设滑动支座的墩柱计算长度系数近似解法

吴军鹏， 张运清， 张珠皓

(山东省交通规划设计院有限公司， 山东 济南 250031)

对于简单约束的柔性杆件，经典力学给出了相应的计算方法和计算长度系数。一端固定，一端自由时，为2.0；一端固定一端铰接时，为0.7；而实际工程中，墩柱的受力状态介于二者之间，0.7～2.0的范围过于宽泛，往往给设计人员造成困扰。有些文献对设置固定支座或普通板式橡胶支座的桥墩进行了研究，得出了比较详细且适用于工程应用的结论，但对大量应用的设滑板支座的桥墩计算长度系数的研究，报道较少。该文将进行这方面的研究。

1 推演分析

根据桥墩受力平衡条件和变形情况：

M(x)=Fcr(δ-ω)+F(L-x)=-EIω″

(1)

式中：Fcr为竖向压力，即最终求解的失稳临界力；F为阻止继续产生失稳变形的摩阻力；其他参数见图1。

图1 计算图示

为得到该微分方程简单形式的解析解，需将其表示为Fcr的函数。考虑到各种不确定因素(温度高低、有无硅脂、接触面是否洁净等)，将摩阻力对墩柱稳定的有利作用进行折减，偏安全地，令：

F=0.5μFcr

式中：μ为支座的摩阻系数。

再令：

于是式(1)可转化为：

ω″+k2ω=k2[δ-0.5μ(L-x)]

(2)

该微分方程的通解为：

ω=Asin(kx)+Bcos(kx)+[δ-0.5μ(L-x)]

边界条件如下：

(1)x=0，ω=0；

(2)x=0，ω′=0；

(3)x=L，ω=δ。

由边界条件(1)、(2)，有：

B+δ-0.5μL=0

Ak+0.5μ=0

解得：

B=-δ+0.5μL

由边界条件(3)，有：

Asin(kL)+Bcos(kx)+[δ-0.5μ(L-x)]=δ

将A、B代入上式，整理后得：

(3)

式(3)即为设滑动支座的墩柱压弯稳定微分方程解。但该式为超越方程，且含有不确定的参数，直接将该式应用于工程实践有一定困难，需要对该方程进行简化分析。

注意到，δ为当前墩顶水平位移(Fcr作用下继续滑动即认为失稳)，它包括两部分：δ=δ1+δ2。δ1为施工时墩顶的初始偏位；δ2为温度力、制动力使墩顶产生的位移。

根据有关规范，δ1取min(0.02 m，L/1 500)，为方便分析超越方程、简化计算，取L/1 500(该项对结果影响很小，详见后文)。

由于设滑动支座，δ2由摩阻力控制，于是：

(4)

式中：W为作用于滑动支座的竖向力。在弹性范围内，混凝土的最大压应变为0.002，于是在极限状态下，可以偏安全地认为：

(5)

将式(5)代入式(4)：

式中：

为区别于计算长细比，这里暂且将λz称之为自然长细比，i为墩柱的回转半径。

于是：

将上式代入式(3)，整理后得到：

(6)

下面对式(6)进行分析：

将kL看成单独变量，令kL=t，等号两边，分别看做两个函数：

y1=tant

当y1=y2时，t值即是方程(6)的解。

注意到，y1为周期函数，y2为一条直线(括号中式子为其斜率)。理论上讲，其解有无数个，但作为稳定分析，这里仅关注其第1阶失稳模态，即第一个非零解。利用图解法(图2)，可得到：

图2 图解示意

交点横坐标即是t值(即kL值)。该图可采用Matlab绘出，或采用Excel等工具间接获得t值，在此不赘述。

回到前文中的假设：

根据欧拉公式：

为区别于前文中的摩擦系数，这里，计算长度系数用ζ表示。可得：

(7)

将kL值(t值)代入式(7)即可求出设滑动支座的墩柱计算长度系数。

下面考察kL值的影响因素：

JTG D60—2015《公路桥涵设计通用规范》中，对各种滑动支座与不同接触面的μ值有明确规定，为0.03～0.12。则上式第一项取值范围为[0.044, 0.011]，得到λz取值范围为[26.77,27.23]。直观起见，以圆形墩柱为例，将其换算为柱高L与柱径D的比值：

这与矮墩取大值、高墩取小值的习惯相反，应引起设计人员的注意。

需要特别说明的是：上文中的L值，对于群桩承台基础或扩大基础，柱的高度自承台或扩大基础顶算起；对于排架墩，应包含冲刷深度和嵌固深度[根据工程经验，反弯点约在冲刷线以下(1.0～1.5)D范围内，这与地基土的m值有关]。

2 方程的近似解法

通过图解法或借助Excel可得到墩柱的计算长度系数，但过程比较繁琐，不易于进行批量分析。

将上文中y1=tant在(π/2，π)上进行泰勒展开：

为避免解5次方程，这里舍去高阶项，仅保留前两项，同时，令：

于是可得：

整理后：

(t-π)3+(3+3a)(t-π)+3aπ=0

a<-1时(此时才有实根)，该三次方程的实根为：

t-π=

由于舍去了5阶及以上的项，方程的解存在一定误差。经试算，在λz<32的范围内，其解是足够精确的。λz=32时，t值的误差为4%～5%(μ值的影响)。

根据工程一般情况，由上文分析，仅取(1.7，π)之间的根。得到t值(即kL值)后，由式(7)即可得出计算长度系数ζ。

以上方程的解虽然形式复杂，但易于采用软件批量计算。但应注意适用范围，以免产生较大误差。

3 常用范围数据表

解析法虽然可实现批量计算，但应用范围有限，实际应用中可能会出现λz大于32的情况，会导致误差超过5%。因此有必要根据滑动支座不同的μ值和墩柱的λz值，编制成数据表格。

表1 常用尺寸范围摩阻墩计算长度系数表(μ为摩阻系数)

英国规范BS 5400中规定，对于墩顶产生水平移动的墩柱，其计算长度系数取1.41，符合墩高在8.5D左右的计算长度系数。

4 结语

该文仅讨论了设滑动支座的墩柱，对普通板式橡胶支座和固定支座的研究详见文献[4]。当墩柱较高时，应判断支座在水平力作用下是否滑动，若未产生滑动，尚应按固定支座计算。

推演过程中采用了较多保守性假设条件，且未考虑滑动支座对桥墩的转动约束，因此，得出的计算长度系数比实际略大。