不同边界条件矩形薄板受力分析的解析解法

2022-01-21孟阳君

湖南交通科技 2021年4期

关键词：简支薄板边界条件

孟阳君

(湖南文理学院，湖南常德 415000)

0 薄板理论研究现状

大量桥梁结构的行车道板为矩形薄板结构，研究矩形薄板的受力情况可为桥梁行车道板的设计提供依据。

综上所述，采用数值分析或有限元的方法分析研究薄板已经比较成熟，但是研究任意荷载作用下任意边界条件的矩形薄板的解析解仍然具有一定意义。

1 不同边界矩形薄板的受力分析

1.1 四边简支

图1为四边形简支矩形薄板，在均布荷载q作用下，其受力方程见式(1)。

图1 四边简支矩形薄板受力分析计算图示

(1)

四边简支矩形薄板的边界条件见式(2)。

(2)

假设：

(3)

式(3)求导代入式(1)：

(4)

将荷载q也按重三角级数展开：

(5)

(6)

承受荷载q的四边简支矩形薄板的挠度：

(7)

1.2 两边简支、两边自由

图2为两边简支、两边自由的矩形薄板。在均布荷载q作用下，其受力方程见式(1)，边界条件见式(8)。

图2 两边简支、两边自由矩形薄板受力分析计算图示

(8)

以：

(9)

求导整理代入式(1)得：

(10)

将q也展为傅立叶级数：

(11)

整理比较可得:

(12)

式(9)的一般解为：

(13)

(14)

(15)

结合边界条件式(14)，且q0作用下w应为ym偶函数，即Bm=Cm=0，

(16)

(m=1，3，5,…)

(17)

计算分析可得：

(18)

(μ-1)。

1.3 四边固支

图3为四边固支的矩形薄板，在均布荷载q作用下，其受力方程见式(1)，边界条件见式(19)。

图3 四边固支矩形薄板受力分析计算图示

(19)

承受均布荷载q，四边简支矩形板在图3所示的新坐标系中的挠度见式(20)。

(20)

在边缘y=b/2上，板的转角见式(21)。

(21)

(22)

(23)

将式(22)对x求导，并令x=a/2，得式(24)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

结合边界条件，可得：

(29)

(30)

式(29)对任意x都成立，分析整理可得包含Ei和Fi的方程组，见式(31)；式(30)对任意的y都成立，分析整理可得式(32)。

(31)

(32)

求解上述方程组可得Ei和Fi的具体表达式，代入w1、w2的表达式，即可得到四边固支的矩形薄板在均布荷载作用下的挠度w挠度=w+w1+w2。

1.4 四边弹性支撑

计算分析模型见图3。假设板的边缘与一支撑梁(梁的弯曲刚度为EI，扭转刚度为GJ)固结，则沿此边缘板的挠度等于梁的挠度，板的转动等于梁的扭转。

(33)

(34)

承受均布荷载q，挠度见式(35)。

(36)

结合边界条件，即可求解An、Bn、Cn、Dn常数，限于篇幅，具体表达式略。

当薄板任意一点(ξ，η)受荷载集度F作用，可以用微分面积dxdy上的均布荷载F/dxdy来代替分布荷载q，相应求得挠度表达式。

2 数值验证

假定矩形薄板a×b为1 m×1 m，厚度t为0.1 m，弹性模量E=3.0×1010Pa，泊松比μ=0.3，承受均布荷载q=1.0 kN/m2，数值计算采用MIDAS软件进行。理论计算与数值计算结果见表1。其中：①为四边简支；②为两边简支，两边自由；③为四边固支；④为四边弹性支撑，四边弹性支撑梁为0.1 m×0.2 m的矩形截面梁。

表1 理论与数值计算结果一览表边界条件中心挠度/(kN·m)MIDAS理论分析误差/%①1.478×10-61.479×10-6-0.067 6②4.722×10-64.766×10-6-0.923 2③4.733×10-74.609×10-72.62④8.163×10-68.195×10-6-0.390 5

各种边界条件下，矩形薄板的弯矩分布见图4～图7。由图可看出，四边支撑矩形薄板的弯矩Mxx、Myy呈现环形分布，越靠近中心弯矩越大；对边支撑的矩形薄板沿支撑边方向弯矩呈现带状分布，另一垂直方向弯矩也呈现环状分布，越靠近中心弯矩越大。四边固支矩形薄板板边有较大的弯矩分布，结构设计应予加强。