具有单一符号特征值的一阶拟线性双曲型方程组的精确边界能控性

朱本浩,于立新

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

双曲型方程组在理论和应用上都具有重大意义。文献[1]和[2]对线性双曲型方程组建立了精确能控性和一致稳定性的完整理论,文献[1]和[3]分别运用Hilbert唯一性方法和Schauder不动点定理提出了半线性波动方程的整体(局部)精确边界能控性。 对于拟线性双曲型方程组,文献[4-6]已经建立了完备的局部精确边界能控性理论。 基于此理论,文献[7-11]建立了树状网络中拟线性双曲型方程组的精确边界能控性理论。 之后,文献[12]和[13]提出了一种名为“节点精确边界控制”的精确边界控制,并且建立相应的完整理论。

以上所有关于拟线性双曲型方程组的理论均要求该拟线性双曲型方程组既具有正特征值又具有负特征值,然而,对于只含有正特征值(负特征值)拟线性双曲型方程组的研究少之又少。但是该情况在理论和应用上都有重大作用,如研究超临界非稳定流的精确能控性等,为研究该理论,本文将给出具有单一符号特征值的一阶拟线性双曲型方程组的初值问题和具有一般非线性边界条件的混合初-边值问题半整体解的存在唯一性,并在此基础上建立具有单一符号特征值的拟线性双曲型方程组的精确边界能控性理论。并且,本文将提出一种新的精确边界控制:在适当的时间T>0内,存在边界控制,使系统的解在给定时间内达到终端条件和给定节点条件。

考虑如下一阶拟线性双曲型方程组

(1)

其中,u=(u1,u2,…,un)是关于(t,x)的未知向量函数,A(u)是给定的具有光滑分量aij(u)(i,j=1,…,n)的n阶矩阵,F(u)=(f1(u),…,fn(u))是一给定的关于u的向量函数,其中fi(u)(i=1,…,n)充分光滑,并且

F(0)=0,

(2)

显然,u=0是方程组(1)的一个平衡点.

由双曲型的定义知,在考虑的区域上,矩阵A(u)有n个实特征值λi(u)(i=1,…,n)和一组线性无关的左特征向量li(u)=(li1(u),…,lin(u))(i=1,…,n),即

li(u)A(u)=λi(u)li(u) (i=1,…,n)。

我们有

det|lij(u)|≠0,

(3)

假设在考虑的区域上,特征值满足

λi(u)>0 (i=1,…,n) 。

(4)

令

vi=li(u)u(i=1,…,n)，

(5)

为了研究方程组(1)的精确边界能控性,给定初始条件

t=0:u=φ(x),0≤x≤L，

(6)

其中L是区间长度。给定如下边界条件

x=0:vi=hi(t) (i=1,…,n)，

(7)

其中hi(t)(i=1,…,n)是在其定义域上的C1函数。

第1部分给出了具有单一符号特征值的拟线性双曲型方程组(1)的柯西问题C1解的存在唯一性结论,以及双曲型方程组(1)混合初-边值问题的半整体C1解的存在唯一性结论。

在第2部分,基于具有单一符号特征值的拟线性双曲型方程组的混合初-边值问题的半整体C1解的存在唯一性结论,得到拟线性双曲型方程组(1)的经典精确边界能控性和一种新的精确边界能控性结论。

1 一阶拟线性双曲型方程组的半整体C1解

为了得到拟线性双曲型方程组(1)的精确边界能控性,有必要考虑其在区间[0,T]上的半整体C1解,其中T>0是已知的,适当大的数。文献[14]和[15]建立了既有正特征值又有负特征值的拟线性双曲型方程组混合初-边值问题半整体C1解的存在唯一性定理。 对于只有正特征值(负特征值)的情况,与文献[14]和[15]类似,我们有

引理1 假设aij(u),λi(u),fi(u)(i=1,…,n)和φ(x)都是关于其对应变量的C1函数,且式(2)、(3)和(4)成立。则柯西问题(1)和(6)在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}存在唯一的C1解u=u(t,x),其中t=t(x)是过点(t,x)=(0,0)的最小的特征线

且当||φ||C1[0,L]充分小(取决于T)时,u=u(t,x)的C1模充分小。

引理2 假设aij(u),λi(u),fi(u),hi(t)(i,j=1,…,n)和φ(x)都是关于其对应变量的C1函数,式(2)、(3)和(4)成立,且在点(t,x)=(0,0)的C1相容性条件成立,那么对任意给定的T0>0,混合初-边值问题(1)、(6)和(7)在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤t(x),0≤x≤L}上存在唯一的半整体C1解u=u(t,x),其中t=t(x)是过点(t,x)=(0,0)的最小的特征线

且当||φ||C1[0,L]和||hi||C1[0,L]充分小(取决于T0)时,u=u(t,x)的C1模充分小。

2 一阶拟线性双曲型方程组的精确边界能控性

本部分将讨论在一般非线性边界条件下,具有单一符号特征值拟线性双曲型方程组的精确边界能控性。 首先考虑任意给定初值φ∈C1[0,L]和终值ψ∈C1[0,L],能否找到时间T>0和在x=0处的边界控制hi(t)(i=1,…,n),使得混合初-边值问题(1)、(6)和(7)在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的半整体C1解u=u(t,x)满足终端条件

t=T:u=ψ(x), 0≤x≤L。

(8)

对此有如下定理:

定理1假设λi(u),li(u)和fi(u)都是关于其对应变量的C1函数,且式(2)、(3)和(4)成立。如果

(9)

则对任意给定C1模充分小的初值φ∈C1[0,L]和终值ψ∈C1[0,L],存在x=0处C1模充分小的边界控制hi(t)∈C1[0,L](i=1,…,n),使得混合初-边值问题(1)、(6)和(7)在区域R(T)上存在唯一的C1模充分小的半整体C1解u=u(t,x)满足终端条件(8)。

为了证明定理1,只需证明以下引理:

引理3在定理1的条件下,T>0由式(9)定义。对任意给定C1模充分小的初值φ∈C1[0,L]和终值ψ∈C1[0,L],方程组(1)在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整体C1解u=u(t,x),且满足初始条件(6)和终端条件(8)。

实际上,设u=u(t,x)是方程组(1)由引理3得到的一个解,令

hi(t)=vi|x=0(i=1,…,n)，

(10)

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定义,则u=u(t,x)是混合初-边值问题(1)、(6)和(7)在区域R(T)上满足终端条件(8)的半整体C1解。 由引理2知,此解唯一，因此我们实现所需的精确边界可控性,边界控制hi(t)(i=1,…,n)由式(10)定义。 下面来证明引理3。

证明由式(9)知,存在ε0>0使

(11)

令

(12)

(Ⅰ)首先考虑方程组(1)的后向混合初-边值问题:终端条件(8)和人为给定边界条件

x=L:vi=fi(t),T1≤t≤T(i=1,…,n),

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定义,fi(t)∈C1[T1,T](i=1,…,n)为任意给定关于t的C1模充分小的函数,且在点(t,x)=(T,L)满足C1相容性条件。 由引理2,在区域Rb={(t,x)|T1≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整体C1解u=ub(t,x)。

特别地,有|ub(t,x)|≤ε0, ∀(t,x)∈Rb。

定义ub在x=0处的值为

由式(11)和(12)知,存在定义在区间[0,T]上C1模充分小的C1函数a(t),在(t,x)=(0,0)点和初始条件(6)满足C1相容性条件,且

(Ⅱ)考虑方程组(1)的前向混合初-边值问题:初始条件(6)和边界条件

x=0:vi=li(a(t))a(t) (i=1,…,n)，

(13)

易知混合初-边值问题(1),(6)和(13)在(t,x)=(0,0)处满足C1相容性条件。 由引理2知,在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一C1模充分小的半整体C1解u=u(t,x)。

特别地,有|u(t,x)|≤ε0, ∀(t,x)∈R(T)。

(Ⅲ)为了完成引理3的证明,只需证明u=u(t,x)满足终端条件(8)。 由于方程组(1)没有零特征值,对换t和x的位置,方程组(1)可以被等价改写为

(14)

显然

易知A-1(u)和A(u)具有相同的特征向量,因此对于方程组(14),vi(i=1,…,n)依然可以由式(5)定义。

由引理1,方程组(14)具初始条件

(15)

由式(5)定义函数

V=(v1,v2,…,vn)=L(u),

(16)

其中u=(u1,u2,…,un)。

当u=0时

(17)

由反函数定理知在u=0附近存在反函数L满足

L-1(V)=u,

(18)

若u=u(t,x)满足边界条件

x=0:vi=li(a(t))a(t), 0≤t≤T(i=1,…,n),

(19)

有u=u(t,x)也满足

x=0:u=L-1(v)=L-1(L(a(t)))=a(t),

(20)

u(t,x)≡ub(t,x)≡ur(t,x)。

(21)

定理2假设λi(u),li(u)和fi(u)都是关于其对应变量的C1函数,且式(2)、(3)和(4)成立。如果

(22)

为了证明定理2,只需证明以下引理:

实际上,设u=u(t,x)是方程组(1)由引理4得到的一个解,令

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定义,则u=u(t,x)是混合初-边值问题(1)、(6)和(7)在区域R(T)上满足终端条件(8)和边界值(21)的半整体C1解,由引理2知此解唯一。 因此我们实现了精确边界可控性,且边界控制hi(t)(i=1,…,n)由式(10)定义。 下面证明引理4。

证明由式(22)知,存在ε0>0使

(23)

令

(24)

(Ⅰ)首先考虑方程组(1)后向混合初-边值问题:终端条件(8)和边界条件

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定义,由引理2在区域Rb={(t,x)|t(x)≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整体C1解u=ub(t,x)。

特别地,有

|ub(t,x)|≤ε0, ∀(t,x)∈Rb。

定义ub在x=0处的值为

由式(23)和(24)知,存在定义在区间[0,T]上C1模充分小的C1函数a(t),在(t,x)=(0,0)点和初值(6)满足C1相容性条件,且

(Ⅱ)考虑方程组(1)的前向混合初-边值问题:初始条件(6)和边界条件

x=0:vi=li(a(t))a(t) (i=1,…,n),

(25)

易知混合初-边值问题(1),(6)和(25)在(t,x)=(0,0)处满足C1相容性条件。 由引理2知,在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一C1模充分小的半整体C1解u=u(t,x)。

特别地,有

|u(t,x)|≤ε0, ∀(t,x)∈R(T)。

(Ⅲ)为了完成引理4的证明,只需证明u=u(t,x)满足终端条件(8)和边界值(21)。 由于方程组(1)没有零特征值,对换t和x的位置,方程组(1)可以被等价改写为

(26)

显然

易知A-1(u)和A(u)具有相同的特征向量。 因此对于方程组(26),vi(i=1,…,n)依然可以由式(5)定义。

由引理1,方程组(26)具初始条件

(27)

由式(5)定义函数

V=(v1,v2,…,vn)=L(u),

其中u=(u1,u2,…,un)。

当u=0时,

由反函数定理知在u=0附近存在反函数L满足

L-1(V)=u。

若u=u(t,x)满足边界条件

x=0:vi=li(a(t))a(t),

0≤t≤T(i=1,…,n),

则u=u(t,x)也满足

x=0:u=L-1(V)=L-1(L(a(t)))=a(t),

u(t,x)≡ub(t,x)≡ur(t,x)。

(28)

证明首先考虑方程组(1)的前向混合初-边值问题:初始条件(6)和边界条件

(29)

特别地,有

|uf(t,x)|≤ε0, ∀(t,x)∈Rf。

(30)

令

则方程组(1)具初始条件(6)和边界条件

x=0:vi=hi(t), 0≤t≤T(i=1,…,n)

的前向混合初-边值问题在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整体C1解u=u(t,x)且满足终端条件(8)。 由于u=u(t,x)满足式(29),与式(16)-(20)的证明类似,易知u=u(t,x)满足边界值(28)。 定理3得证。

由定理2和定理3,显然有如下定理: