高等数学在中学数学学习与教学中的影响

蒋红瑛

（四川职业技术学院 教师教育学院，四川 遂宁 629000）

随着我国教育事业的不断进步和发展，和大量的事实表明，如果想要更好的将数学知识的深度把握住，就需要把数学问题的背景和实质都了解清楚。无论是学生对数学的学习还是教师对数学的教授都必须转变一些观点，按照传统的学习方法必然有所落后，当我们转变观念，改变教学方法和学习方法，最终必定会提高效率。初等数学和高等数学之间在观点上和在方法上都是有着很大区别的。也正是因为有区别，部分人就认为学生不需要对高等数学的知识进行了解，教师也只需要按照课本上所写的讲下去就可以了，其实这样并不正确。如果我们在课堂上不能把高等数学知识让学生有所了解，而知识仅仅停留在课本上是不行的，当遇到一些数学问题用书本知识难以解决时，就会感觉很费劲。而高等数学是初等数学的延伸和发展，如果在中学数学的教学中站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题会更深刻、全面，更容易解答，也更容易培养学生的创新意识和逻辑思维能力。另一方面，初等数学里遗留了很多理论问题也只有在高等数学中才能够得到彻底的证明。因此，高等数学在初等数学中必定有着极大的影响和作用。

一、高等数学与中学数学的关系

中学数学是常量数学和变量数学的初步知识，也是高等数学的基础。而高等师范院校的数学专业，开设了门类众多的高等数学课程，比如，数学分析、高等代数、解析几何、概率统计、数论、实变函数、复变函数、拓扑学等等，所开设的这些课程都是中学相应课程内容的加深，也是中学数学的进一步拓展。通过高等数学的学习，一是为了让即将走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的数学理论知识，能胜任中学数学教学任务；二是为了让毕业生能应用所学的高等数学知识指导中学数学的教学研究工作；三是为了让毕业生有基础继续学习现代数学知识并提高自身数学素养[1]。因此，站在高等数学的角度来看中学数学，首先就应该将中学数学中的一些公式、定理及概念和高等数学中相关的知识点联系起来，这也是我们掌握高等数学和中学数学知识的关键点，对于学习高等数学也有促进作用。而我们又将高等数学的数学思想和数学方法运用、渗透到中学数学的学习和教学中，找到两者的结合点，这不仅能拓展学生的知识面，培养学生的逻辑思维能力和创新意识，而且能提高教学质量和教学水平。

（一）知识方面的关系

高等数学虽然不同于初等数学，但是它又起源于初等数学。它的知识结构是在中学数学基础上的进一步提升，运用高等数学的一些知识体系理论我们可以很容易的将许多中学数学中没有解释清楚的问题解释得更为清楚明白。例如，多项式的根及因式分解理论，中学生只了解并熟悉的一些简单代数多项式的加、减、乘、除运算法则，多项式因式分解解题的几种常用的方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，但是并未给出它的准确定义，中学生对此理解肯定也就不深刻，而在高等代数中则进一步拓宽了多项式的定义，且在严格定义了多项式的次数以及加法、乘法运算的基础上再接着诠释了多项式的整除理论，最大公因式理论。高等代数这部分知识点，一开始，运用不可约多项式的定义来严格的解释了“不可再分”的含义，然后告诉了不可约多项式的性质是什么、因式分解定理以及不可约多项式在几种常见数域上的判定，层层递进，知识结构全面且严谨[3]。下面我们举个例子来说明，如因式分解x3- 11x2+ 31x- 21，单纯用中学几种常用方法来分解就有一点难度，但若结合高等代数的方法来做就特简单：

从这道因式分解题的解答，我们不难发现，中学数学是基础，高等代数是对中学数学的知识进行验证和拓展升华。它们知识点之间是互通的，是有着不可分割的联系。只是高等代数在理解运用中会更加注重知识点的灵活性，也更便于学生灵活掌握、运用知识。

（二）思想方法的联系

对于数学的思想和方法有许许多多，我们大体上可以把它分为三个层次来体现。在第一层次上，指的是对数学各分科的具体解题的方法和解题模式的理解和分类，就像我们所学的代数方法就有许多，如韦达定理法、判别式法、公式法、加减消元法、代入消元法、放缩法、错位相消法、倒序相加法、数学归纳法等等有效方法都涉及在其中。除了代数方法，几何中也有许多方法对图形进行很好的阐述，如对称、相似、平移、旋转、辅助线的作法、面积法、体积法、图形及几何体的割补方法，当然还有三角形奠基法，这些方法在几何图形运用中具有非常重要的作用。除此之外，教师还会在具体的解答过程中得出一些解题技巧和答题方法，并对他们进行归纳概括总结，因此，往往也会附加一些内容在学生的课本上，对内容以及公式方法的运用进行补充说明，例如，书本上不仅仅只有简单的专有模式，旁边也会附带许多详细的解答方法或者解答过程以及运用原理。当然，使用面很广的通法，其实就是所谓的第二个层次，不仅仅只有换元法、降次法、待定系数法、分离系数法、数形结合法、参数法、同一法、反证法等运用广阔，范围大，而且还有比较与分类、分析与综合、观察与实验、分解与组合、类比与联想、归纳与演绎、抽象与概括等等文字上的题目，这些应用范围都很广阔，我们经常会加以应用，它们频繁的出现在我们的作业、考试以及生活应用中；而所谓的第三层次指数学观念，这个对我们做学术研究很有帮助，它就是人们对数学的基本看法以及概括认识的不同理解，人们在不同意识上表现出差异，就像在整体意识、推理意识、化归意识、抽象意识、数学美的意识等等都存在不同理解。人们在高等数学教育活动时，往往就会产生分歧，得到更多的思考，不同数学思想和知识结构体系渗透在高等数学的各个分支上，互相穿插，互相交融，层层递进，紧密联系。除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，体现于不同的运用当中，如分析中的函数、极限法、微分法、积分法等等，它们之间紧密联系，如加强数学建模的学习，会发现应用这些数学思想能解决生活和科技中的许多问题。而空间解析几何法和向量代数法是学习多元微积分的基础，曲线积分法和曲面积分法又是多元函数积分学的重要组成部分，除此之外，高等代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等都有其重要作用[2]。不管在数学学习、研究，还是生活中，都应该重视这些思想和方法的训练和掌握，让我们学会用数学思想和方法去思考问题，从而找到最有效的解决问题策略。长此以往，数学思想会愈加严谨，解题方法愈加多样化，整体数学素养必将得到有效提升。

二、高等数学与中学数学的知识和教学的不同点

（一）知识的不同

知识肯定是具备一定的重复性。根据对如今新课标下的各种中学数学教材分析，很多的知识学生都是有了自己的认知，例如，导数的概念及计算、四则运算法则等知识，学生肯定都是掌握得很不错了，但如果对这些知识点具体是怎么来的却毫无知晓，因此对于复杂函数求导、求解等过程不容易得出答案。而在高等数学中，任何的知识点都有着更细致的原理，根据原理解决一些难题就更为容易。

高等数学与中学数学知识相关联，知识重复存在，难以衔接的问题也存在，例如：在中学数学中对于三角函数的学习，大多数学生都是只知道正弦、余弦和正切和余切，其实三角函数还有正割和余割，积化和差、反三角函数、和差化积、万能公式等，这些知识点对于大部分学生而言是不知道的。

（二）教学方法的不同

中学数学教师比较注重课堂教学，特别是近几年，大多数的中学都是为了追求升学率，以至于教师在教授知识时，基本上将知识点生硬灌输给学生，然后通过大量例题与习题来巩固所学的知识点，搞题海战术，从而让学生能够掌握并运用知识。而高等数学则是采取大班授课，一堂课有很多的知识点，教学内容和中学相比较就多很多，并且知识点更加紧凑，教师一般来说都是在课堂上讲解具体的知识要点，课堂习题练习基本上没有，所有的知识点都需要学生在课后自己进行归纳总结。

（三）知识反馈的不同

中学课余时间基本上是用来完成布置的相关作业，一般没有多余的时间来仔细阅读课本内容，但接触老师的时间十分充裕，有不懂的问题都能及时得到解决。而高校学生和老师接触的时间仅限于在课堂上，学生和老师的交流通过QQ 和微信实现，除部分学生与老师交流较多以外，大部分学生和老师并无交流，因此只能通过拷贝课件与自学完成学业，得到学业反馈。

三、高等数学与中学数学的衔接途径

（一）知识点的强化

中学数学是高等数学的基础，中学数学所学的知识，例如，指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等一些初等函数的基本性质和运算，还有平面解析几何中常见的曲线方程、图形、不等式的性质等，在高等数学的课堂上就不需要再进行详细解说了，仅仅需要简单复习即可。当然，在中学数学中有一些知识和在高等数学中涉及的角度和侧重点是不同的，比如高三学习的微分，只需会用、会计算即可，而在高等数学中学习微分比较深入，然后学习积分，其积分就是微分的逆运算，二者联系很紧密，教师一定不能认为学生在中学已经掌握好了微分，就丝毫不提微分，这样就会造成高等数学和中学数学知识内容上的脱节。

（二）找准知识点和方法衔接

我们常将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡知识。在中学数学中所学的知识点和课后习题的解答是息息相关的，而高等数学则不是这样，概念与逻辑联系十分严谨，单纯依靠习题并不能全面掌握相关理论，甚至对概念十分熟悉之后，拿到相对应的习题也不一定会做。面对这样的情况，培养学生边看书边思考的能力就显得十分重要了，教师在习题的讲解中可以和初等数学相比较，尽可能的选择可以用初等数学和高等数学知识都能够解决的问题，方法多，肯定解决得也快。运用两种数学方法来解决问题，学生对于知识也更容易接受和掌握。

四、高等数学方法在中学数学中的灵活应用

高等数学在知识上不仅仅是中学数学的拓展延伸，相比于现代数学，它也是基础。中学数学教师总感觉高等数学在中学教学中用不上，我认为这可能是两者研究问题和处理问题在方式、方法上各自不同，所以它们也有很大的区别存在。也正因为有这样的区别，我们更应该用长远发展的眼光去看待中学数学的问题。而对于中学数学教师来说，除了掌握中学数学各种类型题和相对应的解题方法以外，更重要的是善于采用高等数学的数学思想和解题方法去解决中学数学问题，尤其是一些用初等数学的方法难以解决或者说虽然能解，但解题过程显得格外难、繁的数学题。否则，学生对这类知识点肯定就不容易掌握，如果采用高等数学就显得轻而易举。下面举几例说明。

（一）行列式在中学数学因式分解中的应用

因式分解这个内容也是中学数学中的一个十分重要的内容，在中学数学中解决因式分解问题的方法有很多种，而有些因式分解的问题，我们在仔细观察后发现它其实能够构造与之相对应的行列式，我们再根据行列式的一些简单性质去解决这个问题，当然也就会容易很多。

（二）微积分方法在求函数的极值、最值中的应用[3]

我们采用微积分的数学思想很容易就解决了这个三元一次函数极值的问题，可见微积分在中学数学解题中也是有很多便捷之处。

（三）微积分在高考试题中的应用

在中学数学中，很多不等式的证明都可以运用微积分的方法计算，利用函数的增减性、微分中值定理等相关知识也可以将问题简化[5]。在高考数学中的卷末往往都有一些关于导数的压轴题，然而这些压轴题大多数都是可以运用微积分相关知识点来求解的，当然这些压轴导数题除了运用高等数学的数学思想和解题方法以外，初等数学的数学思想和解题方法也是可以将其解决的，但两者相比之下，高等数学的方法计算量小、不容易错，这也是高等数学思想和方法在中学数学中应用的优势。

五、结语

高等数学看似复杂难懂，其实高等数学的所有知识也是人们在日常生活中解决一些实际问题时慢慢被发现，随着时间的变迁逐渐被验证和归纳总结出来的，当我们加深了对高等数学知识的理解以后，就会在头脑中形成一个有层次的知识结构网。虽然高等数学的数学思想和解题方法相对于初等数学来说十分的丰富，如果这些思想方法只是独立的存在，可能也就没有什么价值可言，但是如果将初等数学的思想、方法与高等数学的思想、方法两者有机而完美地结合起来，在学习生活中也经常用高等数学的思想和方法对初等数学中的有关问题进行分析，肯定会从中受到不少的启发。当找到一种或者多种技巧性的解法时，也就为后面学习初等数学，解决初等数学的问题提供了帮助，化解了解初等数学习题时思想的僵化，从而也就避免了在解一些比较难的初等数学问题时表现出的束手无策。这在数学学习方式上也体现出了正迁移，解决中学数学问题的效率也能达到最优化，也算是为解题提供了方便。