飞轮储能装置建模与振动仿真分析

朱由锋，刘新华，王 良，王 强

（1.山东科技大学交通学院，山东 青岛 266590；2.山东国金新能源汽车工程研究院，山东 淄博 255000）

1 引言

地铁轨道交通系统具有站点多，间隔小，频繁启停的特点，容易造成电能利用率低的问题。主流地铁机车采用电制动为主，空气制动为辅的联合制动策略，在高速行驶制动时，具有机械制动频度高、闸瓦及车轮使用年限短的问题[1]。飞轮储能地铁再生制动能量回收装置能减少能源消耗、稳定线网电压、推进国家环境友好型社会的建立。目前四类地铁再生制动能量方案中，飞轮储能在功率密度、能量回收效果和使用寿命等方面都优于其它三类（电阻能耗型、逆变回馈型和超级电容）。

飞轮电池不同于化学燃料电池，用传统的物理方法进行储能。它通过真空室内转子的高速旋转来储存机械能量，并由电子电力转换转置实现机械能与电能的互相转化[2]。主要由转子、轴、支撑轴承、电动机/发电机、真空室和电力电子变换器等组成[3]。其中，支撑轴承采用磁悬浮轴承，发动机/电动机为复合电机，采用轴向气隙永磁无刷电机作为飞轮电池的副动力结构，为飞轮转子提供直接动力。电子电力转换装置采用双向储能变流器[4]。这里只对飞轮电池磁悬浮转子系统做深入分析和研究。

国内外学者对飞轮储能磁悬浮转子系统进行了深入分析研究。文献[5]在有限元模型的基础上，抛却以往的刚性转子模型，对转子作为柔性转子进行了研究。得出了控制器抑制与弯曲模式相关的临界振动有关的结论。文献[6]采用Prohl-Myklestad方法对飞轮储能系统转子进行了转子动力学分析，得到了转子的临界转速和不平衡响应。文献[7]通过线圈组的环形结构和差动绕组方案得到PMB和HMB的线性磁力模型，在所建立的磁力模型的基础上，设计了径向稳定转子悬浮的积分滑模控制器。文献[8]借助Poincare影射和Lyapunov指数发现，在某些特定的参数下，系统会出现周期运动、Hopf分叉、概周期运动、倍周期运动分叉、混沌现象。

目前关于飞轮储能装置磁悬浮转子系统的研究大都是五自由度刚性模型，取转子的自激振动为激励源，忽略了定子基础振动对高速旋转的磁悬浮转子振动行为的影响。基于此，在飞轮电池磁悬浮转子五自由度模型的基础上，增加了与转子支撑轴承固定连接的定子三自由度模型，旨在形成飞轮电池模型标准件，为飞轮电池的工程应用奠定理论基础。

2 模型建立

2.1 飞轮电池及磁轴承模型的建立

飞轮电池定子受到外部激励，产生基础振动，与其固定连接的磁悬浮轴承与转子之间产生相对位移。根据电磁力公式，电磁力作用到转子上，重新调节转子的位置。将飞轮电池竖直放置，来抑制和减小磁悬浮转子的陀螺效应[9]，利用整体法和能量法建立了系统的八自由度模型，即定子的侧倾、俯仰和竖直方向的自由度，磁悬浮转子在磁轴承A和B处的x和y方向的位移以及竖直方向的位移。将磁悬浮转子放置在定子的质心处，系统模型，如图1、图2所示。

图1 飞轮电池系统结构模型Fig.1 Structure of Flywheel Battery System Model

图2 磁悬浮转子结构示意图Fig.2 Schematic Diagram of Magnetic Suspension Rotor Structure

图中：M—飞轮电池系统的总质量；θ—系统在yz平面内的转角；φs—系统在xz平面内的转角；Jxs—绕x轴的转动惯量；Jys—绕y轴的转动惯量；q1，q2，q3，q4—基础激励；k1，k2，k3，k4-定子支撑弹簧刚度系数；c1，c2，c3，c4—定子支撑阻尼系数；l—飞轮电池长度；b—飞轮电池宽度；h—飞轮电池高度。

图中：ω—转子转速；Mr—转子质量；m—转子不平衡质量；e—偏心距；θr—转子yz平面内转角；φr—转子xz平面内的转角；Jxr—转子绕x轴转动惯量；Jyr—转子绕y轴转动惯量；Jzr—转子的极转动惯量；A和B—磁悬浮轴承；LA—转子质心到A轴承质心的距离；LB—转子质心到B轴承质心的距离；xA—转子在磁轴承A处沿x方向的距离；xB—转子在磁轴承B处沿x方向的距离；yA—转子在磁轴承A处沿y方向的距离；y—转子在磁轴承B处沿y方向的距离；zr—竖直方向位移。

式中：μ0—真空磁导率；Ar—磁悬浮轴承的有效磁极面积；N—线圈匝数；C—转子和磁悬浮轴承之间的初始位置气隙；I—通过磁悬浮轴承线圈的偏置电流；ic—通过线圈的控制电流，△δ—定子相对于转子产生的位移。将上式在平衡处（ic=0，△δ=0）一阶泰勒公式展开，忽略式中非线性项的影响，线性化可得：

ic是关于位移△δ的函数，由具体的控制方式来决定。交叉反馈控制是在PD控制的基础上，提取径向位移差分信号，将交叉反馈项加入到PD控制中。具有调节迅速，稳定性好的特点，且能很好消除转子陀螺效应影响。则控制电流与改变位移的关系为：

式中：kp—比例增益；kd—微分增益；kv—交叉反馈增益系数。

通过计算，交叉反馈增益系数表达式为：

用偏频方法设计定子悬置弹簧刚度系数，用最佳阻尼比方法，取悬置阻尼系数。定子受到四角激励，产生微小运动的过程中与转子产生间隙，继而产生激扰力，其表达式与电磁力表达式相同，如下：

2.2 定子激励的选取

将飞轮储能装置与机车看作整体，忽略铁轨和地铁车轮的影响。地铁加速过程中，地面振动会激励定子，定子发生微小运动，磁悬浮轴承与转子之间会有位移的改变。根据电磁力公式，产生的电磁力会重新调节转子位置。文献[11]研究表明，地铁地面振动的主要频率成分主要在（50～80）Hz之间。在MATLAB中用eig 函数对转子模型方程进行模态分析，其四阶固有频率为49.7Hz。采用50Hz的正弦激励作为飞轮储能系统的外部激励。

3 数值仿真

采用数值积分方法，对系统微分方程进行求解。飞轮储能装置的结构参数参考文献[12]中一款飞轮电池的实际数据。

用闪频法得到飞轮电池转子转动角速度参数的分岔图，如图3、图4所示。转子转动角速度处于（0～3980）rad/s区间时，系统收敛为直线，磁悬浮转子处于稳定状态。当转动角速度超过3980rad/s时，分岔图是离散排布无规律的点集，系统进入失稳混沌区间。此区间内，转子系统容易出现碰摩故障，严重影响着飞轮电池的使用寿命和安全性。

图3 转子质心X方向分岔图Fig.3 Rotor Centroid X Direction Bifurcation Diagram

图4 转子质心Y方向分岔图Fig.4 Rotor Centroid Y Direction Bifurcation Diagram

选取飞轮电池转子运行周期内临界转速（3980rad/s）和失稳转速（4093rad/s）进行分析。PSP图是由文献[12]提出，经过验证的振动分析工具。它是用激扰力周期内的峰—峰值和对应的采样周期数在二维平面图内确定的一系列点构成的图形，可以清楚的分辨系统的周期、概周期和混沌运动。当转子的转速上升到3980rad/s时，转子质心Y方向的幅值变得参差不齐，相图也变为多个不同心的圆，峰值图的直线部分逐渐开始发散，庞加莱截面图变为许多点组成的类圆形，可知，当磁悬浮转子的转速ω=3980rad/s时，转子处于概周期运动，如图5所示。

图5 ω=3980rad/s时转子响应曲线Fig.5 Rotor Response Curve at ω=3980rad/s

转子的转速增加到4093rad/s时，转子振动不断加剧，转子质心Y方向的时间历程图出现“拍振”现象，峰值图和庞加莱截面变为散乱的点集，可知此时转子运动状态极不稳定，处于混沌状态，如图6所示。

图6 ω=4093rad/s转子响应曲线Fig.6 Rotor Response Curve at ω=4093rad/s

将地铁运行过程中，飞轮电池磁悬浮转子质心Y方向的关于时间序列的数据通过傅里叶变换，得到不同控制参数下的幅频特性曲线，如图7所示。

图7 不同转动角速度下磁悬浮转子幅频特性曲线Fig.7 Amplitude-Frequency Characteristic Curve of Magnetic Suspension Rotor Under Different Rotational Angular Velocities

转子转速为3000rad/s时，共振频率分别为0.05Hz和3.8Hz，无控制器作用时，对应的幅值分别为23.4μm和5.0μm，交叉反馈控制对应的幅值分别为1.01μm和4.50μm。转速为3980rad/s时，共振频率分别为0.1Hz和5.0Hz，无控制器作用时，对应的幅值分别为60.7μm和4.29μm，交叉反馈控制对应幅值分别为1.3μm和4.28μm。转子转速为4093rad/s 时，共振频率分别为0.2Hz 和5.1Hz，无控制器作用时，对应的幅值分别为98.6μm和5.3μm，交叉反馈控制对应幅值分别为1.29μm和3.68μm。

4 结论

建立了飞轮储能八自由度模型，以地铁加速工况造成的地面振动为外界激励，对飞轮电池磁悬浮转子系统振动响应进行了深入分析。

（1）地铁运行过程中，磁悬浮转子稳定转动区间（0～3980）rad/s，超过临界转速之后，系统会出现“拍振”现象，非线性振动明显加剧。飞轮储能装置进行动能回收时，应该进行转速约束，防止因转子失稳而降低飞轮储能装置效率。

（2）交叉反馈控制能够明显减小转子质心处的位移。在高速下，质心处幅值降幅更加明显。采用交叉反馈控制来稳定转子系统，可靠性高，稳定性好。