强并超格上的素超滤子定理

谢祥云, 赵雪欣

(五邑大学 数学与计算科学学院, 广东 江门 529020)

Marty[1]在第八届数学家代表大会上首次提出超结构理论,随后超代数系统理论被广泛应用到超群,超环,超BCK-代数[2-4]等方面.此外,超结构理论在几何学、图论、模糊集、粗糙集、自动机和码等[5]领域都有应用.

Konstantinidou和Mittas[6]首次提出超格理论,自那以后,许多学者对超格理论进行了研究.例如：Guo等[7]研究了超格和子超格理论；Han[8]和Zhao等[9]研究了分配超格与超格中的理想；Rao[10]研究了超格的直积.Barghi[11]介绍了分配超格上的素理想定理；Ameri等[12]讨论了超格上的素滤子以及理想与滤子的等价刻画；Amiri-Bideshki等[13]探讨了强交超格上的超理想和超滤子,并研究强交超格上的素超滤子定理.

本文介绍了强并超格上的超理想和超滤子,并探讨元素a生成的超理想及I(a∧b)的分配性.进一步研究带“*”条件的强并超格,在此基础上给出强并超格上的素超滤子定理.

1 预备知识

以下给出需要用到的强并超格的一些性质.

定义1[1]设H是一个非空集合,P*(H)表示H的所有非空子集集.映射f:H×H→P*(H)称为H上的超运算.

定义2[6]设L是一个非空集合,“∨”和“∧”分别是L上的超运算和普通二元运算.L称为并超格,如果对任意的a,b,c∈L,满足:

1)a=a∧a,a∈a∨a；

2)a∧b=b∧a,a∨b=b∨a；

3) (a∧b)∧c=a∧(b∧c),(a∨b)∨c=a∨(b∨c)；

4)a∈[a∧(a∨b)]∩[a∨(a∧b)].

进一步地,并超格L称为强并超格,若再满足：

5)b∈a∨b⟹a∧b=a.

并超格有时也被简称为超格[11].对任意的A,B∈P*(L),记A∧B={a∧b|a∈A,b∈B},A∨B=∪{a∨b|a∈A,b∈B},特别地,若B={b},A∨B记为A∨b.

注11) 若a,b∈L且a∧b=a,由定义2有

b∈[b∧(a∨b)]∩[b∨(a∧b)]

则b∈b∨(a∧b)=b∨a=a∨b.因此有

b∈a∨b⟺a∧b=a

2) 进一步地,在L上定义二元关系“≤”：

(∀a,b∈L)a≤b⟺a=a∧b

容易证明,“≤”为L上的偏序关系[4].在(L,≤)中,若存在最小元,则记为0；若存在最大元,则记为1.

并超格L称为有界的,若存在 0,1 ∈L,即(∀x∈L) 0≤x≤1.

定义3[11]设L是一个强并超格.

1)L称为分配的,若对于任意的a,b,c∈L,

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)

2)L称为对偶分配的,若对于任意的a,b,c∈L,满足:

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

3)L称为强分配的,若L既是分配的又是对偶分配的.

例1[14]设L={0,a,b,1},定义L上的∨-超运算和∧-运算如表1.则(L,∧,∨,0,1)是一个分配的强并超格.

表1 例1运算表

2 主要结果

以下主要给出强并超格上的素超滤子定理.

定义4设I是强并超格L上的一个非空子集,则I称为超理想,如果

1) ∀x,y∈I⟹x∨y⊆I；

2) ∀x∈I,y∈L,y≤x⟹y∈I.

超理想I称为素的,如果

(∀x,y∈L)x∧y∈I⟹x∈I或y∈I

定义5设F是强并超格L上的一个非空子集,则F称为超滤子,如果

1) ∀x,y∈F⟹x∧y∈F；

2) ∀x∈F,y∈L⟹x∨y⊆F且(∀t∈x∨y)x≤t.

超滤子F称为素的,如果

(∀x,y∈L) (x∨y)∩F≠∅⟹x∈F或y∈F

注2由定义5中2),若x∈F,a∈L且x≤a,则

因此a∈x∨a⊆F.

例2设L={0,a,b,1},定义L上的∨-超运算和∧-运算如表2.则L是一个强并超格.{1}是L上的一个超滤子但不是素的,{b,1}是L上的素超滤子；{0,a}是L上的素超理想.

表2 例2运算表

例3设L={0,a,b,1},定义L上的∨-超运算和∧-运算如表3.则L是一个强并超格,{b,1}是L上的超滤子但不是素的,{0}是L上的超理想但不是素的,{a,b}既不是超理想也不是超滤子.

表3 例3运算表

例4设L={0,a,b,c,1} ,定义L上的∨-超运算和∧-运算如表4.则L是一个强并超格.{b,c,1}是L上的素超滤子,{b,1}是L上的超滤子但不是素的；{0,a}是L上的素超理想,{0}是L上的超理想但不是素的.

表4 例4运算表

定理1设L是一个有界的强并超格,则下列命题成立：

1) (∀a∈L)a∈a∨0；

2) (∀a∈L) 1∈a∨1；

3) 若a,b∈L,a≠0,b≠0,a∧b=0,则a,b∉a∨b；

4) 若a,b∈a∨b,则a=b；

5) 若a∨b=L,则a=b；

6) 若a∨b={0},则a=b=0.

证明1)～3)见文献[12].

4) 若a,b∈a∨b,则由注1知b≤a,a≤b.因此a=b.

5) 若a∨b=L,则a,b∈a∨b.由4)得出a=b.

6) 若a∨b={0},因为a∈a∧(a∨b),有a=a∧0,则a≤0.因此a=0.类似地,因为b∈b∧(a∨b),有b=0.

定理2设L是一个强并超格,则下列命题成立：

1) 对任意a,b∈L,存在c,d∈a∨b使得a≤c,b≤d.

2) 若L是分配的,则0∨0={0}且对任意a∈L,a是a∨a中的极大元.

证明1) 由定义2,对任意a,b∈L,

a∈a∧(a∨b),b∈b∧(a∨b)

则存在c,d∈a∨b使得a=a∧c,b=b∧d.因此a≤c,b≤d.

2) 因为元素0是L中的最小元,所以有

{0}=0∧(a∨b)=(0∧a)∨(0∧b)=0∨0

设a∈L,x∈a∨a使得x≥a.则x∧a=a,

(a∧a)∨(a∧x)=a∨a=a∧(a∨x)

因此存在y∈a∨x使得x=a∧y≤a,因此x=a.故a为a∨a中的极大元.

定理3设L是一个分配的强并超格且a∈L,则I(a)={x∈L|x≤a}是L中包含a的最小超理想.

证明对任意的x,y∈I(a),有x=a∧x,y=a∧y.因为L是分配的,则

x∨y=(a∧x)∨(a∧y)=a∧(x∨y).

因此对任意t∈x∨y,存在u∈x∨y使得t=a∧u.因此

a∧t=a∧(a∧u)=a∧u=t,

从而推导出t≤a,即t∈I(a).因此x∨y⊆I(a).

对任意的x∈I(a),y∈L使得y≤x,有y≤x≤a.因此y≤a,y∈I(a).

进一步地,设I是L中包含元素a的超理想,则对任意x∈I(a),x≤a.因此x∈I.故I(a)⊆I.

推论1设L是一个分配有界的强并超格且a,b∈L,则有下列情况成立：

1)I(0)={0}；

2)I(1)=L；

3)I(a)∧I(b)=I(a∧b)；

4) 若a≤b,则I(a)⊆I(b).

证明1),2),4)显然成立,下面证明3).

3) 对任意的x∈I(a)∧I(b),存在a1∈I(a),b1∈I(b)使得x=a1∧b1.因为a1≤a,b1≤b,则有a1=a1∧a,b1=b1∧b及x=a1∧b1=a1∧a∧b1∧b=a1∧b1∧a∧b=x∧a∧b,所以x≤a∧b.因此x∈I(a∧b),即I(a)∧I(b)⊆I(a∧b).

反之,设x∈I(a∧b),则x≤a∧b.因为a∧b≤a,a∧b≤b,则x≤a,x≤b,所以x∈I(a),x∈I(b).因此x=x∧x∈I(a)∧I(b),即I(a∧b)⊆I(a)∧I(b).

定理证明超理想I和I(a∧b)中并对交的分配性.

定理4设L是一个分配的强并超格,a,b∈L,若I是L的一个超理想,则(I∨I(a))∧(I∨I(b))=I∨I(a∧b).

证明设x∈(I∨I(a))∧(I∨I(b)),则存在p1,p2∈I,a1∈I(a),b1∈I(b)使得x∈(p1∨a1)∧(p2∨b1).因为L是分配的,所以

因为I是L的一个超理想,且

p1∧p2≤p1,a1∧p2≤p2,p1∧b1≤p1,p1,p2∈I

所以p1∧p2,a1∧p2,p1∧b1∈I.因此

(p1∧p2)∨ (a1∧p2)∨(p1∧b1)⊆I.

由推论1,a1∧b1∈I(a)∧I(b)=I(a∧b),所以

(I∨I(a))∧(I∨I(b))⊆I∨I(a∧b).

反之,设x∈I∨I(a∧b),则存在p∈I,c∈I(a∧b)使得x∈p∨c.因为c≤a∧b≤a,b,所以c∈I(a),c∈I(b),所以

x∈p∨c⊆I∨I(a),x∈I∨I(b)

因此

x=x∧x∈(I∨I(a))∧(I∨I(b))

即I∨I(a∧b)⊆(I∨I(a))∧(I∨I(b)).综上所述,

(I∨I(a))∧(I∨I(b))=I∨I(a∧b)

定义6设L是一个强并超格,L称为一个满足条件“*”的强并超格,若有

(∀x,y∈L) ∀t∈x∨y⟹x≤ty≤t

(*)

特别地,若L是一个格,则L是一个带“*”条件的强并超格.进一步地,若(L,∨,∧)是一个∨-超格,其中L上的∨-超运算定义为a∨b={x∈L|a≤x,b≤x},则(L,∨,∧)是一个带“*”条件的强并超格, sup{a,b}是a∨b的最小元.

定理5设L是一个带“*”条件的强并超格且a∈L,则F(a)={x∈L|a≤x}是L的一个超滤子.

证明对任意的x,y∈F(a),有a≤x,a≤y,则a∧x=a,a∧y=a,所以

a=a∧a=(a∧x)∧(a∧y)=a∧(x∧y).

因此a≤x∧y,即x∧y∈F(a).

进一步地,对任意的x∈F(a),y∈L,有a≤x.由定义6,对任意的t∈x∨y,a≤x≤t,因此t∈F(a).所以x∨y⊆F(a)且(∀t∈x∨y)x≤t.

定理6设L是一个带有最大元1的强并超格,F是L的超滤子,则1∈F.

证明因为F是L的超滤子,则对任意的x∈F,1∈L,有x∨1⊆F.因为1∧x=x,由注1,1∈x∨1⊆F.

引理1设L是一个带有最大元1的对偶分配的强并超格且a∈L,a∉F.若F是L的超滤子,则F∧F(a)是一个超滤子且F⊂(F∧F(a)).

证明对任意的x,y∈F∧F(a),存在p1,p2∈F及a1,a2∈F(a)使x=p1∧a1,y=p2∧a2.因为F和F(a)是超滤子,则有p1∧p2∈F和a1∧a2∈F(a),所以

x∧y=(p1∧p2)∧(a1∧a2)∈F∧F(a).

设x∈F∧F(a),y∈L,则存在p∈F和c∈F(a)使得x=p∧c.因为L是对偶分配的,及F和F(a)是超滤子,所以

y∨x=y∨(p∧c)=(y∨p)∧(y∨c)⊆F∧F(a)

由p∈F有p≤t,∀t∈y∨p；由c∈F(a)有c≤k,∀k∈y∨c.则对任意的r∈y∨x,存在t1∈y∨p,k1∈y∨c使得r=t1∧k1≥p∧c=x,因此F∧F(a)是L的超滤子.

因为对任意的x∈F,x=x∧1∈F∧F(a),所以有F⊆F∧F(a).对任意的y∈F(a),y=1∧y∈F∧F(a),所以有F(a)⊆F∧F(a).因为a∉F且a=1∧a∈F∧F(a),所以F⊂(F∧F(a)).

最后给出下面的素超滤子定理.

定理7设(L,∨,∧)是一个带有最大元1的对偶分配的强并超格,且满足条件“*”.若I和F分别是L的超理想和超滤子使得I∩F=∅,则存在L的一个素超滤子P使得F⊆P且I∩P=∅.

证明P是L的一个素超滤子.若对任意的a,b∈L,(a∨b)∩P≠∅且a∉P,b∉P,因为P是∑中的极大元,由引理1有P⊂[P∧F(a)],P⊂[P∧F(b)],则

I∩[P∧F(a)]≠∅,I∩[P∧F(b)]≠∅

因此存在p1,p2∈P,a1∈F(a),b1∈F(b)使得

p1∧a1∈I,p2∧b1∈I

因为a≤a1,b≤b1,则有a=a∧a1,b=b∧b1且

(p1∧a)∧(p1∧a1)=p1∧(a∧a1)=p1∧a

(p2∧b)∧(p2∧b1)=p2∧(b∧b1)=p2∧b

则p1∧a≤p1∧a1,p2∧b≤p2∧b1.因此p1∧a,p2∧b∈I.所以

(p1∧a)∨(p2∧b)⊆I

由假设及L的对偶分配性知：

因为p1,p2∈P,P是L的超滤子,则

(p1∨p2)∧(a∨p2)∧(p1∨b)⊆P.

因为(a∨b)∩P≠∅,则存在t∈a∨b使得t∈P,所以

[(p1∨p2)∧(a∨p2)∧(p1∨b)]∧t⊆P,

即有

[(p1∧a)∨(p2∧b)]∩P≠∅.

因为(p1∧a)∨(p2∧b)⊆I,则I∩P≠∅,矛盾.

致谢：本文得到研究生示范课建设项目(2016SFKS_40)的资助，在此表示感谢.