深刻理解可能性，初步渗透概率思想

2022-01-01吴青

课程教学研究 2021年6期

文∣吴青

苏教版数学四年级上册安排了可能性的内容，通过摸球、摸牌等游戏，引导学生在操作、实验、观察、比较中认识简单的随机现象，了解事件发生的确定性和不确定性，感受简单随机事件的特点，初步形成概率思想。

可能性在生活中的应用非常广泛，而在各种球类比赛中，则更是普遍地采用抛硬币的方式来决定场地和发球顺序。但是教材的例题部分和习题中都没有安排让学生抛硬币的操作活动，只是在“你知道吗”栏目中向学生介绍了数学家抛硬币的试验结果，在“拓展应用”中让学生分析两人同时各抛一枚硬币的可能性问题。

考虑到抛硬币在生活中的运用是非常多的，所以我们应该充分发挥硬币的价值，帮助学生更好地体会事件发生的可能性，更加深刻地理解概率思想。

一、生活情境导入新课

由于学生对乒乓球、足球等球类运动非常感兴趣，所以在本课教学时，教师就从球类比赛导入，首先播放奥运会乒乓球决赛刚开始时的一段视频，然后问学生，有没有注意到，在开始比赛之前，裁判员做了一个什么动作？只有部分细心的学生注意到了，于是教师把开头的这一段重新播放了一遍，这下子大家都发现了，裁判员在抛硬币。

接下来教师让学生思考，裁判员为什么要抛硬币？你们觉得用抛硬币的方式决定谁先发球，这种做法公平吗？为什么？许多学生都认为是公平的，因为抛硬币时，可能会抛到正面，也可能会抛到反面，甚至有学生认为，正面朝上和反面朝上的可能性相等。在学生回答的基础上，教师及时进行小结，肯定了他们回答中所包含的两个观点：①认为在抛硬币时，可能是正面朝上，也可能是反面朝上；②认为正面朝上和反面朝上的可能性相等。

教师向学生提出一个问题串，“可能性指的是什么？”“抛硬币时，真的会可能正面朝上，也可能反面朝上吗？”“正面朝上和反面朝上的可能性确实相等吗？”“我们该如何验证呢？”由此就顺利地导入了新课的探究之中。

在这个课堂导入环节，教师巧妙地利用了乒乓球比赛中的抛硬币环节，当学生发现裁判员通过抛硬币来决定双方的场地和发球的先后顺序时，他们的好奇心一下子就被激发了出来，对抛硬币产生了浓厚的兴趣，从而拉近了可能性的知识与学生之间的心理距离，激发了学生的探究欲望，更加积极主动地投入接下来的课堂探究之中。

二、实践操作认识可能性

在导入环节分析了乒乓球比赛中抛硬币的过程后，接下来教师就顺势展开课堂的探究活动，让学生通过抛硬币来认识可能性。教师让学生以小组为单位，每个学生各抛一次硬币，组长把抛硬币的结果按顺序记录下来。接下来进行全班对比分析，让学生观察各小组记录的数据，发现第一次抛硬币时，有的小组是正面朝上多，有的小组是反面朝上多；第二次抛硬币时，也是有的小组正面朝上多，有的小组反面朝上多……最后归纳，每一次抛硬币时，可能会正面朝上，也可能会反面朝上，每一次抛硬币的结果都是不确定的，是随机出现的，在抛之前我们无法预测会是哪个面朝上。

然后教师再选择一组连续出现几次正面(或反面)朝上的，让学生观察思考，这一组已经连续有几次正面朝上了，那么接下来再抛一次，一定还是正面朝上(或反面)朝上吗？让学生认识到，尽管前面已经连续抛出了几次正面朝上，但是接下来仍然无法预测，同样可能会正面朝上也可能会反面朝上，前面抛硬币的结果对后面没有任何影响。

在此基础上，教师告诉学生，每一次抛硬币都可能会正面朝上，也可能会反面朝上，这就是一个事件发生的“可能性”。在这样的操作和分析的基础上，学生对可能性的认识会更加深刻，从而更好地认识随机事件。

三、深入体会可能性相等

小学阶段所研究的概率知识，都是属于古典概型，每一个基本事件发生的可能性都是相等的。比如把4张扑克牌反扣在桌上，任意摸一张，那么每张牌被摸到的可能性是相等的，都是四分之一。

在摸牌活动中，当把3张红桃和1张黑桃反扣在桌上，任意摸一张牌，学生通过操作发现，摸到红桃的可能性比黑桃大，从而认识到事件发生的可能性是有大有小的。从操作的数据上，我们可以直接看出哪个事件发生的可能性大。

但是可能性相等就不那么容易看出来了。因为我们知道，抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，但事实上，随便我们抛多少次硬币，随便什么时候抛，很少会出现正面和反面次数正好相等的情形，绝大多数情况下出现的次数都是不相等的，甚至有时候还会相差比较大。那么，怎样让学生理解“可能性相等”这个知识呢？

可能性相等可以从两个层面上去理解。第一是理论分析层面，因为硬币有正反两面，抛硬币时可能正面朝上也可能反面朝上，这两种情况出现的可能性是相等的。至于为什么这时候正面朝上和反面朝上的可能性相等，学生没办法具体说明，而只能直观感觉。

第二是大数据统计层面。我们可以进行许多次试验，把每一次试验的结果都记录下来，然后观察，随着试验次数的不断增多，某个事件发生的频率越来越接近于某个固定的数值，如果逐渐稳定在这一数值附近，那么这个数值就是该事件发生的概率，这就是概率的统计定义。当两个事件都不断接近于某个相同的数值时，我们就认为这两个事件发生的可能性是相等的。

拿抛硬币来说，要想验证正面朝上和反面朝上的可能性相等，我们可以采用大数据统计方法。历史上有许多数学家就进行了大量的抛硬币试验，得到了许多宝贵的数据，在数学教材的“你知道吗”部分作了介绍。分析这些数据我们会发现，当抛硬币的总次数越来越多时，正面朝上和反面朝上的次数会越来越接近。这里所说的“越来越接近”，不是指它们数量的绝对差越来越小，而是指数量差与总次数的比值(即相对差)越来越小，因此我们就认为抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性相等。

对于这个内容，许多教师都是在课堂的最后向学生介绍数学家抛硬币的结果，让学生简单了解。但是这样的安排，学生并不能认识到表格中数据的真实价值，无法理解抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性相等的真正含义，所以感觉是肤浅的，流于形式。因此，我们一定要充分利用硬币的价值，让学生通过抛硬币的实践操作，体会概率的这种统计定义，真正理解可能性相等的实质，对概率思想有更加深刻的认识。

在教学过程中，当学生通过摸牌活动，认识到可能性有大有小之后，教师让学生再次思考乒乓球比赛前抛硬币这个环节，提问学生：“我们知道可能性是有大小的，那么通过抛硬币的方式来决定谁先发球，这种做法公平吗？”“你们觉得抛硬币时，正面朝上和反面朝上的可能性相等吗？为什么相等？”关于这些问题，学生只能从经验的角度，觉得可能性是相等的，但是无法说出具体理由。

接下来教师就让学生进行验证，每个学生各自抛10次硬币，记录正面朝上和反面朝上的次数，然后汇报给组长，组长对本组的数据进行汇总，然后教师把各组的数据填写在一个表格中。在全班总共不到500次的操作中，正面朝上和反面朝上的次数相差几十次，相差看似挺多，这是否表明，抛硬币的时候正面朝上和反面朝上的可能性不相等？引导学生进行了深入思考。学生认为可能性是相等的，但是又说不出具体的理由，无法解释为什么会有这么大的相差数。于是教师向学生提问：“刚才每个人都抛了10次，有哪些同学正面朝上的次数超过了反面朝上的3倍的？2倍的呢？”我们发现，都没有，只是多了那么一点儿。由此可见，一个人抛10次，出现的差距可能会比较大，但是全班这么多同学进行汇总，总数量变大了，差距反而变小了。

通过对部分学生抛硬币的结果和全班的统计结果进行比较，让学生认识到，一个人抛硬币出现的差距可能会比较大，而一旦把全班那么多同学的数据进行汇总，差距就会变小了，当然这种变小，指的是与总数量相比而言的变小。这种教学方式已经初步渗透了大数据的统计意义了。接下来让学生思考，如果我们继续抛下去，结果会怎样呢？学生自然会想到，继续抛下去，正面朝上和反面朝上的次数会越来越接近。此时，教师再出示教材中介绍的几个数学家抛硬币的数据，让学生进行分析，更加肯定他们的想法，当抛的总次数越来越多，正面朝上和反面朝上的次数会越来越接近。于是教师告诉学生，从这个角度来说，抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。

至此，学生已经完全经历了抛硬币时的大数据统计过程，对可能性相等的含义有了更加深刻的理解，而不仅仅是停留于直观的表层，那么以后他们再遇到概率问题，也会尝试着运用类似的方法进行分析，培养学生的实践能力和探究能力。

四、体会确定性与不确定性之间的辩证关系

对于不可能发生的事件和一定发生的事件，在事件发生之前，我们就已经能够知道结果了，因此这种结果是确定的。对于确定和不确定这两种不同的情形，我们在课堂上都可以通过让学生摸球的操作来体会。比如，让学生在装有一个红球和一个黄球的不透明袋子里摸球，发现摸出来的球可能是红球，也可能是黄球，每次摸球的结果都是不确定的，摸球之前无法预测摸出的是什么颜色的球，让学生理解操作结果的不确定性。然后在袋子中装进两个红球，再让学生摸球，这时发现摸出来的一定是红球，不可能是黄球，每次摸球的结果是确定的，摸球之前就能够知道摸球的结果了，让学生理解操作结果的确定性。

关于确定性和不确定性，许多教师的教学就到此为止，然后接下来就研究可能性的大小。但是，在现在这种情况下，学生对于确定性与不确定性的认识还是初步的。学生并没有真正认识到这两种不同情形之间的辩证关系。因此，我们的教学不能就此止步，而应该继续探究下去，让学生深入体会确定性与不确定性之间的辩证关系，从而对可能性以及概率思想有更加深刻的认识。

在教学中，为了让学生认识到确定性与不确定性之间的辩证关系，教师利用摸球和摸牌这两个操作活动，设计了两个对比性的探究环节。

首先是结合刚才袋中装有两个红球的情形，学生发现，每次摸出的“一定”是红球，“不可能”是黄球，从而理解了“确定”的含义。此时，教师紧接着提问，刚才这个口袋里装的是两个红球，所以摸出来的一定是红球，不可能是黄球，这个结果是确定的，有没有什么不能确定的情况出现呢？当学生回答不出时，教师接着提示，如果把这里的两个红球分别标上1号和2号，任意摸出一个球，会有什么结果？学生立刻意识到了，摸出来的可能是红球1号，也可能是红球2号，这时候的结果是不确定的。此时，教师稍作小结：换一个角度分析，确定性之中也隐含着不确定的因素，一定会发生的事件背后也存在着不同的可能。

接下来，教师出示4张扑克牌，分别是红桃A、红桃2、红桃3和红桃4，把这4张牌反扣在桌上，打乱顺序，让学生思考：“任意摸一张，可能摸到哪一张牌？”“在摸牌之前你能够确定摸到的是哪张牌吗？”学生回答：“无法确定能够摸到哪张牌，这个结果是不确定的。”这时教师紧接着进行追问：“在这4张牌中任意摸一张，有没有能够确定的结果？”细心的学生发现这4张牌都是红桃，于是回答说摸到的一定是红桃。由此看来，在不确定性的背后也可能会隐含着确定性的因素。

通过上面这两个小环节的探究分析，学生能够深刻地认识到确定性与不确定性两者并不是相互割裂的，而是密切相关的。同时也体会到，换一个角度分析，得到的结果可能就会不相同，从而真正理解确定性与不确定性之间的辩证统一关系。

五、理解可能性与现实性之间的关系

抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性相等，那么抛2次硬币，是不是一定会出现1次正面朝上、1次反面朝上呢？抛10次硬币，正面朝上和反面朝上是不是肯定各有5次呢？或者，如果某种奖券的中奖率是十分之一，是不是买10张奖券就一定会有一张中奖呢？答案都是否定的。这些都属于不确定事件中的可能性问题，涉及确定事件与不确定事件的重要区别。对于确定事件来说，我们根据实际情况所计算出来的结果是确定的，是必然会实现的。但是，对于不确定事件来说，根据随机事件发生的概率所计算得到的结果，仅仅表示一种可能性，是不确定、随机的。

所以在课堂上，我们应该让学生认识到随机事件中的不确定性，体会可能性与现实性之间的关系，从而真正理解概率思想。

在这节课上，教师设计了两个问题：“小明说，我抛2次硬币，一定会有1次正面朝上，1次反面朝上。”“小丽说，我抛10次硬币，那么正面朝上和反面朝上肯定各有5次。”让学生判断他们两人说得对不对。这时，结合学生刚才所进行的每人各抛10次硬币的操作，了解有哪些学生正面朝上和反面朝上各有5次，结果发现只有很少的几个学生得到这样的结果，其他学生正面朝上和反面朝上的次数都不相等，甚至有的学生还出现了9次正面朝上和1次反面朝上的情况。结合学生抛硬币的结果进行分析，让学生明白“尽管我们知道抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性相等，从而可以计算出抛10次硬币时正面朝上和反面朝上应该各5次，但是因为抛硬币是一种随机事件，抛的结果是不确定的”，所以，我们不能说正面朝上和反面朝上一定各有5次，而只能说“可能”各有5次。每一次的结果都是不确定的，那么我们刚才得到的结论“抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性相等”，是不是就没有意义了呢？学生可能会有这样的疑惑。教师可以结合刚才的统计过程，和学生进行分析，尽管在某个范围内，不能保证正面朝上和反面朝上的次数相等，但是，当抛的次数越来越多时，正面朝上和反面朝上的次数就会越来越接近。所以，从这个意义上来说，抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性确实是相等的。