巧用等时圆结论解答物理题

山东 张岩松 杨文成

一、等时圆模型

图1

图2

证明1

在图1中任意选取一根直杆bd，并假定直杆bd与辅助线ab的夹角为α，过d点做圆的切线，则直杆bd与切线的夹角也为α，如图3所示。

图3

由图3可知bd=2Rsinα。

当小滑环从b点滑向d点时有

证明2

在图2中任意选取一根直杆AC，连接BC，假设AB与BC的夹角为θ，从C点做直径AB的垂线，设垂足为D点。如图4所示。由图4可知∠ACD=θ。

图4

二、等时圆典型例题讲解：

【例1】如图5所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点；则

( )

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点

C.c球最先到达M点

D.b球和c球都可能最先到达M点

图5

【解析】由等时圆结论不难看出：ta等于等时圆时间，

故应选C。

【例2】如图6所示，两个圆1和2外切，它们的圆心在同一竖直直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2的圆周上，三块板都通过两圆的切点，A在圆周上，B在圆内，C在圆外，从A、B、C三处同时由静止释放一个小球，它们都沿板运动，则最先到达圆2的圆周上的球是

( )

A.从A处释放的球 B.从B处释放的球

C.从C处释放的球 D.同时到达

图6

【解析】根据“等时圆结论”，因为A点在圆周上，B点在圆周的里面，而C点在圆周的外面，所以从B处释放的球最先到达圆2的圆周上，从C处释放的球最后到达圆2的圆周上。故选B。

【例3】如图7所示，ab、ac是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c位于同一圆周上，O为该圆的圆心，ab经过圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环分别从b、c点无初速度释放，用v1、v2分别表示滑环到达a点的速度大小，用t1、t2分别表示滑环到达a点所用的时间，则

( )

A.v1>v2B.v1

图7

因为b环下降的竖直高度比c环下降的竖直高度高，故：v1>v2，所以A正确；

从a点做竖直向上的辅助线ae，该直线与原来的过O点的竖直直径平行。

过a、b两点做辅助圆，使其圆心O1在直线ae上，如图8所示，设其半径为R1。

同理，过a、c两点做辅助圆，使其圆心O2在直线ae上，如图8所示，设其半径为R2。

因为R2>R1，所以t2>t1，故D正确。

综上所述，答案应选AD。

图8

【例4】如图9所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好搭在斜面上。木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为

( )

图9

图10

结语

高中物理中有许许多多的物理模型，譬如追击相遇模型、晾衣架模型、板块模型、传送带模型、突变非突变模型、定杆动杆模型、人船模型、活塞气缸模型、液柱玻璃管模型等等。

通过建模，推导出一些结论，然后利用这些结论去解题，这是我们解题常用的方法。实际上在高中物理中还有着许许多多的这样结论，它们是由物理基本规律和基本公式推导出来的。这些结论其实并不是真正的物理公式，但是利用这些结论去解题能够省时省力，可以提高解题的效率和解题的准确率，我们平时解题时一定要注意积累。