基于区间二型犹豫熵与风险偏好的多属性决策方法

吴 涛，李燕飞，郭海艳

(1.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601;2.安徽大学 计算机智能与信号处理教育部重点实验室，安徽 合肥 230039)

随着人类对客观世界认识的不断加深，传统的清晰集合已经难以处理复杂情境下决策活动中的不确定性问题.1965年，Zadeh提出的模糊集[1]在一定程度上解决了这个问题，随后他又在模糊集的基础上对其隶属度再次进行模糊化，提出了二型模糊集[2]概念，之后模糊集蓬勃发展，一大批学者先后进行探索，直觉模糊集[3]、区间直觉模糊集[4]、犹豫模糊集[5-6]等相继被提出.文献[7]提出并定义了区间二型模糊集质心的概念.文献[8]定义了基数、模糊性、方差和偏态4个不确定度量并推导了它们的计算公式，这些定义的提出对于量化不确定信息非常重要.文献[9]提出了3种区间二型模糊集排序值公式，通过排序值比较模糊数的优势关系.文献[10]中首次提出了模糊熵的概念，此后直觉模糊熵[11]和犹豫模糊熵[12]逐渐得到推广.文献[13-14]提出区间二型模糊集的区间因子、模糊因子及犹豫因子刻画区间二型模糊集的不确定性，并基于此提出了新的区间二型模糊熵.此外，文献[15]对二型模糊熵的研究对构建新的二型模糊熵提供了重要参考.

在决策过程中，影响决策者决策行为的因素不只有客观的信息，不同的决策者面对同样的信息所作出的决策往往也不尽相同，因此在决策过程中考虑决策者的风险偏好会使决策过程更加合理.论文基于区间二型模糊信息多属性环境，定义了一个新的区间二型模糊集的排序值公式，提出了新的区间二型犹豫熵公式，对传统的熵权法进行了改进，结合风险偏好的熵权法来确定属性权重，最后计算各个待选方案综合排序值进行决策，并用一个实例验证了该方法的合理性与可行性.

1 知识准备

定义1[17](二型模糊集) 假设A是论域X上一个二型模糊集，则A可表示为A={((x,u),μA(x,u)):∀x∈X，u∈JX∈[0,1]}，其中0≤μA(x,u)≤1，u为主隶属度，μA(x,u)为次隶属度.此外A还可以表示为

(1)

定义2[17]假设A是论域X上一个二型模糊集，如果对任意的x∈X和u∈Jx，有Jx≡1，则A为区间二型模糊集，表达形式为

(2)

设A是论域X上一个二型模糊集，定义A=(AU，AL)为X上的区间二型模糊集，有

(3)

定义3[18]对于任意的区间二型梯形模糊集A，A的运动轨迹由其主隶属度函数完全确定，将此运动轨迹定义为A的不确定轨迹FOU(A).令AU(x)和AL(x)分别表示为A在x上的上下隶属度函数，即

(4)

(5)

(6)

(7)

对于X上的所有区间二型梯形模糊集来说，其补集用AC表示，一般表达形式为

(8)

2 区间二型模糊集新型排序值公式

文献[9]中的3种排序值公式，其中几何平均和调和平均公式只要当二型模糊集中有元素为零时排序值就一定为零，显然这是不合理的.文献[16]提出的排序值公式过于依赖上隶属度对应分点的取值，下隶属度只在第二部分平均长度中上下隶属度对应分点值相乘时用到，由于分点取值皆是从0到1的实数，因此对应位置相乘之后平均会得到更小的值，作用远小于第一部分中的上隶属度首末分点平均值，因此也存在缺陷.论文提出的排序值公式则有效地克服了这些缺点.

定义5对于一个区间二型模糊集A，其排序值公式定义为

(9)

从公式中可以看出，该排序值有3个部分：第一部分考虑了上隶属度的算数平均取值，第二部分考虑了下隶属度的平均大小，第三部分则是考虑了模糊集的平均高度.

定理1A∈IT2FSs,R(A)→[0,2]，且R(A)随A中变量增大而增大，随A中变量减小而减小.

定义6假设A，B是2个区间二型模糊集，论文定义偏好关系{p,f,≌}表示A劣于、优于或者等同于B,即APB表示偏好关系R(A)

(1)如果R(A)

(2)如果R(A)>R(B)，即表示A优于B,用A≻B表示.

(3)如果R(A)=R(B),即表示A等同于B,用A≅B表示.

3 区间二型模糊熵

设区间二型模糊集A，按照区间二型模糊集的结构特征，可以看出区间二型模糊集的不确定性主要是由其模糊性和犹豫性两个方面构成，其定量表示可由信息熵来刻画，取上隶属度以外部分的面积为上模糊因子，用ΔU表示；下隶属度以内部分的面积为下模糊因子，用ΔL表示；上下隶属度之间的部分面积为犹豫因子，用σ表示.下面给出区间梯形二型模糊集的各因子求解(区间二型模糊集同理)，如图1所示.

图1 梯形区间二型模糊集

定义7上模糊因子ΔU为

(10)

定义8下模糊因子ΔL为

(11)

定义9犹豫因子σ为

(12)

熵的上下模糊因子越接近1/2,区间二型模糊集模糊性越大，熵的犹豫因子越大，区间二型模糊集模糊性应该越大.

定义10设A∈IT2FSs，实函数E:IT2FSs→[0,1]，则A的区间二型犹豫熵定义为

(13)

设A∈IT2FSs，A的犹豫熵为E(A)，则E(A)满足以下公理：

(4)E(A)=E(AC).

(14)

(15)

公理(3).公理(3)的证明等价于证明下面的函数

(16)

4 风险偏好函数、结合风险偏好的熵权法及决策步骤

在决策过程中，决策者会面临诸多不确定因素，而这些不确定因素既可能带来收益也可能带来风险，所以不同的决策者面对这些不确定因素时的态度也不一样.根据决策者的风险态度不同，将决策者的风险偏好分为5个等级，具体风险偏好函数设置如下.

定义11设θ(x)是一个风险偏好函数，则θ(x)可定义为

用θ(x)的不同取值反应决策者不同的风险态度.

经典的熵权法确定属性权重采取的是属性熵值越小赋予其权重越大的方法，而事实上基于熵的权重赋值应与决策者的风险态度有关，传统的熵权法默认决策者为风险规避者，而若决策者为风险偏好者，则传统的熵权法的赋权结果并不合理，因此这里提出了结合风险偏好的熵权法来为属性赋权.第j个属性的区间二型犹豫熵为

(17)

定义12结合风险偏好的熵权法的第j个属性权重赋值公式

(18)

其中：θ代表风险偏好，wj代表给第j个属性所赋的权重.

定理2当θ=1时，属性熵较大者权重较大；θ=0时，熵较小者权重较大.

证明设ej>ek,j,k∈1,2,…，m，有

当θ=1时,wj-wk>0;θ=0时，wj-wk<0.故定理成立.

基于新的排序值公式、新的区间二型犹豫熵并结合风险偏好的熵权法的决策步骤如下：

步骤1 规范化决策矩阵.决策属性分为成本(越小越好)型和效益型(越大越好)，将原始数据规范化处理，使得所有属性均属于同一类型.假设标准化后的决策矩阵为D=(rij)n×m，其中

(19)

步骤2 通过公式(9)计算规范化后决策矩阵的排序值.

步骤3 通过公式(13),(17)计算属性区间二型模糊熵.

步骤4 根据风险偏好的不同，通过公式(18)计算出各属性权重.

步骤5 通过公式score=D×wT计算各方案综合得分，各方案得分按由大至小排序，得分最大者为最优方案.

5 实例分析

某投资公司面对5个待选投资方案xi,i∈{1,2,…,5},选择最优方案进行投资；邀请专家分别从aj,j∈{1,2,…,4}4个方面进行评价，且4个属性均为效益型.评估结果分为7个等级，分别用7种语言尺度表述，分别为“非常低(VL)”“低(L)”“比较低(ML)”“中等(M)”“比较高(MH)”“高(H)”“非常高(VH)”，每个语言尺度对应一个区间二型模糊集(表1)，评估结果见表2.

表1 对应的区间二型模糊集

表2 专家评估结果

下面利用新的排序值公式、新的区间二型犹豫熵并结合风险偏好的熵权法进行决策：

步骤1 由于每个属性均为效益型，故原始矩阵即为规范化矩阵Dij=rij.

步骤2 通过公式(9)计算规范化决策矩阵的排序值

步骤3 通过区间二型犹豫熵公式(13)，(17)计算各属性熵值

e=[0.405 6,0.571 2,0.460 6,0.504 5].

步骤4 通过公式(18)计算出不同风险偏好下各属性对应的权重.图2，3显示了在不同风险偏好θ(x)情况下权重变化情况.

图2 不同风险偏好下属性a1,a3的权重w1,w3 图3 不同风险偏好下属性a2,a4的权重w2,w4

步骤5 计算各方案综合得分score=D×wT，并按得分多少从大到小排序，如表3所示.

表3 不同风险偏好下的排序

根据构建的模型并结合熵公式求得对应的属性权重，利用排序值公式得到最终的综合排序值并对结果从大到小排序.根据表3中的结果，可以看出随着风险偏好值的增加，各属性权重发生了有趋势的变化，且随着风险偏好的变化，方案1，4的排位发生了变化，这说明风险偏好对排序结果也会产生影响，说明该模型的全面性与合理性.

6 结束语

论文针对区间二型模糊信息环境下决策问题提出了新的决策模型，充分考虑了区间二型模糊集的各个部分对排序值的重要性，构建新的排序值公式比较区间二型模糊数的优劣.决策者的主观风险偏好对于决策结果会起到一定影响，而传统的熵权法并未考虑，因此论文构造了考虑风险偏好的熵权法公式为属性权重赋值，最后将排序矩阵结合属性权重得到各方案综合排序值，给出了一种区间二型模糊信息环境下的多属性决策方法.由实例分析可以看出，论文方法合理，在风险投资、金融管理中的股票、黄金、基金理财这些实际决策问题的评估中具有参考价值.