双寡头企业混合博弈的复杂动力学分析

张 亚 鹏

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

寡头之间的竞争可以是横向的亦可以是纵向的。对于上下游寡头博弈的研究，以前侧重于静态分析，从复杂性角度进行的动态分析很少。1984年，SINGH等首次构建了古诺-伯川德混合博弈模型[1]，在该模型中，一个寡头企业选择调整产量作为唯一的竞争手段，另一个选择调整价格作为唯一的决策手段。到目前为止，关于古诺-伯川德混合模型的研究成果相对较少[2-8]。XIN等[9]建立了一个上下游动态主从博弈模型，分析了该模型的平衡点，通过数值模拟展示了该模型的最大Lyapunov指数、分岔、时间序及相图，讨论了价格波动和混乱控制对企业福利的影响。张军果等[10]研究指出双方合作时可达双赢，计算出了Pareto改进条件下的最优结果。赵萍等[11]基于最优反应决策和信念更新两种新模式提出了博弈问题的均衡解。卢亚丽[12]提出了一个双寡头主从Bertrand价格博弈模型,两个寡头分别采取适应性策略和有限理性策略，发现持有有限理性预期的寡头策略调整速度对系统的稳定性有更大的影响。如果调整速度过快,系统会经由倍周期分岔进入混沌。周伟等[13,14]基于研发溢出研究了双寡头模型的动力学行为。张雅慧等[15]基于延迟有限理性建立含溢出效应的双寡头垄断市场博弈模型，研究表明，合理调整企业速度可使系统尽可能长地处于稳定状态。赵娜等[16]在有限理性的基础上建立动态混合双寡头模型，发现通过使用延迟控制能使系统的混沌状态得到有效控制。

本文利用非线性动力学理论和博弈理论，在国内外关于古诺-伯川德混合博弈研究成果的基础上，建立了制造业上下游寡头博弈的博弈模型。计算分析均衡点的存在性及稳定性，研究寡头企业的股权份额及调整速度等决策对系统稳定域的影响，分析各变量对各寡头企业利润的影响，采用分岔图、最大Lyapunov指数图、时间序列图及吸引盆等研究混合博弈模型的复杂动力学行为。

1 模型建立

建立由上游企业进行价格竞争和下游企业进行产量竞争双寡头企业博弈模型，上游企业的产品是向整个市场提供的，上游寡头的上游产品需求函数(产量)和下游企业的采用上游企业产品的合成品的逆需求函数(价格)分别为

(1)

其中：ai>0为公司i的潜在需求量；d为上游企业价格变动对下游企业价格的影响程度，d∈(0,1)；q1和p1分别为上游企业的上游产品的产量和价格；p2和q2分别为下游企业的产量和价格。 假设各企业的成本函数为二次函数，则

Ci=ciqi2

(2)

其中ci>0。由于下游企业从上游企业处获得产品进行加工合成，且上游企业对下游企业进行参股既可获得市场又可获得利润，设其参股比例为θ(θ∈(0,1))。则可得下游企业利润函数

π2=p2q2-C2=(a2-(b2+c2)q2+dp1)q2

(3)

进而可得上游企业的利润函数为

π1=p1(a1-b1p1)-c1(a1-b1p1)2+θ(a2-(b2+c2)q2+dp1)q2

(4)

两个企业的相对利润[17]分别为

(5)

分别关于p1,q2求一阶偏导可得系统的边际相对利润为

(6)

在现实的市场竞争中，企业间不能获得完全的信息，他们不知道对方的价格或产量决策，无法通过计算边际函数获得最优选择。 本文假设两企业均为有限理性，即如果企业在第t个调价周期的边际相对利润是正的，则企业在第t+1期将会增加产量(价格)。否则，如果企业第t期的边际相对利润是负的，则企业在第t+1期将采取相反的决策。进而该上下游企业的动态博弈系统可以表示为：

(7)

其中:ξ1和ξ2分别表示两个企业的决策调整速度，ξ1和ξ2体现了各企业调价周期的长短;p1(t+1)和p1(t)分别表示公司1在第t+1期和第t期的价格决策;q2(t+1)和q2(t)分别表示公司2在第t+1期和第t期的产出决策。

2 均衡点的稳定性分析

为研究系统(7)的稳定性变化，令p1(t+1)=p1(t)，q2(t+1)=q2(t)，可得

(8)

计算可得系统的四个均衡点分别为

E0,E1,E2位于坐标平面的边界上，称为边界均衡点；E*位于坐标平面内部，称为纳什均衡点。由于均衡点的非负性及参数的非负性，可得Yi>0(i=1,2,3)，Z>0，X，F，G同号，进而可得R>0，由于G=2b1R+dZ，结合前面的参数分析可得G>0，因此可得X>0，F>0。综合可得系统的参数需满足的可行集为

Γ={(X,Yi,Z,R,F,G)|X,Yi,Z,R,F,G>0}。

(9)

对均衡点的稳定性进行分析，可计算其Jacobi矩阵的特征值分析。首先给出决策变量(p1,p2)的Jacobi矩阵J=(p1,p2)，即

(10)

其中，存在以下的四个关系式：

J11=1+ξ1[a1Y1-4b1p1Y3-Zq2];J12=-ξ1p1Z;J21=ξ2q2Z;J22=1+ξ2[(1-θ)(a2-2Y2q2)+Zp1]。很容易证明唯一的纳什均衡点E*存在，边界均衡点E0，E1，E2不稳定。

命题1 边界均衡点E0为一不稳定的结点。

证明：将E0=(0,0)带入式(10)可得其Jacobi矩阵为对角阵

其特征值为其对角线元素，即λ1=1+ξ1a1(1+2b1c1)和λ2=1+ξ2a2(1-θ)，结合前文参数分析可得|λ1|>1，|λ2|>1，因此，E0为一不稳定的结点。

对于纳什均衡点E*的局部稳定性，考虑其Jacobi矩阵

(11)

其特征值满足特征方程Φ(λ)=λ2-λTr(E*)+Det(E*)=0，Tr(E*)为Jacobi矩阵的迹，Det(E*)为行列式，有

(12)

(13)

当且仅当满足Jury稳定性判据时纳什均衡点局部稳定，Jury判据为

(14)

(15)

(16)

2G-2ξ1b1XY3-ξ2(1-θ)FY2>0

(17)

2ξ1b1XY3+ξ2(1-θ)FY2-2ξ1ξ2(1-θ)FX>0

(18)

综上可得，当且仅当满足

(19)

时，可得Nash均衡点E*局部渐近稳定。

基于上述对E*的局部稳定性所做的分析，可在调整速度(ξ1,ξ2)平面结合其稳定域做进一步的解释。 固定一组参数a1=1.062 5，a2=1.509 1，b1=0.097 6，b2=0.313 1，c1=1.160 4，c2=2.178 8，d=0.121 5，θ=0.605 7。当初值为(p1,q2)=(1.260 8,0.639 1)时，可得系统在调整速度(ξ1,ξ2)平面上的稳定域如图1所示，图中的棕色区域表示系统在这组参数下的稳定域，白色区域为非稳定域。固定其他参数，随着调整速度的逐步增加系统会逐渐失去其稳定性，因而当ξ1和ξ2取较小的值时会更有利于系统的稳定。改变θ值时的分岔曲线图如图1所示，图中红、黑、蓝表示的3条稳定域的分岔曲线分别对应于θ=0.405 7、θ=0.605 7、θ=0.705 7，可观察到随着θ值的增加系统的稳定域会逐渐增大，其形状没有明显的变化，稳定域在横轴上基本也没有变化，其变化主要体现在纵轴上，且在纵轴上会有一定程度的扩展。

图1 系统在调整速度平面(ξ1,ξ2)上的稳定域及变化θ值时的分岔曲线图

3 数值模拟

为进一步研究该系统的复杂动力学行为，通过应用数值模拟找出参数在市场动态演化中的作用如图2所示。首先取(ξ1,ξ2)作分岔参数得系统双参图，在图1参数的基础上固定θ=0.605 7，通过图2(a)所示的双参图对其进入混沌的路径进行研究。

(a) 系统的双参图 (b) 区域[1.5,1.7]×[2.6,2.9]的局部放大

(c) 区域[1.56,1.618]×[2.66,2.76]的局部放大 (d) 图(c)对应的双参最大Lyapunov指数图

在图2(a)中，不同的颜色对应于不同的周期数，颜色棒中的颜色从下至上逐步进入混沌甚至逃逸域。图中的棕色区域与图1(a)中的稳定域相一致，图2(a)中的黑色区域为混沌域，其对应的周期数大于100，从该区域开始的轨迹收敛为大周期、准周期或者混沌吸引子，而白色区域表示系统的逃逸域，区域中开始的轨迹经有限次迭代后均是发散的。从图2(a)中可观察到系统会经由两条路径进入混沌，分别为flip和Neimark-Sacker路径。在图2(a)中可发现系统在区域[1.5,1.7]×[2.6,2.9]上具有更为丰富的动力学现象，对其进行局部放大可得图2(b)，发现系统存在大量的周期“舌”，表现为一种周期振荡现象，市场可以通过控制或调整ξ1或ξ2使市场能够从混沌回到可控的局面。ξ1和ξ2的值越小，表明企业的调整速度越慢，企业的利润趋于稳定。较高的ξ1或ξ2值表示企业在某一个时期内的价格或产量有大的增量，此时系统将会变得不可控。 当系统陷入混沌时，企业将无法获利，导致竞争对手占据主导地位，这是市场各个企业都不愿看到的现象。

对图2(b)中区域[1.56,1.618]×[2.66,2.76]进行放大可得图2(c)，发现系统有类似“混沌眼”的存在，其相对应的最大Lyapunov双参指数图如图2(d)所示。当系统处于周期状态时其Lyapunov指数小于零，用红色到黄色渐变色表示;黄色与黑色的交界处表示Lyapunov指数为零，此时双参图为拟周期状态，如果对应指数大于零小于2，则双参图对应的是系统由拟周期进入混沌的状态，用黑色到灰色的渐变色表示;若双参图中系统是逃逸状态，则其Lyapunov指数大于2，为了便于编程进行数值模拟，对于Lyapunov指数大于2的情况都以等于2来表示，在这种状态下，企业会被强制退出市场。右侧的颜色棒表示相应的最大Lyapunov指数的值。由图2(d)可知此时双参最大Lyapunov指数图最大值为0.5，可得在该区域系统不存在逃逸域。

固定ξ2=2.194 3，取ξ1作分岔参数得系统的单参图，如图3所示。可观察到图中红蓝两条曲线的变化趋势是一致的。系统的初始态均为一周期的稳定态，随着调整速度ξ1的增加，系统在ξ1=1.62处发生第一次分岔，由一周期直接进入混沌，分岔方式为Neimark-Sacker分岔。在一个短暂的混沌后在ξ1=1.718处会重新进入周期，然后通过flip分岔逐步的进入混沌，这与双参图中的所体现的动力学行为是一致的。图3(b)为其相对应的最大Lyapunov指数图，指数小于零、等于零和大于零时系统分别对应于周期、拟周期、混沌或逃逸。

图3 单参图及最大Lyapunov指数图

在图3(a)的基础上，改变调整速度ξ1的值，去观察吸引子的演化过程，在ξ1∈[1.5,1.7]区间上时，系统会存在一组不变环的演化，如图4所示。当ξ1=1.584 5时吸引子为一焦点如图4(a)所示，随着ξ1值的增加；当ξ1=1.619时系统发生Neimark-Sacker分岔产生内吸引的不变环，如图4(b);当ξ1进一步增加至1.625 7时，不变环增大，毛边减少，如图4(c)所示;当ξ1继续增加，不变环的毛边会逐渐消失，最终在ξ1=1.687 2时不变环趋于稳定，如图4(d)所示。

(a)ξ1=1.584 5 (b)ξ1=1.619

(c)ξ1=1.625 7 (d)ξ1=1.687 2

(a)系统的博弈时间序列图 (b)系统博弈的差值时间序列图

(c)利润的时间序列图 (d)相对利润的时间序列图

图2(b)中白色直线所对应的单参数分岔图如图6所示，由图6可得该白色直线对应的方程为ξ2=-5.95ξ1+12.320 5，可观察到ξ1的取值范围为[1.5,2.3]；红色曲线对应于下游企业销量的变化趋势；蓝色曲线对应于上游企业销售价格的变化趋势，同时可观察到红蓝两条曲线的变化趋势在ξ1>2.134时会出现明显的差异。系统的初始状态为周期态，随着ξ1值的增加系统会进入混沌，然后进入拟周期，再进入混沌，之后进入2周期，然后蓝色曲线会经过flip分岔彻底进入混沌，出现一个明显的“周期窗口”，红色曲线会在ξ1=2.071处突降为零，之后就一直处于q2=0的状态。在ξ1∈[1.5,1.7]的范围内单参图中会出现“跳跃”的间断点，系统可能存在有吸引子共存的动力学现象。

在非线性系统中，分岔会随着参数的变化导致解的数目发生改变和多个吸引子共存的现象。 多稳态现象的出现也是吸引子共存所造成的，因此多稳态运动与分岔现象密切相关。吸引子共存是指选取不同的初值(p1,q2)，在经过迭代之后，出现几种吸引子同时存在的情况。吸引子的吸引盆实质上表现的是一种路径依赖现象，即在吸引子的吸引域中选取任意一个初始值，最终都会汇聚在这个吸引子上。对其进行详细的分析研究，得到如图7所示的吸引子共存的吸引盆演化。

图6 单参数分岔图

图7 吸引子共存的吸引盆演化

吸引子共存的吸引盆演化如图7所示。图7(a)中观察到红、蓝两种吸引子的吸引域分别为图中白色和黄色区域，图中蓝色区域对应于系统逃逸域。在第一幅图中，红蓝两组吸引子均为周期吸引子，在吸引域的内部存在数个“洞”，随着ξ1值的逐渐增加，红色吸引子会逐渐成环并逐步演化为混沌吸引子，最终又演化为环状吸引子。蓝色吸引子先演化为混沌吸引子后又变为2周期吸引子，如图7(b)所示。在ξ1=1.576 7时红蓝两种吸引子均演化为混沌吸引子且相互重合。整个演化过程中红色吸引子的吸引域逐渐增大，蓝色吸引子的吸引域逐渐减小，吸引域内部的“洞”不断减小直至完全消失，红色吸引子的吸引域变为竖条状，同时可行域右侧的缺口也有一定程度的减小。

4 结 语

通过改变调整速度及上游企业在下游企业的持股比例参数建立上下游双寡头企业进行混合博弈的复杂动力学行为。分析了系统的3个边界均衡点和唯一Nash均衡点的类型及其局部稳定性，应用数值模拟对系统在调整速度平面的稳定域、分岔行为、混沌及时间序列图等动力学行为进行研究。研究系统的稳定域及分岔曲线图发现较小的调整速度会更有利于系统的稳定，大的持股比例θ会增加系统的稳定域更有利于系统趋于稳定。通过系统的双参数分岔图研究发现系统会通过flip和Neimark-Sacker两种分岔方式进入混沌。进一步通过单参数分岔图研究对系统的状态进行研究，绘制系统博弈的时间序列图和差值的时间序列图可得系统对初值的敏感性较为稳定，通过利润和相对利润的时间序列图，发现利润的序列图会长时间地停留在多周期态而相对利润的时间序列图则长期停留在2周期态。 结合吸引子共存的吸引盆发现单参图中的“跳跃”点处存在吸引子共存现象。因此选择合适的调整速度和持股比例会使系统更易趋于稳定，合理的选择相对利润做目标函数更有利于系统的可控，市场更易进行长期且稳定的竞争。