问题引导下的探究式课堂教学的实践与探索——以格林公式的教学为例

2022-01-20廖春艳晏玉梅刘春梅

湖南科技学院学报 2021年5期

廖春艳晏玉梅刘春梅

廖春艳晏玉梅刘春梅

(湖南科技学院理学院，湖南永州 425199)

探讨问题引导下的探究式课堂教学模式。通过实际背景引入课题，围绕“以学生为中心”的教学理念，层层设计问题引出知识目标格林公式。由公式的类比猜想及验证猜想的过程逐步得出格林公式成立的条件和结论。教学中避免了直接给出结论及证明的突兀，从简单到具体，从抽象到实用，精心设计教学内容，帮助学生突破学习的障碍和难关。

格林公式；探究式教学；课程育人

格林公式及其证明是数学分析的重要内容之一，在多元函数积分学的教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位[1]。格林公式沟通了二重积分与积分区域边界上的曲线积分之间的联系，不仅给出了一个有效的计算平面曲线积分的方法，而且给出了一种已知边界曲线方程的平面区域面积的计算方法，在实际中有着广泛的应用[2]。但是在教学中，格林公式的理论性较强，很多学生难以理解公式中的条件和结论究竟是如何得出，学生使用格林公式时经常出错，如何设计符合学生认知规律的课堂教学来引导学生更好地理解和掌握格林公式至关重要。

1 教学设计思路

本次教学内容设计的主要特点在于：本课主要从实际生活情境入手引入课题，通过设置问题：GPS面积测量仪的原理是什么呢？切入今天的主题。以学生熟知的牛顿-莱布尼茨公式为切入点，对照格林公式，通过类比联想的方式，阐释清楚格林公式表达的意思。通过介绍单连通区域的概念、复连通区域的概念、边界曲线正向的概念，为格林公式的理解与应用以及后续部分内容的讲授做准备。最后首尾呼应，利用格林公式去解决开始上课提出的GPS面积测量仪的问题。

本课将问题式、探究式、研讨式、启发式等教学法贯穿始终，通过层层递进的问题探究逐步形成格林公式理论的条件和结论。在进行教学设计时充分考虑了学生的学情，通过创设情境，用丰富的生活实例、数学史、丰富多彩的图片，将抽象的数学问题生动地展现在学生面前，并通过严谨的数学推导得出格林公式，并将其应用到实际生活中，让学生领略一个有观察、有猜想、有推理、有证明、有应用的数学教学过程[3]。在格林公式推导的教学过程中充分发挥多媒体的优势，结合板书，通过师生间的互动，逐步地给出格林公式的证明。

2 教学过程

2.1 创设问题情境，提出知识目标

通过现代“麦客”拿着GPS面积测量仪开着收割机仗剑江湖的实际背景介绍引入今天的探究主题，激发了学生的求知欲。从数学角度考虑现代科技助力农业发展，并提出探究问题。

探究问题一：GPS面积测量仪的原理是什么呢？究竟里面蕴含了什么样的数学知识?

今天我们来学习一个绿色环保的公式，从而引出今天学习的主题：格林公式。回顾上节课我们学习过的第二型曲线积分，那么请同学们思考下面两个问题能否利用曲线积分的定义来进行求解。

探究问题二：能否将第二型曲线积分转化为定积分进行求解？

引导学生分组自主研讨，并由每一小组分享讨论结论：在例1中，积分路径的方程不清楚，自然无法将其转化成定积分来进行求解，而对于例2，同学在研讨的过程中深切体会到当被积函数和积分路径较复杂的时候，转化成定积分进行求解非常困难甚至可能无法计算，怎么办呢？能否找到一种更加有效的方法来计算第二型曲线积分。

2.2 探究猜想，引出公式

启发思考：我们在上学期一元函数积分学中，为了解决定积分的计算困难，学过一个非常牛的公式，牛顿-莱布尼茨公式，这个公式将定积分在区间内的定积分转化为原函数在区间的两个端点处的函数值之差，还记得是什么公式吗？没错，牛顿-莱布尼茨公式。

2.3 严密论证，得出结论

图1 区域D即是X型的又是Y型的区域

由图1可知：将有向曲线分成两段，利用第二型曲线积分的计算公式。

不难发现，式(6)右侧这个累次积分实际上就是平面区域上的二重积分，综合以上分析过程就得到

接下来引导学生自主得出型区域下为

探究问题四：对于更加复杂的区域，前面的等式是否仍然成立？

在这里引导学生利用转化的思想，将未知化为已知的情形进行求解非型、型的区域及复连通区域下上述公式也是成立的。具体证明过程这里就不再赘述了。梳理证明的条件，整合结论，得到格林公式。

其中是的取正向的边界曲线。

2.4 数学史的融入

格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一。短促的一生，格林留下的著作为数虽然不多，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想；特别是格林那种面对各类挫折、自强不息、自学成才的范例，深受人们赞扬。

2.5 公式的应用，首尾呼应

首尾呼应，解决开始上课提出的两个曲线积分，尝试用格林公式来进行求解，让学生感受到格林公式的精妙。

所以不论是一条什么样的分段光滑的闭曲线，或正项或逆向，由格林公式得

很轻松的化解了前面无法求解的困难。

启发式提问：能用格林公式进行求解吗？

从以上例题可以看出，格林公式为我们提供了一种简化积分的方法，一些看似无法求解或者较复杂的曲线积分可以利用格林公式较轻松地进行求解。同时在教学中引导学生注意问题的求解过程中，格林公式的使用条件，并且引导学生注意条件的修补。

2.6 学以致用

这样就得到了利用曲线积分求平面图形面积的一种新方法，启发学生用本次新课所学的格林公式以及以前的知识对开始提出的GPS面积测量仪的数学原理进行研究及讨论。既呼应课前的引入又使学生能将学到的内容加以应用。

图2 行进路线图

利用格林公式，通过算出每一段第二型曲线积分，进而得到所围绕区域的近似面积。

这样就得到了所要测量区域的近似面积。

2.7 归纳总结，知识升华，落脚课程育人

利用格林公式计算第二型曲线积分避免了将曲线积分转化为定积分的过程中参数替代的困难，在很多曲线积分的计算过程中极大简化了计算的难度。格林公式是从一维的牛顿-莱布尼茨公式过渡到三维高斯公式、斯托克斯公式的过程中至关重要的一步。总结公式所蕴含的规律，回顾由牛顿-莱布尼茨公式类比猜想到格林公式的过程，并提出猜想：这种由整体积分运算转化为区域边界上的积分运算能否推广到三重积分中去，若能，推广后的情形可能会是什么样的呢？让学生对于多元积分学知识体系中的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式有初步的理解。

通过面积测量仪等现代科技助力农业发展背景的介绍，融入育人元素：农业生产至关重要，“手中有粮，心中不慌”，坚持底线思维。要让“中国饭碗”不缺粮、装好粮，就要让国家粮食更安全，让农业质量更牢靠。新“麦客”是农业生产新时代的产物，反过来新“麦客”又见证着农业生产的新时代。这个时代是农业蓬勃发展的时代，是农民显著增收的时代，是农村日新月异的时代。引导学生用数学知识解决实际问题，并鼓励学生学好科学文化知识，在新时代还将演绎出更多精彩！同时“手中有粮，心中不慌”，还有另外一层含义，学生只有源源不断的补充新技术、新知识，与时俱进，才能跟上时代的步伐。从课程育人的角度，让传统的、枯燥的数学知识焕发时代的色彩，实现从知识传授到价值塑造的升华。