瑞利分布恒定应力加速寿命试验的贝叶斯估计

武 东, 李 琼

(1. 安徽农业大学 理学院,合肥230036;2. 徽商职业学院 电子信息系,合肥231201)

0 引言

加速寿命试验在可靠性工程、航天电子等领域的地位举足轻重,而在工程实践中最为常用是恒定应力加速寿命试验[1-7],通常简称为恒加试验。恒加试验相对于步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验,有较为明显的优点[2-4]: 试验操作方法较为简便,对仪器设备要求不高;试验理论与方法已经成熟,试验不易失败;能在试验中获得较多的可靠信息,试验结果比较精准。鉴于此,开展和继续研究恒定应力加速寿命试验方面的统计分析仍然具有必要性。关于累积失效模型(Cumulative Exposure Model,CE 模型) 恒定应力加速寿命试验的统计分析研究方面,文献[5-6]中利用逆矩估计法研究了Weibull 分布恒加试验的的点估计和区间估计;文献[7]中对定数截尾和定时截尾情形下Weibull 分布恒加试验进行了贝叶斯统计分析。文献[8-9]中分别讨论了CE模型下指数分布场合恒加试验的最大似然估计和贝叶斯估计。

瑞利分布[10]在可靠性分析、药品、寿命测试和无线电通信等许多现实领域有着广泛应用,开展瑞利分布在可靠性统计的应用研究具有很大必要性。瑞利分布在加速寿命试验方面的研究文献报道较少,为此,本文对基于定数截尾情形CE 模型下瑞利分布恒加试验进行了贝叶斯统计分析。主要分为3个部分: ① 给出定数截尾下瑞利分布恒加试验的基本假定和试验安排;② 讨论了定数截尾下瑞利分布恒加试验参数的最大似然估计和贝叶斯统计分析,考虑贝叶斯估计涉及到复杂的积分,采用了Tierney Kadane 近似[11]获得参数的近似贝叶斯估计;③ 利用数值模拟方法对瑞利分布恒加试验基于定数截尾样本的参数估计进行了精度分析。结果表明贝叶斯估计方法精准而实用。

1 基本假定与试验安排

2 最大似然估计

3 贝叶斯估计

在贝叶斯统计分析中,未知参数的先验分布选取至关重要, 对于λ的先验分布取其共轭先验分布[12],即取Gamma 分布比较多,而加速系数δ的先验分布常取无信息先验分布,并假定二者是相互独立的, 从而构建了未知参数的先验分布。但在实践中,两个参数可能会存在某种关联性,本文取的是以下先验分布,其先验密度[13]为:

4 数值模拟

以上得到了基于定截尾CE 模型下瑞利分布恒加试验的两种贝叶斯估计,现用利用统计模拟法对算法进行有效性和精度分析,试验方案和估计结果见表1。

表1 定数截尾下瑞利分布恒加试验的估计结果Tab.1 Estimation results for Rayleigh distribution of constant stress accelerated life tests under Type-II censoring

表中: MLE、MCBayes 和TKBayes 分别表示参数的最大似然估计、MC 积分得到的贝叶斯估计和Tierney Kadane 近似得到的贝叶斯估计。相对均方误差(RMSE)可以看出,该模型的两种估计的精度较高, 特别是Tierney Kadane 近似得到的贝叶斯估计的精度更好,说明贝叶斯估计是精准而有效的。

具体步骤如下[12]:

(4)利用本文方法可得λ、δ的贝叶斯估计,参数的先验按式(10),其参数分别取为a=b=c=d=1,从而得到λ、δ的贝叶斯估计。

(5)重复上述模拟1 000 次,然后计算贝叶斯估计的相对偏差(Rbias)和相对均方误差(RMSE)。

5 结 语

利用Tierney Kadane 近似法获得了定数截尾下瑞利分布场合恒加试验的一种近似贝叶斯估计。这种贝叶斯估计的优点是避免了复杂的积分计算,从而提高了估计精度,其缺点是需要求解非线性方程。如果想避免求解非线性方程,可考虑其他近似贝叶斯估计方法,比如马尔可夫链蒙特卡洛方法(MCMC方法)等[15]。