深度学习视域下小学数学提炼核心问题的策略<br/>——以《外方内圆与外圆内方》一课教学为例

深度学习视域下小学数学提炼核心问题的策略
——以《外方内圆与外圆内方》一课教学为例

2022-01-20邓训香

福建教育学院学报 2021年12期

邓训香

（罗源县教师进修学校附属小学，福建福州 350600）

“数学深度学习是指向学生对数学本质理解，提升数学思维能力，促进学科核心素养获得的学习过程”，是以问题为“主线”的。数学家哈尔莫斯曾说：问题是数学的心脏。基于深度学习下的数学核心问题更应该触及学生的心灵深处，具有引导学生在有困难、挑战的学习任务面前，树立自己主体性，积极主动地参与学习活动的功能。［1］具有批判理解、内容整合、促进知识构建、迁移运用的高阶思维，是要根据学生的实际情况、教材的难易程度达成教学目标的。但是教材是静态的，往往比较抽象、枯燥，甚至有点生硬，所以教师必须深入地分析学生、研读教材，把握住学生的“最近发展区”，把握住教材的纵向联系、横向联系、背后隐藏的本质和规律等，及时捕捉并快速处理课堂临时生成的资源，才能提炼设计出鲜活的、具有生命力的核心问题。下面就以《外方内圆与外圆内方》一课教学为例，阐述如何提炼核心数学问题。

一、在学生疑难处提炼，扫清学习障碍

有些知识看起来不难，但学生实际解决时并不轻松，障碍重重。因为教师不了解学生“经验达不到的边界在哪里”，就不了解学生的“最近发展区”，即学生现有水平与学生自己跳一跳还摘不到“果子”的较高的未来水平之间形成的一个区域。这个区域就是学生学习有难度的内容，完成有挑战的任务的区域，是教师与学生交往、帮助学生发展的区域［1］。所以教师要有探测的本领，提炼出核心的数学问题帮助学生成为学习的主体，去挑战困难、克服困难，从现有水平积极主动地走向未来水平。

例如，人教版六年级上册数学的《外方内圆与外圆内方》这节课，教学内容“多”“深”“广”而且难点极多。特别是有两个“硬核”不易解决。一个是：学生在求外圆内方的面积差时，很难在有限的时间里寻求到解决的方法；另一难点：在回顾与反思中，如何引导学生有效发现、求证图形中更为一般的数学本质规律。主要是学生对圆与正方形的认识更多的只是停留在对圆和正方形单一图形的直观认识上，而不会用联系的眼光去看待这两个图形，特别是外圆内方，由于学生思维的定式，不易找到联系，更不会将找到的联系合理地运用解决问题。对于学生的学习障碍，教师应该设计什么样的教学活动来突破困难，完善学生的认知呢？［2］

例如，笔者就利用课前比较充裕的时间设计了“火眼金睛‘找联系’”的活动，请学生仔细观察学习单中6 个图，找出各图中圆的半径或直径与图中其他图形有什么联系（如图1 所示）。这个问题根据学生的“最近发展区”和教材重难点提炼出来，很好地把圆与以前学过的图形加以综合，又以学生感兴趣的方式开展活动，很好地激发学生兴趣，扫清了后续学习的障碍，为解决有关圆的组合图形问题做了铺垫。这样在教学后文案例3 时，只需提醒学生解题时不但要关注题中的文字信息，更应注意图形中隐藏的有关信息。学生的思考空间比较大，使学生能广泛地、自主地参与思考、探究的过程。然后在学生合作学习解决问题的基础上，教师要引导学生分别说说自己的做法，并要求其他学生提出疑问。这样既能让学生进行说理、思辨，又能带动学习有困难的学生，使他们学会如何分析问题、思考问题，以及如何寻求解决问题的策略，从而积累一些解决问题的经验与方法，使大部分学生达到了较高的水平。

二、在教材重难点处提炼，揭示知识本质

数学知识的重难点也是有层次的。有些知识的重难点相对比较容易，有一些就比较难理解。如果教师按教材上的思路采取固定的方式、方法去设计教学活动或问题，学生就无法深入地进行知识的探究，更谈不上深度学习。因此，教师要根据本班学生的学习能力和知识结构对原有的教材进行适当的加工处理，并在关键处提炼出有价值的核心数学问题，使之更符合学生认知，更有利于学生“跳一跳摘到果子”；在互动交流中展开更深入的学习，不断地抽丝剥茧，理清知识的脉络与结构，从而揭示知识的本质。

例如，《外方内圆与外圆内方》这节课的重难点是在回顾与反思中，如何引导学生有效地发现、求证图形中更为一般的数学本质。但如果就如教材上的按部就班，显得生硬而空洞，更谈不上学生的深度学习了。怎样把目标的设定由一题的解决转向一般性能力的培养呢？［2］笔者认为，需要给学生创造延伸思考的机会。把课本第74 页15 题进行改编，巧妙地整合到例题中，并以问题为核心，引导学生进行反思、猜想、探究、验证，从而更轻松、自主地发现一般性的数学规律。教学环节如下：

1.引导回顾，提出猜想。教师引导学生回顾图2（外圆内方）几种不同的解法，哪种比较简单呢？这真的是最简单的做法了吗？然后，引导学生思考：“这个正方形可是这个圆中最大的正方形吗？这是一种很特殊的位置关系，想象一下，如果这个图在不断地变大、变大、再变大，谁会回答这个问题呢？”

2.自主研究验证，完成学习单，小组长做好汇总。当学生猜想圆与正方形的面积比可能不变时，教师要激发学生思考怎样才能有效验证，此时课件再出示学习单：算出半径不确定的外圆内方中圆与正方形的面积，以及他们的面积比，汇总到小组长处。

3.集体汇报。教师展示部分小组研究成果，引导学生观察说理，发现规律，逐步完善规律。教师引导学生总结：无论圆的大小如何变化，这种外圆内方中正方形与圆的面积比总是2∶π（如图3）。

图3 集体汇报

4.引导得出面积差。教师引导学生再次观察汇总表中半径为字母的这一栏，当半径为r 时，那它们的面积差可以怎样表示呢？（πr2-2r2=1.14r2），1.14r2用图又怎么表示呢？

这一环节在优化重组教材后，以问题为核心，先引导学生进行批判的理解，再启发学生大胆猜想。学生们凭借原有的认知水平和经验，通过观察、比较、大胆猜想，感悟出这一组图形除了大小发生变化外，其他的似乎又没变，从而联想到图中某些的“比”是不变的。大部分学生采用举例设数法，巧妙地把研究这一题推向了研究这一组题，使得少数几个学生用“设字母”法有所依据，也更具有概括性，有效地突破了教学重难点，使发现的规律一般化水到渠成。

这样的设计巧费心思，以生为本，为学生独立思考和主动探究留下了充分的空间，使各个层次的学生对所学的知识也有了不同程度的理解和掌握，即使是同一个学生在小组与全体汇报交流中他们各方面都得到不同维度的发展，体验深度学习带来的成就感，培养学生的高阶思维以及数学素养。

三、在课堂生成资源时提炼，提升思维能力

一个数学问题或是一个数学活动得以解决，都是学生能力和经验的综合体现。但由于学生个体存在差异，解决问题的方式方法也不尽相同，教师要有课堂教学的机智，捕捉学生课堂上生成的宝贵资源，快速处理、提炼出学生真正存在的问题，或是更为优化的方法，从而进一步引导学生进行深入的探讨交流，开展深度学习，对知识进行再梳理、总结、内化提升，以更好地拓展思路，提升学生的数学思维能力。

如《外方内圆与外圆内方》这一课中，在探求“外圆内方”的面积差一题时，发现规律前、后的各种解法中，学生的思维都比较活跃，真正张扬了学生的个性思维。教师都相机引导，让学生说理、思辨，特别是个别学生还创新地利用外圆内方中圆与正方形的面积比是π：2，列式为3.14×12×2/π=2，或3.14×12÷π×2=2 先求出正方形的面积，再与圆的面积相减（如图5 左下方、图6 下方）虽然相对于1.14r2（如图7 下方）列式多了一些步骤，但可以看出学生已经把刚学到的知识与原有知识融为一体，并能灵活应用。但第三题求“铜钱的面积是多少”，还是有个别学生“如愿以偿”地掉进陷阱里错列为1.14×（28÷2）2（如图8），此时还是要以此为契机，快速捕捉、追问：请大家认真观察这两个同学的做法（对、错对比），都对吗？为什么？这样充分利用课堂生成的资源，顺势引导学生进行理性的反思与辩论，感悟学以致用的数学魅力，这对提升他们的终身学习能力具有很大的意义。