基于牵制控制的切换布尔网络的分布式集合镇定

蒋梦涵, 李海涛

(山东师范大学数学与统计学院,山东济南 250014)

1 引言

1969年,考夫曼[1]提出了用布尔网络去建模基因调控网络.布尔网络是一类离散时间有限值动态系统.用布尔网络建模基因调控网络时,每个基因有“1”和“0”两种表达形式,分别表示基因的激活与非激活状态,并且每个基因的状态更新受自己及其邻居基因的影响.因此,利用布尔网络来研究基因调控网络的结构和性质是一种有效的方法,其网络特性对该问题的研究起到了至关重要的作用,成为学术界的一个热点研究问题.布尔网络不仅被用在生物系统中[2],而且还被用来研究网络演化博弈[3]、大规模集成电路[4]、内燃机[5]、网络故障定位[6]、移位寄存器[7].

程代展教授提出了矩阵半张量积这一有效数学工具来研究布尔网络.使用矩阵半张量积,布尔网络可被转化为代数状态空间形式[8],进而为利用经典控制理论研究布尔网络搭建了桥梁[9].近年来,使用矩阵半张量积方法,关于布尔网络的若干基本问题得到了深入研究,包括能控性[10-13]、能观性[14-17]、干扰解[18-20]、输出跟踪[21-22]等.值得一提的是,作为自动控制领域的基本问题,稳定和镇定在布尔网络的研究中起着重要作用,包括揭示一些生命现象以及设计疾病的干预治疗方案等.矩阵半张量积方法在布尔网络的稳定和镇定方面也得到了较为成熟的应用,一些有效的控制设计方法被提出,包括能达集方法[23]、Lyapunov 函数方法[24-25]、采样控制[26-27]、牵制控制[28-29]、事件触发控制[30]、凸规划[31]等.

研究表明,对于生物系统或复杂网络,当对一部分节点施加控制时,可能更易表现出系统或网络的优良特性[32].例如,对状态Mdm2和Wipl施加控制可以促进细胞凋亡[33].这种控制策略称为牵制控制.文献[34]将牵制控制引入到布尔网络中.一般来说,布尔网络的牵制控制有两种方法:第1种为选择一些牵制节点来施加控制[34];第2种方法是通过改变状态转移矩阵的列来构造牵制控制[28].

在实际基因调控网络中,多模态切换过程大量存在.从细胞层面来看,真核细胞的生长与分裂可以看作由四大过程形成的多模态切换过程[35].将控制输入看作切换信号时,布尔控制网络可以看作切换系统[36].近年来,切换系统在理论发展和实际应用上得到了广泛的关注[37].特别地,国内外很多学者使用矩阵半张量积研究了切换布尔网络的能控性[38]、稳定和镇定[39]、同步控制[40]、输出跟踪[21]等问题,并取得了许多优秀的成果.据笔者所知,目前尚未发现使用牵制控制方法研究切换布尔网络任意切换集合可稳的文献.

集合镇定是非线性控制中一个非常重要的问题,有着重要的实际应用[41-42].它的基本思想为,一个系统或一组相互关联的系统是否能收敛或镇定到状态空间中的某个集合[42].集合镇定问题可以认为是传统镇定问题的推广.近年来,布尔网络的集合镇定问题也得到了广泛关注,在同步控制[43]、输出跟踪[44]等方面得到了重要应用.然而,切换布尔网络的分布式集合镇定问题尚无相关研究结果.

本文使用牵制控制策略,研究切换布尔网络的分布式集合镇定问题.本文的创新点总结如下:一方面,本文给出带牵制控制的切换布尔网络的代数形式,并建立切换布尔网络在任意切换信号下集合镇定控制器的设计方法;另一方面,本文定义新的矩阵除法对控制器进行降维,给出分布式控制器的设计方法.

本文剩余部分组织如下:第2节给出矩阵半张量积的基本知识.第3节给出切换布尔网络以及带牵制控制的切换布尔网络的方程及等价代数形式.第4节给出本文的主要结果.第5节给出本文的结论.

本文使用的符号列举如下:

1) Z+和N分别表示正整数集和自然数集.

2) Coli(A)表示矩阵A的第i列,Col(A)表示矩阵A的所有的列组成的集合.

2 预备知识

本文使用的主要工具为矩阵半张量积,本节对其定义和主要性质进行回顾.

定义1 令A ∈Rm×n,B ∈Rp×q.A与B的矩阵半张量积表示为AB,其定义为

这里l=lcm(n,p)是n和p的最小公倍数,⊗表示矩阵的张量积.

这里,F称为逻辑函数f的结构矩阵.

3 问题描述

有n个节点和m个模态的切换布尔网络可以描述为

4 主要结果

4.1 牵制控制设计

首先给出系统(4)任意切换集合可稳和切换-状态转移图的定义.

定义2(任意切换集合可稳) 给定非空集合O ⊆Dn,如果对于任意切换信号σ:N→W和任意初始状态x0∈Dn,都存在正整数T,使得对于任意正整数t≥T,都有x(t;x0)∈O,则称切换布尔网络(4)任意切换可稳到集合O.

定理1 若Π ⊆O,则系统(4)任意切换可稳到集合O.

证 用反证法.若Π ⊆O,但系统(4)不能任意切换可稳到集合O,即存在切换信号σ:N→W,存在初始状态x0∈Dn,对于任意正整数T,存在时刻t≥T,满足x(t;x0)/∈O.当T充分大时,x(t;x0)∈Π,这与Π ⊆O矛盾.证毕.

令Li=δ2n[ri,1··· ri,2n],i=1,··· ,w.基于定理1,下面给出一个算法使系统(4)任意切换可稳到给定集合O.=1,··· ,w中的第r1,··· ,rm列元素转化为集合O中的元素,得到L′i,i=1,··· ,w;

进而,根据定义3,Lσ(t)所对应的切换-状态转移图即可获得,如图1所示.

图1 例1中对应L′1和L′2的切换-状态转移图Fig.1 Switching-state transition graph corresponding to L′1 and L′2 in Example 1

对应的切换-状态转移图如图2所示.

图2 例1中对应L′′1和L′′2的切换-状态转移图Fig.2 Switching-state transition graph corresponding to L′′1 and L′′2 in Example 1

4.2 分布式控制设计

使用矩阵半张量积方法,系统(8)可以表示为如下代数形式:

步骤2 构造矩阵B=δm[γ1··· γq],满足Colβj(B) = Colj(A),j= 1, ···,n; 当k ∈{1, ···,2n}{βj:j=1,··· ,n}时,Colk(B)∈Δm.

定义4 给定逻辑矩阵A ∈Lm×n,C ∈Lq×n,若存在B ∈Lm×q使得A=BC,则通过算法2得到矩阵B的运算叫做A对C的矩阵除法.

注6矩阵除法合法的前提条件与文献[46]中定理4的前提条件相同.

5 结论

本文使用牵制控制的方法解决了切换布尔网络在任意切换下集合可稳的问题.基于代数状态空间方法,给出了具有牵制控制的切换布尔网络的代数形式.基于该代数形式,给出了一个通过改变列来使得切换布尔网络任意切换集合可稳的算法,并根据变化后的状态转移矩阵,设计出相应的状态反馈牵制控制.此外,本文使用逻辑矩阵分解的思想解决了切换布尔网络的分布式集合镇定问题.未来的研究可致力于优化本文所提出的分布式牵制控制方法,并用来解决同步控制,跟踪控制等问题.