阳摇摇欲坠的现象，常常说：“太阳要落山了.”很久以来，大家都是这样说的，并没有人对这一说法提出过质疑.但这样的结论并不是真正的事实，这是以“地心说”得出的结论，真正的事实是“地球自转使观察者背离太阳了”.因此，光有现象不行，还要有合理的解释，“解释”就是平时大家说的“知识”，解释既可以是教师给出的，也可以是学生自主发现的，有了合理的解释才能让现象成为事实，所以“事实=现象+解释”[1].在教学中，“现象+解释”就是现象教学，现象教学的目的就是让学生发现更多更合理的解释，直至自主解释.将一个懵懂无知的学生转化成能自主解释的学生是一个漫长的过程，这也是实施教学的目的.

一个教师来到偏远的山村学校任教，这里的孩子从来没有出过村，教师讲述的外面的精彩世界令他们心驰神往，他们将教师奉若神明，但他们仅仅只能复述教师讲过的精彩，对于其他的还是一无所知.这位教师做到了知识传授，他用的是讲授法.有一天，一个学生在教师的带领下到城市去玩，这一天，他真正触摸到了外面的世界，还体验了教师不曾讲过的精彩.在他的鼓励下，更多的孩子走出山村，这就是现象教学.2016年，芬兰推行现象教学，芬兰的现象教学更接近于目前国内流行的项目式、大概念、大单元教学，引起全球对现象教学的关注[2].

在每个人的周围，现象比比皆是，但每个现象都会带有多个角度的属性，而数学现象就是从现象中排除其他属性，单独留下数学属性的结果.例如，看到篮球照片，体育老师会从中得出这是一项运动，做这项运动会有哪些规则等方面的体育现象；物理老师会得出这个物体有多重，需要用多大的力才能将它抛到更远的地方等方面的物理现象；化学老师会指出这个东西的材料是什么，制作它需要哪些工序等方面的化学现象；而数学老师则会得到这是一个球体，半径多大，体积多大，表面积多大等方面的数学现象.事实上，只有将多重属性融合在一起，才能形成一个完整的现象.数学现象教学的开端就是对现象的数学属性作出解释.

然而，对某个现象的数学属性作出不同的解释，就会让学生得到不同的数学知识，或者抽象出不同的数学概念.例如，对于“y=x”，如果教师说：“方程y=x.”那么学生会得到这是一个二元方程；如果教师说：“函数y=x.”那么学生的第一反应是这是一次函数；如果教师说：“直线y=x.”那么学生马上反应到它是第一、三象限的角平分线，倾斜角为45°，在y轴上的截距是0等.所以，数学现象教学就是教师对某个现象的数学属性作出准确的解释，让学生抽象出相应的数学概念，获得相应的数学知识与技能，并形成数学素养的教学方法.数学现象教学的基本流程如下：

一、对高中数学现象教学的理解

2020年修订的《普通高中数学课程标准》指出数学课程应引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界[3].用数学眼光观察到的现象就是数学现象，那么用数学思维思考现象、用数学语言表达现象的教学就是数学现象教学.目前，人们认为的现象教学有项目化教学、大概念教学、情境教学和活动化教学四种倾向.

1.项目化教学倾向

2.大概念教学倾向

一个教学基本单元被称为一个基本概念，多个相似相融的基本概念组合成一个大概念，事实上，这里的基本概念就是大概念体系中的一个数学现象，教学过程就是由数学现象抽象出基本概念的过程.例如，教学“指数函数的图象与性质”时，教师要将其放入函数的图象与性质层面来研究.指数函数仅仅是所有函数中特殊的数学现象，教学内容要按照解析式、定义域、图象、值域、图象上的特殊点、单调性、奇偶性的顺序来研究，所以，基于大概念教学的现象教学注重基本概念的相似相融，强调教学行为的一致性.

3.情境教学倾向

情境教学是指创设教学情境，引导学生“嵌入”情境中，使其在情感上得到切身体验，并带着情感体验进入学习中.情境是一种数学现象，所以情境教学也是现象教学的一种方式.当然，情境教学与现象教学略有区别，情境教学强调情感体验，而现象教学强调现象与解释的循环[4].例如，在教学“平面向量的加法”时，教师可以设计“船的航向垂直于水流方向，船如何航行”的情境，学生则会结合自身经历，得到“船的实际航行方向不垂直于水流方向，而是与水流方向有一定的夹角，而且船的实际速度也比船速要大”的结论，这就是情境教学.如果给出具体的现象：已知船在静水中的速度为6 km/h，水流速度为3 km/h.如果船的航向垂直于水流方向，则船的实际速度是多少？这是一个精准的现象，学生不仅能得到情感体验，还能根据现象思考船的实际速度大小与方向的问题，进而发现向量加法的“平行四边形法则”，这就是现象教学.

4.活动化教学倾向

活动化教学是指以学生探究为主，开展学生主体活动或实验，根据活动或实验的结果展开教学.其中，活动或实验的过程和结果都是数学现象，所以活动化教学是现象教学的一种方式.例如，在教学“两个平面平行的性质”时，教师可以设计“已知一个面内的一条线，在与这个平面平行的平面内作一条与该直线平行的直线”的活动，引导学生思考这条直线的作法，进一步得出两个平面平行的性质定理.再如，在教学“椭圆及其标准方程”时，教师可以通过几何画板展示画椭圆的过程，使学生理解椭圆的定义.

然而，这些理解都不是数学现象教学的全部.数学现象教学是从原始状态的事实开始，用数学的观点进行解析、抽象、重构，划归为数学问题再进入数学活动的教学[5].简而言之，数学现象教学就是基于数学现象的教学，这里的原始状态的事实就是数学现象.

二、数学现象的分类

1.生活中的数学现象

生活中有许多现象可以提取出数学属性，这样的现象被称为数学现象.教师在教学过程中，要将学生真实的生活经历建成数学模型，产生数学现象，并将数学现象与数学概念相结合，让抽象问题现象化，进而激发学生的学习兴趣.例如，向日葵的种子从里向外排成美丽的螺线形状，且从里向外每一圈的种子数形成斐波那契数列；工人师傅使用线锤检测墙面是否与地面垂直等.

2.实验中的数学现象

数学实验即利用信息技术辅助，对某些问题进行实验探究，也可以利用一些器材，设计数学实验，演示实验结果，实验现象就是一种数学现象，并根据现象生成数学概念.例如，通过单摆演示正弦曲线，如果不通过实验展示，那么学生很难准确把握正弦曲线的形状，甚至有的学生会错误地画成折线.另外，数学实验可以集中学生注意力，使其有效地进行学习.当然，数学实验也可以借助信息技术，如上述实验若实际操作既不容易找到实验器材，又浪费时间，还不一定会得到理想的效果，但使用现成的实验视频进行演示，那么实验现象会更明显.

3.活动中的数学现象

数学活动过程中随时都能提取出数学现象.苏霍姆林斯基提倡将知识与积极的活动紧密联系在一起，这种“数学+活动”的教学形式逐渐被人们所重视，活动的过程和结果都是数学现象.数学活动中，活动是形式，数学思维是核心，因此，越来越多的教师更愿意让学生动手操作，让学生在活动中感受到愉悦、轻松、快活，体验“做中学”“学中做”，最终达到“教、学、做合一”的要求[1].例如，在教学“正态分布”时，教师常采用“高尔顿钉板实验”引入正态分布曲线，学生对高尔顿钉板很感兴趣，纷纷猜测其原理是什么，甚至质疑小球由于重力原因，应该优先落在最中间的球槽中.此时，教师可以设计“制作高尔顿钉板模型并观察实验效果”活动，活动过程中，学生的积极性很高，他们制作的模型比较精美，并根据现象理解了正态分布是客观存在的，更理解了“偶然中蕴含必然”的哲学观点.

4.信息技术辅助下的数学现象

信息技术辅助教学打破了传统教学的单一性知识传授方式，集文字、声音、图象和动画的优点，特别是信息技术辅助教学能实现教学内容的开放，使教学情境更加生动逼真，进而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性.应用信息技术展示的结果经过提取数学属性就是数学现象.几何画板是数学教学中常用的信息技术软件，在新授课、复习课、习题课等课型中都有应用，例如，在类似于“是否存在某个点，使得某个结论成立？若存在，求出该点的位置；若不存在，说明理由”结构的探究题中，借助几何画板绘制满足条件的图象，拖动点的位置，能确定符合条件的点是否存在，进而帮助学生发现解题思路.

5.数学史蕴含的数学现象

数学史本身就是数学现象，德国生物学家海克尔说过：“个体成长重演种族发展史.”知识是学生探究新世界的工具，教育的目的是让学生学会思考，而数学史则可以让学生快速成长，避免其走入前人所走的弯路.例如，函数的概念历经三百多年，通过多个数学家的努力，才从早期的几何观念下的定义发展到集合定义，这一探索历程能够促进学生更好地把握函数定义.

三、现象教学实践策略

1.从现象到概念

从现象到概念，体现了“透过现象看本质”的哲学观点，这也是现象教学乃至数学教学的重要目的.从数学现象中抽象出概念，需要对现象中的信息进行筛选，排除干扰信息，留下有用信息，通过这些有用信息的组合抽象出概念.例如，在教学“空间中两条直线的位置关系”时，教师可以选择学生生活中常见的现象“道路”作为素材，进一步描述道路的相关属性从而得到空间中直线位置关系的概念，即将“道路”这个现象进行数学化使其成为数学现象.如果给“道路”赋予社会属性，那么可能得到“它是石头、水泥、沥青铺成的”等结论.观察平直的道路，道路的两侧所在直线有什么位置关系？这里取平直的道路，又取道路的两侧，学生由此抽象出两条直线平行的概念.桥上汽车行驶的道路和桥下轮船行驶的道路所在的直线有什么位置关系？学生由此能得出异面直线的概念.

2.从现象到问题

数学教育的目的是培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，而最基本的就是要培养学生的问题意识，展示现象的目的是引起学生的思考，使其提出问题，并解决问题.其实，高中生提问题的现象普遍存在，只是所提问题的深度有区别，如何设计并展示合理的现象让学生提出深层次问题，是数学教师应该重点思考的问题.例如，在一次公开课活动中，课题是“椭圆及其标准方程”，教师在第一次磨课中，展示了一些生活中的物体，如天体的运行轨迹、油罐车罐体的轮廓、国家体育馆的轮廓等，并告诉学生：“看，这些都是椭圆！”希望学生通过观察这些物体就能画出椭圆，然而事与愿违，学生画出来的椭圆千奇百怪.在进一步的打磨中，教师增加了用细绳画椭圆的数学实验，效果比第一次磨课要好.究其原因，两次磨课中，教师给学生展示了现象，但学生提出的问题却不同.第一次磨课中，学生看了那些生活中的物体后，提出的问题极有可能是“这些东西是椭圆吗”，而第二次磨课中，学生动手画椭圆后，提出的问题是“椭圆满足什么条件”，显然，后者更具有探究性.

3.从现象到思想

数学现象中蕴含着数学思想，从现象中总结出思想也是一种常见方式.例如，在教学“排列”时，为了让学生理解排列和排列数的概念，教师可以列举4个元素，要求学生写出从中抽取2个元素的所有排列，再列举5个元素，要求学生写出从中任取3个元素的所有排列，学生写出的结果就是现象，如果结果正确，那么可以认为学生已经理解排列，并能根据现象归纳排列数公式，从现象中感受枚举思想、归纳推理思想.再如，2018年全国高考数学Ⅲ卷理科第21题第(2)问，解答过程需将原函数变形，并在x=0处多次求导，学生感觉很复杂，但画出函数的图象(现象)辅助理解，则会降低解题难度，这就是数形结合思想.

4.从现象到思路

数学的魅力在于思维，数学题的解答过程就是思维的展现过程.如果遇到思维层次较高的解题过程，那么学生可能会问：“怎么想到的？”这需要教师设置学生能接受的数学现象，辅助学生找到解题思路.例如计算Sn=1+q+q2+…+qn-1(其中q≠0，n∈N*)的思路是先乘q，再两式相减.这是教材上给出的方法，对此，学生容易产生疑惑：“怎么想到的？”这时候教师就需要给学生呈现数学现象：“这是一个多项式，多项式的运算包括合并同类项.上面的式子中有同类项吗？怎样才能配出同类项？”这个数学现象引发的思路是可以乘q，也可以除以q，甚至还可以乘q2，从一个现象中可以得出多个思路.