浅析高等代数线性相关性定理的教学

◎张孝金

(江苏师范大学数学与统计学院，江苏 徐州 221116)

一、引 言

高等代数是数学类专业的基础课程，对于数学专业人才的培养具有非常重要的作用.线性相关性是贯串高等代数的重要的知识点和工具，它在学生后续的知识点如线性空间、线性变换以及欧氏空间的学习过程中起着非常重要的作用，但这一部分内容的概念多、性质多且内容较为抽象.因此，传统的教学手段很难帮助学生完全理解这部分内容，那么如何改善这一环节的教学质量呢？一方面，在线性相关性的教学中融入贴近学生生活的元素.另一方面，当前国际形势复杂多变，对于高校而言，如何保证所培养的人才为社会主义服务是一个十分重要又异常严峻的课题.这就要求我们在专业课的教学中融入课程思政.因此，如何在高等代数教学中融入课程思政是很多高等代数任课教师非常关心的问题.但是，目前对于高等代数课程融入课程思政的研究比较少.因此，在线性相关性的教学过程中融入课程思政是非常有必要的.

本文将研究在线性相关性的教学环节应注意的细节及其蕴含的思政元素.这能让更多的数学类专业的学生在轻松学习专业知识的同时，明白其所蕴含的人生哲理，从而成长为对国家和社会有用的数学专业人才.

本文共分为四部分，第一部分为引言；第二部分介绍本文所涉及的基本数学知识，主要包括基本概念和重要定理以及教学设计；第三部分介绍线性相关性定义和定理所蕴含的思政元素，这有助于培养学生的家国情怀；第四部分为结论与展望.

二、基本概念和定理

为了研究线性相关性的教学与其蕴含的思政元素，我们首先回顾高等代数中有关线性相关性的基本定义、概念和定理.

定义2.1设V是一个非空集合，在V上定义两种代数运算“+”，“k·” 其中k是数域P中的元素.我们称V构成一个线性空间，如果它满足以下几点：

∀a,b,c∈V，∀k,l∈P.

(1)a+b=b+a.

(2)(a+b)+c=a+(b+c).

(3)∃0∈V，0+a=a.

(4)∀a∈V，∃-a∈V，-a+a=0.

(5)1a=a.

(6)(kl)a=k(la).

(7)(k+l)a=ka+la.

(8)k(a+b)=ka+kb.

这些运算可以分为3类.第一类为“加法”：本质上是一个阿贝尔加群；第二类为“数乘”，即单位元和加的结合律；第三类为“数乘”与“加法”的分配律.

相对于向量空间而言，线性空间的概念更加抽象.因此，要学好线性空间理论，就应该记下一些具体的线性空间的例子.常见的线性空间的例子有：实数域上的n维向量空间Rn，数域P上次数小于n的多项式空间P[x]n以及实数域上所有的n阶矩阵的空间Rn×n等.

假设V是数域P上的线性空间.下面我们给出线性相关和线性无关的概念.

定义2.2设a1,a2,…,at∈V，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,kt∈P，使得k1a1+k2a2+…+ktat=0，那么我们称a1,a2,…,at∈V线性相关.否则我们称a1,a2,…,at∈V线性无关.

注意到定义2.2中的线性无关的定义不是特别清楚，因此我们利用方程组的解的情况给出以下定义.

定义2.3设a1,a2,…,at∈V且有k1,k2,…,kt∈P使得k1a1+k2a2+…+ktat=0(*).

如果(*)有非零解，那么我们称a1,a2,…,at∈V线性相关；如果(*)只有零解，那么我们称a1,a2,…,at∈V线性无关.

对于此部分，学生应该掌握利用线性相关和线性无关的定义来证明元素是否线性无关.下面给出一道例题.

例2.1设C[0,1]为实数域上光滑的函数构成的线性空间.求证：cosx,ex,x2线性无关.

证明：设存在实数k1,k2,k3使得：

k1cosx+k2ex+k32x=0…(1).

因为函数cosx,e2,x2都可导，

因此对(1)式两端求导可得：

-k1sinx+k2ex+2k3=0…(2)，

再对(2)式两端求导可得：

-k1cosx+k2ex=0…(3).

取x=0，可得k1=k2=k3=0，

因此cosx,e2,x2线性无关.

为了刻画线性相关，我们需要引进线性表出的概念.

定义2.4设a1,a2,…,at,b∈V，如果存在k1,k2,…,kt∈P使得b=k1a1+k2a2+…+ktat，那么我们称b可由a1,a2,…,at线性表出.此时，a1,a2,…,at,b∈V线性相关.

且x+2=1x+2×1.

结合上面的定义和例子可知线性表出和线性相关有着密切的关系.

命题2.1a1,a2,…,at∈V线性相关当且仅当存在ai使得ai可由a1,a2,…,ai-1,ai+1,…,at∈V线性表出.

证明：必要性：因为a1,a2,…,at∈V线性相关，

所以存在数域P中的不全为零的数k1,k2,…,kt，使得k1a1+k2a2+…+ktat=0.

充分性：因为ai=k1a1+k2a2+…+ki-1ai-1+ki+1ai+1+…+ktat，所以k1a1+k2a2+…+ki-1ai-1-ai+ki+1ai+1+…+ktat=0，

因此a1,a2,…,at∈V线性相关.

下面我们给出线性空间中两组元素等价的定义.

定义2.5设a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.如果对于任意的ai(1≤i≤t)都可以由b1,b2,…,bs线性表出，那么我们称a1,a2,…,at∈V可由b1,b2,…,bs∈V线性表出.特别地，a1,a2,…,at∈V和b1,b2,…,bs∈V可以互相线性表出.

为了给出本章的主要定理，我们还需要以下的定义.

定义2.6我们称a1,a2,…,at∈V的部分组ai1,ai2,…,air∈V为a1,a2,…,at∈V的极大无关组，如果：

(1)ai1,ai2,…,air∈V线性无关；

(2)对于任意的ai，有ai,ai1,ai2,…,air线性相关.

在空间P[x]n中1,x,2+x的一个极大无关组为1,x.

由上面的定义我们可以得到：

命题2.2设a1,a2,…,at∈V，则其极大无关组ai1,ai2,…,air等价于a1,a2,…,at.

为了给出本节的主要定理，我们需要以下引理.

中，若s

下面给出向量线性相关性的主要定理.

定理2.1设a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.如果向量组a1,a2,…,at可由b1,b2,…,bs线性表出且s

由上面的定理，我们可以得到以下推论.

推论2.1设a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若a1,a2,…,at∈V线性无关且可由b1,b2,…,bs∈V线性表出，则必有t≤s.

证明：(反证法)假设t>s，则由定理 2.1可知a1,a2,…,at∈V线性相关，矛盾，故t≤s.

推论2.2设a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若它们线性无关且相互等价，则t=s.

证明：利用推论2.1可以直接得出结论.

由推论2.2可知一个向量组的两个极大无关组中所含向量的个数是相等的.因此，称一个向量组的极大无关组中向量的个数r为该向量组的秩.

推论2.3设a1,a2,…,at∈V且b1,b2,…,bs∈V.若它们等价，则它们的秩相同.

证明：取两向量组的极大无关组，利用推论2.2可得结论.

三、线性相关性与思政

在这一部分中，我们研究线性相关性所蕴含的思政元素.一方面，这有助于学生更好地理解定理的内容；另一方面，这有助于培养具有家国情怀的、积极向上的、符合社会主义事业发展的数学专业人才.

从线性空间的定义中，我们可以看出“+”,“k·”的互相配合、互相成就构成了现代数学中重要的工具——线性空间.这就要求学生要具有集体主义精神，能够互相配合、互相成就，共建优秀的团队.从线性相关和线性无关的定义中，我们可以看出线性空间中的一组元素不是线性相关就是线性无关.这就要求学生要爱憎分明，坚定地维护国家安全与社会的安定团结，坚决与一切损害国家安全和社会安定团结的一切行为进行斗争.

从极大无关组的定义中，我们可以看出极大无关组是向量组中最基本的性质，它决定了向量组性质.这就要求学生要透过现象去追求事物的本质，通过学习专业知识，武装自己，从而为社会的发展而服务.线性相关性定理(定理2.1)告诉我们，如果一组向量可以由更少的向量线性表出，那么这组向量中必有一个向量可以由其余的向量线性表出.也就是说，这个向量在所在的向量组中的作用可以由其余元素所代替.这就要求学生必须积极上进，努力学习专业技术知识，提高道德修养，拒绝“躺平”，只有这样，才能够跟上时代的发展，成为对国家、社会和家庭有用的人.同时，线性相关性定理给出了许多应用(推论2.1-2.3)，这又从另一方面验证了线性相关性定理的重要性.这也要求学生要以国家和社会的需求为导向，提高自己的专业技能，从而解决社会发展的难题.

线性相关性定理这一部分内容的结论较多，也很抽象.如果教师直接讲授知识点，那么很可能会导致学生记不住也不能理解这些知识.引入了上述的思政解释后，枯燥的数学证明就有了社会和生活的气息，这样可以使得学生更容易地接受知识.同时，将爱国情怀和积极向上的精神融入专业课的教学过程中，不仅加强了学生的爱国主义教育，也培养了学生积极向上的精神.这对于在当前复杂的社会形式下培养符合社会主义事业发展的数学专业人才有着重要的意义.

四、结论与展望

线性相关性是高等代数中十分重要的内容，但内容抽象，不易理解.本文给出了线性相关性教学中应该注意的细节，同时在教学的过程中融入了课程思政，使得教学内容更加的生动，贴近学生的生活，这有助于学生的理解.另外，在课程思政的潜移默化作用下，学生能够积极进取，培养爱国主义精神，这有助于将学生培养成社会主义事业的接班人.

当前的国际形势复杂多变，很多敌对势力煽动和制造了很多对我国不利的事端，其中就包括香港事件和新疆棉花事件.新时代的学生普遍具有较强的接受能力，也有较广的接受信息的渠道.一方面，各种信息良莠不齐，需要学生具有分辨是非的能力.另一方面，注重享受和娱乐至上的社会不良风气，导致学生不能专注于专业技能的学习.因此在数学专业课程的教学中融入思政元素是非常有必要的.此外，高等代数知识相对抽象，数学语言平淡无奇，很难引起学生的注意力，这就需要教师在教学的过程中引入贴近学生生活的思政元素，增加教学内容的生动性，从而提高学生学习的主动性.因此，在线性相关性教学的过程中引入思政元素是必要的，也是可行的.这有助于培养积极向上的、具有家国精神的、符合社会发展的数学专业人才.