基于Lyapunov方程的高超声速飞行器变结构控制

郭建国，杨胜江，鲁宁波，王国庆

(1.西北工业大学 精确制导与控制研究所，陕西 西安 710072；2.中国运载火箭技术研究院 研发部，北京 100076)

0 引言

众所周知，一般高超声速飞行器的纵向动力学模型是一个具有非匹配不确定性，快时变，强耦合的非线性系统[1-5]，反步法作为克服非匹配不确定性问题的有效方法被运用于高超声速飞行器的控制系统设计中[6-9]。在飞行控制系统的设计过程中，采用滑模控制、自适应控制和鲁棒控制等削弱非匹配不确定因素的影响。然而，通过反步法设计得出的复杂控制表达式在高阶系统的情况下可能难以实现[10]。同时，需要通过引入不同阶数的微分器或滤波器来解决反步法中的“微分爆炸”问题[11]，并且控制系统中存在时间延迟问题[12]。

近40年来，基于干扰观测器的控制及相关方法得到广泛研究并应用于包括高超声速飞行器在内的各个工业领域[13]。在现有的干扰/不确定性估计和主动抑制技术的基础上，通过采用不同的干扰观测器，如模糊干扰观测器、扩张干扰观测器以及滑模干扰感测器等。在控制器设计时，对总的干扰利用干扰观测器在控制律中对其进行补偿以达到主动抑制的效果，该方法已经用来克服高超声速飞行器动态模型中的不确定性问题[14-16]，在这些方法中，通常将扰动和不确定性包含在一起，采用观测机制来估计总扰动，并定向用于补偿控制器。

本文针对高超声速飞行器非匹配不确定性提出了一种基于Lyapunov方程的滑模变结构控制方法，分别针对速度子系统和高度子系统提出了2个新的带扰动估计的滑模面。通过应用本文所提出的滑模控制器，系统的快速性和鲁棒性均得到改善。

1 面向控制的动力学模型

1.1 纵向动力学模型

本文采用的高超声速飞行器的纵向动力学模型如下所示[1]

(1)

式中：v为飞行器速度；h为飞行器飞行高度；γ为飞行器航迹角；α为飞行器攻角；q为俯仰角速度；m为飞行器质量；Iyy为转动惯量；并且μ为重力常数;wi(i=1,2,…,5)为不确定项。气动力和力矩的表达式如下所示：

发动机动力学模型如下[1]

(2)

式中：β，βc分别为油门开度及油门开度指令；ξ为阻尼系数；ωn>0为自然频率。

本文的目的是针对具有非匹配不确定性的高超声速飞行器的非线性模型设计鲁棒控制器，以跟踪预期速度指令和预期高度指令。为了方便控制器设计，建立了2个新的面向控制的模型，通过选择新的状态来描述这2个子系统。

1.2 面向跟踪控制的速度子系统模型

面向控制的速度子系统模型是通过结合发动机动力学模型得到的：

(3)

为了跟踪预期的速度，速度子系统的跟踪控制系统面向控制的模型为

(4)

1.3 面向跟踪控制的高度子系统模型

高度子系统面向控制的模型为

(5)

同样，高度子系统面向控制的如下所示，跟踪预期的高度指令。

(6)

实际上，假设2中放宽了对高度子系统跟踪控制系统的非匹配干扰要求。不需要假设作用于高度子系统的非匹配干扰是缓慢变化的，而是需要有界性条件。尽管对导数信息的重新要求使假设2显得有些严格，但它只是为扩展干扰观测器的设计提供了一个普遍、统一的假设。

2 新型滑模控制器设计

为了克服飞行器模型中的非匹配不确定性，本节提出了2个新的滑模控制器，分别基于非线性扰动观测器，用于跟踪预期速度指令和预期高度指令。

2.1 基于干扰估计的速度子系统滑模控制器设计

对于式(6)，滑模面为

(7)

根据文献[12]干扰观测器设计为如下形式

(8)

式中：lv11>0；lv12>0；pv11，pv12为辅助变量。

同时，由干扰式(8)得出

(9)

根据系统式(6)计算sv的导数，可得

(10)

因此，系统式(6)的滑模控制器为

(11)

式中：

kv>0;εv>(c1v+c2vlv11+lv12)λ1，

(12)

闭环跟踪动态系统式(6)的稳定性由定理1给出。

定理1 如果满足以下条件：

(1) 对非匹配不确定性满足假设1；

(2) 选择非线性扩展干扰观测器式(8)估计非匹配不确定性；

(3) 采用控制器如式(11)所示，其参数满足式(12)。

在控制器式(11)的作用下，具有非匹配不确定性的速度子系统的跟踪动态系统式(6)是最终有界的。

(13)

由式(13)可知系统式(8)的状态能够在有限时间到达滑模面，即sv=0。

(14)

选择Lyapunov函数

(15)

(16)

p11=p12c2v+p22c1v,p12=q1/(2c1v),
p22=(q2+2p12)/2c2v.

(17)

对V1求导并结合式(14)得

(18)

(19)

(20)

根据μ11，μ12的定义，由式(20)可得

(21)

由式(21)可知速度子系统的误差状态量是有界的，即

(22)

误差e1v是最终有界的，并且可以通过适当选择参数p12，q1，lv11和λ1来降低边界。

注2:为了克服滑模控制器式(15)的不连续性，用连续函数sat(·)进行替代，

(23)

2.2 基于干扰估计的高度子系统滑模控制器设计

对于高度子系统的带有扰动估计的滑模面选为

(24)

为了获得上述估计值，采用文献[12]设计的干扰观测器如下:

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：ph11，ph12，ph13，ph21，ph22，ph31,ph41为辅助变量;lh11，lh12，lh13，lh21，lh22，lh31,lh41为正数。

(29)

对sh求导并结合高度子系统，可得

(30)

因此，高度子系统的控制器为

khsh+εhsgnsh],

(31)

式中：

kh>0；
εh>(c1 h+lh13+c3 hlh12+c2 hlh11)λ21+(c2 h+
lh22+c3 hlh21)λ22+(c3 h+lh31)λ23+λ24.

(32)

闭环系统的稳定性证明与定理1类似，

注3:通过采用饱和函数sat(·)替代符号函数得到连续的控制量

(33)

3 数值仿真

在本节中进行了数值仿真，以验证本文所提出的滑模控制方法的有效性。仿真条件、不确定参数和高超声速飞行器的约束条件的选择与参考文献[8]相同。

仿真分2部分，分别对应于外部干扰抑制和对参数不确定性的鲁棒性。仿真中使用的参数lv11=10；lh11=10；lh21=10；lh31=10；lh41=10；c1v=1；c2v=2；εv=0.1；c2 h=3；kh=0.08；lv12=50;lh12=50;lh13=50;lh22=50;c1v=1;kv=0.1;c1 h=1;c3 h=3;εh=0.2。

将本文所提出的方法与参考文献[8]中的反步法进行仿真对比。取未知外部干扰为w1=-0.3，w2=15，w5=0.25，w3=0.05sin(0.1πt)，w4=0.01sin(0.1πt)。

图1分别给出了本文所提出的滑模控制方法和反步法的响应曲线。非线性扰动观测器中的扰动估计误差如图2所示。

图1 本文提出的方法(实线)和反步法(虚线)下的响应曲线Fig.1 Response curves of the proposed method (solid line) and the backstepping method (dashed line)

图1a)和b)表明,在跟踪相同的速度指令和高度指令时，本文所提出的控制方法比反步法具有更好的动态特性，同时，如图2所示非线性扩展干扰观测器的估计误差很快趋于0。可见，本文所提出的控制方法能够有效应对非匹配不确定性。

同时，在图1c)和d)中，本文所提出的方法下航迹角和迎角的变化都比反步法更快。此外，在图1e)和h)中，在本文控制器的作用下，俯仰角速度和升降舵偏转角的大小都低于反步法。特别是，如图1h)所示，在反步法中，升降舵偏转存在不希望出现的抖振，在跟踪高度指令的过程中，反步法的升降舵偏转已经达到饱和边界。请注意，在图1f)和g)中，在本文所提出的方法下，油门开度指令和油门实际开度的幅度要比反步法的略大。

图2 非线性扰动观测器下的不确定因素估计曲线Fig.2 Estimate curves of uncertainties of the nonlinear disturbance observer

4 结束语

针对具有未知非匹配不确定性的高超声速飞行器动态模型，本文提出了一种基于Lyapunov方程的滑模变结构控制方法。文中建立了具有非匹配不确定性的跟踪控制系统的面向控制的模型。引入了扩展干扰观测器来设计针对非匹配不确定因素的滑模面，并且可以得到跟踪误差的准确性与非匹配不确定因素的估计误差之间的关系。仿真结果证明了所提出的控制方法的正确性。