模型思想在小学数学概念教学中的路径——以人教版六年级上册《比的意义》一课教学为例

张景新

（厦门大学附属实验小学，福建 漳州 363100）

数学是一个关于模式的科学。数学建模其实是一种利用学科知识将现实问题作为基础抽象凝练出数学模型，并利用数学语言进行描述的过程。小学生以直观形象思维为主，渐进抽象逻辑思维的阶段，而数学概念、定理等抽象而复杂，对多数小学生来说学习难度比较大。数学模型思想的构建能帮助学生对数学概念的理解，提高教与学有效性，促使学生顺利从形象思维过渡到抽象逻辑思维；也是数学核心素养的重要组成部分。本文结合人教版六年级上册《比的意义》一课的教学实践，探讨在概念教学中渗透模型思想的教学方法。

一、动手实践，感悟模型，感知认知问题

建构主义学习观认为，知识不能简单地由教师或他人传授给学生，而只能由学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构。［1］数学概念的学习是一个同化过程，是用来解决问题的工具。教学中，教师要充分利用学生的经验，使学生从生活经验中感知问题，并通过语言符号将之抽象为数学问题，最终运用模型思维构建数学模型、寻求解决问题的方案。

例如，在教学中笔者进行布迷阵、造冲突，引学生入愤悱之境，诱导学生主动认知，感悟理解和认知“比”，合理地构建数学知识的比这一概念。

师：（投影一个长方形）在本子上画一个形状一样的长方形。展示作品（如图1）：

图1

师：哪个更像原图？（生：第2 个）你的做法是什么？

生：我应用了直尺在空中单眼比量屏幕中长方形的长与宽大约是多少厘米，再画出这个长方形。

师：嗯，这样操作有什么好处呢？

生：因为长和宽的长度决定了长方形形状。

师：好方法，如果给定数值，再画一个呢？

师：为什么这时同学们画的大小不同，但形状就相同了呢？长和宽之间是怎样决定图形的形状？

生：用长除以宽，根据商不变的性质，这里长与宽的“比例”关系是确定的，相对应的形状就相同。

师：如果长画12 厘米，宽应该画几厘米，形状才不会变呢……

师：其实这里蕴含一种新的知识：如果长与宽处于相除关系，那么我们也称为长与宽的比，这就是“比的意义”。

史宁中教授认为：“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而是表现在经验的过程，表现在思考的过程中。”［2］以上教学片段中，学生以长方形为认知载体，通过观察与绘图，思考怎样保证画出的长方形形状保持不变。在讨论中，学生的观点与自我的认知互相交融，寻找到图形变与不变的主要原因，将特征通过数的关系表征出来；然后进行数与形的转换，碰撞出知识的火花；最终在原有认知结构中建立起新的知识模型。教师再适时点拨，用规范的数学语言引导学生，界定“比”的本质特性，理解其核心意义，完成由经验世界到理论世界的过渡。

二、知识迁移，刻画模型，把握概念特征

数学概念的价值在于让学生经历一系列的数学活动，深入理解并主动建模，把握概念的特征。教师要善于挖掘概念中所蕴含的思想，结合学生的学情，把生活中反映实际问题本质属性的形态、数量及相互关系提炼出来，运用数学知识之间的共性特征进行类比迁移，在相互联系、互相映衬的过程中完成数学表征的逐步抽象，自然地理解知识的意义与特征，并用准确的数学语言提出合理表述，刻画出模型。

师：同学们想法真好，国旗就是根据长与宽的倍数值不变，生产出不同的旗面。生活中还有哪些量之间也是以倍数方式变化的例子？

生：路程÷时间来表示速度。

师：你能举个例子说说吗？

生：一辆汽车2 小时行驶120 千米，它每小时行60 千米。

师：那么3 小时行驶多少千米？4 小时呢？

师：这里什么变了，什么就跟着变？

师：这样的变化你发现了什么？

生：时间与路程是一组有规律变化的两个量，但它们商没变。

师：路程除以时间，我们也说路程比时间，它们都表示速度。反之，速度是路程与时间的比。现在就这个例子来说说，工作效率是谁与谁的比；单价又是谁与谁的比……

只有基于学生自己的经验领悟获得的知识才是深刻和稳固的。以上教学片段的回顾旧知，让学生置身于原有认知结构的重述过程，认知与理解不同类量之间的比。这里蕴含着两个层次的思考：其一，知识迁移。学生通过经验回顾，感受知识间的共同特性，让除法等数学知识迁移产生“比”的感悟。其二，倍数变化。学生思考中交流，在交流中体验，体会量之间的变化规律，感悟变中有不变的函数思想，以此还原“比”的真正意义。

三、对比辨析，巩固模型，区分概念的差异

课中数学概念的习得不仅需要举例强化，也需要提供“反例”，辨析概念之间的差异，让学生参与解释与应用正是对数学建模的一个不断修正和沉淀的过程。所以，在学生形成数学模型之后，置学生于思考与应用之中加以辨别解析，其数学知识的本质方能得以强化，形成完整稳固的模型思想。

视频中哪个“比”具有数学意义，并说说理由。

①金龙鱼调和油广告（1∶1∶1）；②球场上的比分变化（3∶0）；③活力28 洗衣粉广告（1∶4）。

视频播放寓学于趣，以问题驱动学生进行理性思考，三段视频中的比含义上是否相同，在前后项的变化上存在哪些区别，经历深度思考与观点交流，辨析区分差比与倍比，从而抛弃“错误”模型，在数学知识结构中删去“伪比”，建立“真比”，也明确数学是研究有规律的学科。基于生活化练习让“比”的特征在学生认知结构体系中组成一个完整模式。

四、形成思想，检验模型，体会概念的价值

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》强调：“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”数学模型是数学学科与现实问题之间的纽带，完善并拓展数学模型思想是为解决实际问题提供科学有效的途径和方法，使学生在应用中体会概念的价值实现学习自主化发展。

1.在我们班上，找一找比。

2.有2 杯不同质量的蜂蜜水，猜猜哪杯甜？需要知道哪些信息才能准确判断？

比的定义来自两数相除关系，又“不局限于”它倍数关系，史宁中教授认为，比概念的起源与度量分不开［3］。以上练习设计，从学生熟悉的生活情境着手，提出不能品尝但要判断出哪杯蜂蜜水甜，引发学生进行数学思考，主动寻找“比”的模型知识及思想、方法去思考隐匿着的数学问题。这样的练习教学，将比的运用归还于度量的本源，帮助学生理解“比”意义。运用“比”解决生活中的数学问题，可以化繁为简，使解决问题的方法更加灵活多样。这样的模型运用使学生获得问题解决的成功体验检验了模型并体会概念的价值。

总之，在教学中，要善于引导学生挖掘数学知识中所蕴含的数学模式，培养学生的数学建模意识；为学生搭建模型应用平台，在实践应用中渗透建模思想，让思想根植于学生的内心，提升数学素养。