深沟球轴承-转轴系统回转运动建模与分析

冯晓飞，王德伦

（大连理工大学机械工程学院，辽宁大连 116024）

0 引言

轴承作为机械加工系统的核心部件，其精度特性直接关系到整机的性能。Jones[1]建立了可以求解不同滚动体个数的轴承内圈滚道相对于外圈滚道位移的拟动力学模型；Harris[2]考虑了轴承润滑条件和摩擦等因素的影响，分析了轴承在径向、轴向和力矩联合作用下轴承内外圈的运动关系；Noguchi等[3]从理论上研究了轴承滚道波纹度与滚动体直径不同误差形式与大小对轴承内圈跳动的影响；Okamoto[4]将数值模拟与试验检测相结合，分析了轴承轴心运动轨迹与零件形状误差的关系；留剑等[5]分析了轴承内外圈滚道及滚动体上的波纹度对轴承跳动的影响规律；王德伦等[6]采用刚性轮廓曲面等效零件的几何误差，提出弹性冗余空间机构模型。

1 轴承模型建立

轴承主要由内圈、外圈、滚动体和保持架4个基本元件组成。为了简化计算，模型做出如下假设：1）在载荷作用下，轴承的内外圈不发生整体变形，只会产生相对的位移；2）轴承的滚动体与滚道为局部接触，变形规律符合赫兹接触理论；3）不考虑轴承保持架的影响，保持架只发挥固定滚动体处于理想位置的作用；4）不考虑弹流润滑条件的变化。

1.1 滚动体与滚道几何关系

基于轴承各组件的几何关系，建立坐标系：以外圈滚道几何中心为原点的固定坐标系{Of; if, jf, kf}，以内圈滚道几何中心为原点的移动坐标系{Om;im, jm, km}，滚动体与内外滚道的几何关系如图1所示。

图1 滚动体与滚道位姿关系

建立滚动体与滚道几何位移方程：

式中：j为滚动体编号；Rij、Roj分别为滚动体j与轴承内、外圈滚道接触处曲面的矢量方程；Nij、Noj分别为滚动体j与轴承内、外圈滚道接触处法线方向矢量；rgj为滚动体j的半径尺寸；Rgj为滚动体j的质心位置；δij、δoj分别为滚动体j与内、外滚道法向接触变形量；Rm表示轴承内圈几何中心位置。

1.2 滚动体与内外圈接触力

根据赫兹接触理论，滚动体与内外滚道之间的接触载荷为：

式中：Fij、Foj为法向接触载荷，是标量；Lij、Loj分别为内、外滚道与滚动体接触摩擦方向。

1.3 滚动体离心力

设轴承内圈的旋转角速度为ωi，滚动体的公转角速度与保持架的角速度相同，均为ωb，滚动体的公转角速度ωb与内圈回转的角速度ωi的关系为

式中：Dm为轴承节圆直径；Di为轴承内圈直径；Dwj为滚动体j的实际直径尺寸。

1.4 轴承力学平衡方程

1）滚动体力平衡分析。

在运动过程中，轴承滚动体受到来自轴承内圈、外圈的作用力及高速回转运动时的离心力，对于滚动体j的受力如图2所示。

图2 滚动体受力示意图

根据图中滚动体受力情况，建立滚动体j的力平衡方程：

式中：Fij、Foj分别为内圈与滚动体j的接触载荷；Tij、Toj分别为内圈与滚动体j之间的摩擦力；Fcj为滚动体j的离心力；Ggj为滚动体j的重力。

2）内圈力平衡分析。

内滚道受力如图3所示。

图3 内圈受力示意图

在全局坐标系下，先计算得出每个滚动体的受力状态，再代入轴承内圈平衡方程进行计算，求解出轴承内圈质心的位姿变化。平衡方程如下：

式中：Gi为轴承内圈的重力；Mi为施加的力矩；F为施加在内圈上的外载荷。

2 轴系模型建立

在柔性轴系统中，轴在受到径向载荷后，转轴会发生一定的弹性弯曲变形，并产生力矩载荷。轴系结构如图4所示。

图4 轴系结构受力简图

根据轴系受力简图，建立轴系平衡方程：

通过求解上式，可得到轴承上载荷与转角及位移之间的关系。当深沟球轴承内圈所受外载荷为F={Fx，Fy，Fz，Mx，My}，位移为δ={ux，uy，uz，θx，θy}，根据轴承载荷与位移之间的关系，利用差分法就可计算得出轴承刚度矩阵为

采用欧拉-伯努利梁单元对轴的弯曲变形进行等效，轴的整体刚度矩阵是由每个梁单元的刚度矩阵组集而成。当轴被划分为M个节点，每个节点存在6个自由度，则转轴的刚度矩阵为6M阶矩阵。将2个轴承刚度矩阵叠加到转轴刚度矩阵对应的节点上，组成装配后轴系整体的刚度矩阵。对于双支点支承轴系结构，令外载荷矩阵为

由式KU=P可知，若K和P已知，便可计算得出轴上各个节点的位姿状态，从而计算出转轴在运转过程中的位姿变化。

轴系回转运动模型的计算流程图如图5所示。

图5 轴系模型计算流程图

3 算例分析

轴系结构如图4所示，具体结构参数如表1所示。

表1 轴系结构参数

3.1 轴向载荷对回转精度的影响

在轴上施加固定的径向载荷，通过改变轴向载荷的大小，分析轴向载荷对轴系回转精度的影响规律。令径向载荷为3000 N，轴向载荷从500 N到1500 N变化，变化步长为50 N，计算出在不同的轴向载荷作用下轴系载荷位置处轴向与径向的位移误差，绘制关系曲线如图6所示。

图6 轴向载荷对轴系回转误差的影响

结果表明，随着轴向载荷的增大，轴系的轴向误差急剧减小，并且当轴向载荷大于1100 N时，轴向位移误差趋近于某一较小值。轴系通过安装时施加一定的轴向力可以提高轴系的回转精度，对于本模型，当轴向预紧力大于1100 N时，有利于系统的精度达到最佳。同时，轴上施加的轴向载荷对于轴系回转运动的径向误差影响较小。

3.2 径向载荷对回转精度的影响

在轴上施加固定的轴向载荷，通过改变径向载荷的大小，分析径向载荷对轴系回转精度的影响规律。令轴向载荷为1000 N，径向载荷从1000 N到8000 N变化，变化步长为500 N，计算出在不同的径向载荷作用下轴系载荷位置处轴向与径向的位移误差，绘制关系曲线如图7所示。

图7 径向载荷对轴系回转误差的影响

结果表明，径向载荷对于轴系回转运动的轴向误差影响较大，随着轴上径向载荷的增大，轴系的轴向误差逐渐变大，而径向载荷变化对轴系的径向误差影响较小，且当径向载荷超过7000 N时，轴系的径向位移误差值增加逐渐缓慢。

3.3 载荷位置对回转精度的影响

轴上载荷作用位置不同，轴承所受的载荷不同，所以转轴在载荷作用位置处的各方向移动量也不同。如图4所示，轴承1与载荷施加位置的距离为a，令a的取值范围为20～280 mm，变化步长为20 mm，施加载荷Fy=2000 N，Fz=1000 N。计算出当载荷位置不同时，轴系载荷处轴向与径向的位移误差，绘制关系曲线如图8所示。

图8 载荷位置对轴系回转误差的影响

结果表明，载荷位置的变化对轴系回转运动的轴向误差影响较大，而对径向误差影响很小。对于轴承对称布置的双轴承支承轴系结构，当施加载荷位置位于两轴承中间位置时，轴系的径向、轴向误差达到最小值，此时轴承-转轴系统的回转精度为最佳。

4 结论

从深沟球轴承组件的几何关系、载荷约束关系出发，建立轴承-转轴系统回转运动精度模型。通过改变轴上载荷大小与载荷施加位置，分析载荷对轴承-转轴系统回转运动的影响规律，得出结论如下：1）随着轴向载荷的增大，轴系回转运动的轴向位移误差减小，而对径向位移误差影响较小；2）随着径向载荷的增大，轴系回转运动的轴向位移误差增大，而对径向位移误差影响较小；3）对于轴承对称布置的双支点支承轴系，当载荷位置在两轴承中间位置时，回转轴系的径向、轴向误差达到最小值，此时系统的回转精度达到最佳状态。