广义单调性与广义凸性*

赵 宇，康兆敏，刘 琳，刘春妍，黄金莹

（佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯 154007）

0 引 言

通过研究函数凸性的梯度刻画，获得梯度向量映射的单调性，反过来可作为函数凸性的有力判据.随着函数凸性的不断推广以及相应的梯度刻画结论的获得，单调映射的概念也不断地被推广并加以研究，这不仅使得广义凸性的刻画更加丰富，同时也极大丰富了优化理论内容 .1976 年，Karamardian［1］提出伪单调性；1990 年，Karamardian和 Schaible［2］提出拟单调性，并给出了伪凸性与伪单调性、拟凸性与拟单调性之间的等价性.以此为开端，国内外学者依托广义凸性的研究，相应演绎出大量的广义单调性概念.2003年，Yang等［3］建立预不变凸函数与一些广义单调性之间的关系；2004 年，Singh 和 Pini［4］建立了G-广义凸性与G-广义单调映射之间的关系；2007 年，彭再云等［5］建立了G-伪凸性与G-伪单调性；2014年，陈乔和罗杰［6］提出了E-伪单调性和E-拟单调性；2016年，杨新民和戎卫东［7］对广义单调性的基础性工作做了较为全面论述.近几年来，广义凸性又有了新的推广.2017年，黄金莹等［8］和赵宇等［9］通过在点集上建立广义凸结构的方法，给出并研究了F凸函数、F拟凸函数.

本文将在以上文献的基础上，结合文献［8-9］的广义凸结构理论，建立相应的F单调映射、F伪单调映射和F拟单调映射概念，进一步研究广义凸性与广义单调性之间的关系.

1 单调映射概念

定义1设非空集合K⊆Rn，向量值函数F：称F是K上的广义凸结构，如果F满足以下4个条件：

（4）F关于λ在[0，1]上连续（λ连续性）.

定义2设F是K⊆Rn上的广义凸结构，且F关于λ在[0，1]上可微，∇：K→ Rn为映射.

（1）称∇是K上的F单调映射，如果对有

（2）称∇是K上的F伪单调映射，如果对x，y∈K且

（3）称∇是K上的F拟单调映射，如果对x，y∈K且

注1约定符号的 含 义 是表示转置.从定义2可以直接得到，F单调映射一定是F伪单调映射，F伪单调映射一定是F拟单调映射.

注 2在定义 2中，特取则

代入式（1）中得，

代入式（2）中得，

代入式（3）中得，

式（4～6）分别是单调映射、伪单调映射和拟单调映射的具体定义.

定义3设非空集合K⊆Rn，向量值函数F：K×K×[0，1]→ Rn是K上的广义凸结构，称K是关于F的凸集，如果

定义4设K⊆Rn是关于F的凸集，实值函数f：K→ R 满足：∀x，y∈K有F(x，y，0)=y，称f是K上的F伪凸函数，如果对∀x，y∈K且f(y)＞f(x)，∃α，τ＞ 0，当λ∈[0，τ]时，有

引理1设K⊆Rn是关于F的开凸集，实值函数f：K→ R 满 足 ：∀x，y∈K有F(x，y，0)=y，f[F(x，y，1)]≤f(x)且F关于λ在 [0，1]上可微，f：K→ R 在K上 可 微 ，∇f：K→ Rn为f的 梯 度 向量，则：

（1）f是K上的F凸函数，当且仅当对∀x，y∈K有

（2）f是K上的F伪凸函数，当且仅当对x，y∈K且时，有

（3）f是K上的F拟凸函数，当且仅当对x，y∈K且

证明 仅证（2）.首先证明必要性.

设x，y∈K且f(y)＞f(x)，由定义4知，∃α，τ＞0，当λ∈ [0，τ]时，有f[F(x，y，λ)]≤f(y)-λα.

由F(x，y，0)=y， 可 将 上 式 变 形 为从而

下面证明充分性.由充分性条件可知，当x，y∈K且

取定α(＞0)使之满足：0，即有

从而∃τ∈(0，1]，使得当λ∈[0，τ]时，有即

注3对于引理1结论（3），可将前提条件

引理2设F是K上的广义凸结构，且其中x，y∈K，u1,u2∈[0，1]，F关于λ在[0，1]上可微，则

2 广义凸性与广义单调性之间的关系

定理1 设K⊆Rn是关于F的开凸集，实值函数f：K→ R 满 足 ：∀x，y∈K有且F关于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，则f是K上的F凸函数，当且仅当∇f是K上的F单调映射.

证明 必要性.由引理1结论（1）知，当f是K上的F凸函数时，对∀x，y∈K有

两式相加即得

所以，∇f是K上的F单调映射.下面利用反证法证充分性.

设∇f是K上的F单调映射，但f不是K上的F凸函数 ，则

就有

由式（7～8）得

将式（9）改写

由引理2计算可得

将式（11～12）代入式（10），得

即

与∇f是K上的F单调映射矛盾.

定理2 设K⊆Rn是关于F的开凸集，实值函数f：K→ R 满 足 ：∀x，y∈K有且F关于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，则f是K上的F伪凸函数，当且仅当∇f是K上的F伪单调映射.

证明 必要性.由引理1结论（2）知，当f是K上的F伪凸函数时，

F伪凸函数是F拟凸函数，由引理1结论（3）进一步就有

当f(x)≥f(y)时即 ：对x，y∈K且时 ，有所以，∇f是K上的F伪单调映射.

反证法证明充分性.设∇f是K上的F伪单调映射，但f不是K上的F伪凸函数 ，即虽然时，但注意到就 有由 中 值 定 理 ，使

则

即

另一方面，由引理2可计算得，

将上式代入到式（14）中得，

即

式（16）与（17）矛盾.

定理3设K⊆Rn是关于F的开凸集，实值函数f：K→R满足：∀x，y∈K有且F关于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，则f是K上的F拟凸函数当且仅当∇f是K上的F拟单调映射.

证明必要性.设x，y∈K且0，由F拟凸性及引理1结论（3）知，进而再由引理1结论（3）就有即当

故∇f是K上的F拟单调映射.

充分性.设∇f是K上的F拟单调映射，但f不是K上的F拟凸函数，则

总有

由引理2计算得

结合式（18～22）有

与∇f是K上的F拟单调映射矛盾.

3 应用举例

下面以定理1为例获得一些具体广义凸函数的广义单调性刻画.

定理1指出，在一定条件下，f是K上的F凸函数，当且仅当∇f是K上的F单调映射，即

由于预不变凸函数、GA-凸函数分别是特取的F凸函数，相应可求得的形式分别为的相应形式只需将x，y互换.分别代入式（25），可得到一些具体可微广义凸函数的广义单调性刻画，例如关于预不变凸函数的结论［3］：

例1 设K⊆Rn是开的关于η(x，y)不变凸集，且η(x，y)满足条件C，可微实值函数f：K→ R满足且F关 于λ在[0，1]上可微，则f是K上的预不变凸函数当且仅当

关于GA-凸函数的结论：

这就意味着xf′(x)为(a，b)上的递增函数.