重审哥德尔思想

郝兆宽

随着五卷本《哥德尔文集》（Collected Works）的编辑出版[1]，哥德尔生前众多未发表的手稿被整理出来。这些手稿有很大一部分是关于哲学的，从而引起了国际上对哥德尔哲学的研究热情。到目前为止，这些研究大致落在两个范式之下，但是都没有取得令人满意的进展。

一、分析哲学范式中的哥德尔

把哥德尔置于当代分析哲学的背景下看起来是非常自然的事情，因为分析哲学正是靠着数理逻辑的兴起才产生的，而哥德尔是塑造当今数理逻辑整个研究领域的人之一。在逻辑学的所有分支上，他的贡献都是根本性的，都是推动整个领域发展的动力所在。他当之无愧地被称为“自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”。然而，至少到目前为止，从分析哲学方向上对哥德尔思想的理解和阐释仍然流于表面。除了对哥德尔柏拉图主义立场的抱怨之外，哥德尔思想的深刻内涵并未被严肃地对待，更遑论富有成果的研究。

这其实也不难理解。当代分析哲学深受经验论传统的影响，而哥德尔的哲学则深深植根于理性主义传统之中，所以站在前者的立场上去看，哥德尔的哲学会显得非常“不自然”，如果不是“不可理喻”的话。叶峰在《20世纪数学哲学》中曾评论道，哥德尔并未对“作为分析哲学一个分支”的数学哲学产生什么重要的影响[2]。考虑到维也纳学派之后分析哲学的发展，叶峰的评论自然可以理解。只是分析哲学这种强烈的反柏拉图主义的倾向也并非从一开始就有，弗雷格和早期的罗素都像哥德尔一样，是坚定的柏拉图主义者，转向是后来才发生的。

有一则关于罗素和哥德尔交往的逸事很能生动地说明这种变化。罗素曾在“自述”里回忆自己1944年5月前在普林斯顿高等研究院的一段时光，他自称“每周一次地”与爱因斯坦、哥德尔和泡利讨论：“我不想哥德尔竟是不掺杂质的柏拉图主义者，分明相信天堂里卧着一个永恒的‘不’，德性高的逻辑学家也许能指望来世在那儿一睹它的芳容。”据王浩说，后来哥德尔在1971年读到了这个评论，并且起草了一份答复，其中说道：

至于说到我的“不掺杂质”的柏拉图主义，它并不比1921 年罗素本人的柏拉图主义更“不掺杂质”吧，当时他在《导论》中说：“逻辑正如动物学一样是真正在谈论现实世界，虽然逻辑有更抽象、更一般这类特色。”显然那时罗素甚至在现世已经一睹“不”的芳容，只是他后来在维特根斯坦影响之下决意不把它当作一回事。①这段逸事，包括引文，都是来自王浩所著《哥德尔》（康宏奎译，上海译文出版社，1997 年，第157-158 页）。其中哥德尔所说的《导论》，指的是罗素1919 年出版的《数理哲学导论》（Russell B.,Introduction to Mathematical Philosophy,London:Allen and Unwin,1919），这本书有商务印书馆出版的晏成殊先生的译本。

哥德尔从其科学生涯的一开始就对哲学有着浓厚的兴趣，他的所有科学研究都有着深刻的哲学动机。他在逻辑和数学研究中，甚至在物理学研究中，最为关心的都是那些“基本的东西”，这正是某种哲学精神的体现。在他看来，凡是基础的理论工作都会与哲学相关，要么在哲学之中，要么由哲学提供动机，要么有哲学的后果，要么要用哲学作为助探原理。而他自己的重要工作，全部属于这四个方面中的某一个[3]40。事实也正是如此，每个仔细研读哥德尔的逻辑和数学论文的人，都会发现在复杂的符号和公式背后，体现着作者对根本概念作精确理解的不懈追求。正如王浩评论的：

……他大概将更多的精力贡献给了哲学，比科学要多。他的哲学在谈话及已发表文章中的应用预兆着一个真正广博而有力的巨型构架，与柏拉图、莱布尼茨、胡塞尔哲学都有接触点。②这里引用的是王浩为洛克菲勒大学向哥德尔颁发荣誉学位的典礼而作的对哥德尔工作的评价，时间为1972 年6 月。据王浩称他事前就拿给哥德尔过目，后者甚至提出了修改意见[3]39。

更为重要的是，哥德尔的这些哲学思想直到今天仍然深刻影响着逻辑、计算机科学和数学基础的研究。注意，我这里强调的是哥德尔的哲学和思想，而不是他作为逻辑学家和数学家在以上领域中的那些巨大成就。

所以，分析哲学对哥德尔思想的冷淡和低估恐怕不能用来证明哥德尔不是一位重要的哲学家，而只能说明哥德尔并不是传统意义上的分析哲学家。如果不带偏见地考察20 世纪哲学的发展历史，会自然得出这样的印象：在最初借用了数理逻辑的一些基本成果之后，分析哲学之后的整个发展与数理逻辑后来的进展是大异其趣的。对于数理逻辑各个领域随后的进展，特别是20 世纪60 年代以后的巨大成就，分析哲学既失去了早期那种学习借鉴的热情，也失去了那样做的能力。这其中的原因不仅仅是，或者说根本不是数理逻辑变得越来越专门、越来越技术化，而是在于对抽象对象、对理性的先天能力、对深刻的形而上学问题的不加分别的拒斥。本文正是打算说明，至少从集合论的最新进展来看，数理逻辑不仅正在产生出比早期更具哲学意义的重要成果，而且其对哲学的期待，不管是作为动机还是助探原理，也比以往任何时候都要高得多。

这当然只是一个宏观的判断，分析哲学阵营里也不乏关心数学研究实践的哲学家。对于他们来说，哥德尔始终是一个重要的思想源泉。例如，加州大学尔湾分校的麦蒂教授在其《数学中的实在论》一书中就说：

从蒯因/普特南那里，这种调和[的哲学]接受不可或缺论证的核心内容；从哥德尔那里，它接受对显明性的纯数学形式的承认和对此进行解释的责任。因此它避免了蒯因/普特南的一个主要困难——对数学实践的不忠实。[4]35

这种对数学实践的不忠实，最终使得作为分析哲学一个分支的数学哲学不再是“关于数学”的哲学，而是关于语言、心灵、大脑以及神经元的哲学。但就算这样，对哥德尔思想的忽视似乎也不完全合情合理。因为即使对以上主题，哥德尔也有着深刻而富有启发的见解，这些见解当然是基于他对数学基础中那些根本概念的思考之上。王浩《逻辑之旅》的第六章对此有一个较为详细的记录和初步的评论[5]。研究和探讨哥德尔思想的这一方面仍有大量的工作要做。

二、哥德尔对现象学的关注与对数学本身的强调

对哥德尔思想研究的另一个范式是讨论其与现象学的关系。这方面的成果甚至多于前一个范式。这提醒我们，现象学早期的发展也与数理逻辑和数学基础问题密切相连。胡塞尔曾深受康托尔和弗雷格的影响。特别是后者，通过对其《算术哲学》的严厉批评，促使胡塞尔放弃了算术中的心理主义①参见Føllesdal D.“,Husserl and Frege:A Contribution to Elucidating the Origins of Phenomenological Philosophy”, in Haaparanta L.(ed.),Mind,Meaning and Mathematics,Dordrecht:Springer-Science&Business Media B.V.,1994,pp.3-47.。这是胡塞尔思想发展中的一个巨大的转变。大陆哲学和分析哲学的互相诟病是后来的事情，而且带有很大的情绪化，并没有太多的道理可讲。

哥德尔在一篇未发表的手稿中对胡塞尔的现象学曾经大加赞赏：

事实上，今天有一门刚刚发端的科学声称它拥有一套从事这类意义澄清的系统方法，那就是胡塞尔创立的现象学。在这里，意义澄清就是为了更鲜明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式来指导我们的注意力，也就是让它指向我们自己使用这些概念时的行为，指向我们实施自己行为时的能力，等等。但是，必须清楚地记住，这种现象学并不是其他科学意义上的一门科学。相反，它是[或者说，无论如何应当是]一套程式或技术，应当在我们心中产生一种新的意识状态，我们就在这种状态中详尽地描述自己思考时所使用的基本概念，或者把握迄今不为我们所知的其他基本概念。我相信，根本没有理由从一开始便拒绝这样一种程式，视为无望的。当然，经验主义者最没有理由这样做，因为那会意味着他们的经验主义其实是一种倒写的先验主义。[6]383②本文引用哥德尔著作所标明的都是《哥德尔文集》中的页码。

除此之外，研究者还发现哥德尔阅读了胡塞尔的几乎全部著作，并有数量巨大的详细批注。因此，将哥德尔的思想与现象学联系起来自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的这篇生前并未发表的论文，哥德尔直接讨论现象学和胡塞尔思想的文字非常有限。因此也无从知道哥德尔所理解的胡塞尔现象学思想的整体面貌。就非常有限的知识而言，我们认为哥德尔对现象学的推崇是为了解决其柏拉图主义立场的认识论问题。为了解释我们是如何认识抽象对象的，哥德尔需要一种不同于康德的经验直观的认识能力，他有时称之为理性直观。但是，我们并不清楚这种理性直观是否就是胡塞尔的本质之观。由于现象学本身在胡塞尔之后也发展为一场浩大而又纷繁复杂的哲学运动，所以解决以上问题似乎并非易事。我们当然欢迎这个方向上的任何真正进展，但也要明白，现象学因素并不构成哥德尔哲学的主体部分。要从整体上把握哥德尔的思想，我们需要对哲学有全新的理解。

哥德尔对自身哲学的这种处境有着非常清醒的认识。我们甚至可以猜测这是他晚年极少发表哲学著作的原因之一。王浩曾慨叹说：“假使他生活在一个合拍一点的哲学共同体里，他发表的哲学著作大概会多一点。”③王浩在那里还说，哥德尔曾经拒绝同他料定怀有敌意的人说话[3]。他把流行的哲学称为“时代精神”，认为自文艺复兴以来时代精神一直是在“左转”，即越来越偏向实用主义、物理主义、经验论。而他自己思想的领域则有强烈的“右倾”倾向，更偏向理想主义、实在论和柏拉图主义。并且这种偏向是由数学、数学基础和数学哲学的“本性”所决定的[6]375-377。

为了进一步理解哥德尔对自身哲学处境的这种感受，让我们进入到数学哲学这一具体的领域，这是哥德尔的哲学和思想集中展现的地方。根据哥德尔的看法，如果哲学中有一个部门能成为柏拉图主义的最后容身之所，那它一定是数学。然而，在20世纪初，由于集合论悖论的出现，引起了在数学基础领域的急剧“左转”。怀疑主义和经验论者认为数学中出现了自相矛盾，唯一的解决之道就是禁止数学中的无穷概念，或者把数学视为语言的纯粹句法。而在哥德尔看来，这个悖论不属于数学，而是处于数学和哲学的边缘，并且借助策梅洛的集合论公理化系统，这个悖论已经被彻底解决了。所以那些借助悖论问题而反对集合论、反对实无穷的立场是屈服于时代精神的结果，而不是从事情本身得出的结论。

但是，这样的论据似乎对反抗时代精神毫无用处，怀疑主义和经验论仍然占了上风。在经历了20世纪前30 年的激烈争论之后，希尔伯特的形式主义被哥德尔的不完全性定理击倒，布劳威尔的直觉主义因为拒斥大部分的经典数学而始终未能被广泛接受，弗雷格的逻辑主义也因罗素悖论的出现而被宣告失败。如果说形式主义的失败是无可争议的，那么逻辑主义的失败则非常可疑。如哥德尔所说，这个悖论后来以令人满意的方式解决了，而且对每个理解集合论的人来说，这是显而易见的。那为何传统上依然会认为是悖论打败了逻辑主义呢？这是一个值得思考的问题。我们不打算在这里展开对这个问题的探讨①有兴趣的读者可以参考郝兆宽《逻辑究竟是什么以及逻辑应当是什么?》，《哲学分析》2016年第2期。，而只是想指出，弗雷格的逻辑主义是一种柏拉图主义，逻辑对于弗雷格来说是研究客观实在的科学，借用罗素的话说，逻辑正如动物学一样是真正在谈论世界。这当然与《逻辑哲学论》中的观点截然相反，而与哥德尔的立场完全一致。而后来占了上风的观点，有时也被称为逻辑主义，认为数学，更不用说逻辑，不过是语言的句法，与弗雷格的逻辑主义又是完全不同了。这就难怪即使在数学哲学领域，一个当代的职业哲学家也不能理解哥德尔为何对已经在流行哲学中“过时”的柏拉图主义抱有如此坚定的信念。

但是，正如我们已经提到的，时代精神的胜利是有代价的，它使得数学哲学完全脱离了数学家的实践，成了一门与数学的任何进展无关的孤芳自赏的学科。虽然在20世纪90 年代数学哲学又进入了一个相对活跃的时期，但是上个世纪前30 年那种哲学家和数学家同时抱着极大的热情在一起讨论和研究的景象却没有再现。数学哲学似乎已经与数学无关了。对此，哈佛大学的考尔纳教授在其与武丁合著的《集合论基础》中评论道：

在物理学哲学中，有两类工作。首先，有些工作的进展是独立于当代物理学发展的。其次，有些工作是与当代物理学的进展紧密相连的。在数学哲学中，我们同样可以作出类似的区分。但是绝大多数当代工作完全独立于当代数学的进展。虽然此方面也有不少出色成果，但我们认为追求数学哲学的多样性，更加密切联系目前的数学成果，一定会有更大收获。不仅在评价已有结果的哲学意义上会有巨大收获，并且通过数学哲学和数学的当代进展之间的相互作用，也会有更大的收获。[7]6

而另一方面，对哲学日益脱离科学实践的这种自我孤立，那些期待从哲学中能获得一些有益灵感的科学家也表达了失望之情：

迄今，大部分科学家太忙于发展描述宇宙为何物的理论，以至于没工夫去过问为什么的问题。另一方面，以寻根究底为己任的哲学家跟不上科学理论的进步。在18世纪，哲学家将包括科学在内的整个人类知识当作他们的领域，并讨论诸如宇宙有无开初的问题。然而，在19和20世纪，科学变得对哲学家，或除了少数专家以外的任何人而言，过于技术性和数学化了。哲学家如此地缩小他们质疑的范围，以至于连维特根斯坦——这位世纪最著名的哲学家都说道：“哲学仅余下的任务是语言分析。”这是从亚里士多德到康德以来哲学的伟大传统的何等的堕落![8]233

在这个意义上，哥德尔的哲学是对西方形而上学传统的一种回归。如王浩正确评价的，他的思想更接近柏拉图，更接近莱布尼茨。

三、数学实践中的柏拉图主义

如果是这样，那跳出当代流行哲学的藩篱去展现哥德尔的思想就成为理解哥德尔的必经之途。我们特别想说明的是其思想的活力，其在数学实践中不断发挥的重要作用。同时，我们还想说明，数学中，特别是集合论中的那些美妙的结果又是如何印证、丰富和发展这种哲学的。这与当代哲学的境况是一个非常鲜明的对比。为了说明哥德尔哲学这种关注数学实践的特征，可以以所谓的“哥德尔纲领”为例，稍作说明。

比起哥德尔纲领，康托的连续统假设可能更为读者所熟悉。事实上，前者可以看做是为解决后者而提出的一种研究方略。当数学家们知道了连续统假设的独立性之后，关于这个集合论命题的哲学地位就产生了争论。一派认为独立性就是对这个问题的最好解决，连续统假设既不是真的也不是假的，这就是最后的答案，因此，这个方向的工作已经完成。这种观点的哲学动机在于，认为一个数学命题的“真”完全决定于它是否能在一个特定的公理系统内得到证明。目前大家普遍接受的作为数学基础的公理系统是策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理。连续统假设因为是独立于策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理的，也就是说，它和它的否定都不能在策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理中证明，因此，按照这一派的观点，它既不是真的，也不是假的，而是无意义的。

但是哥德尔却认为，一个数学命题的真取决于它是否描述了客观数学世界的事实。我们不能通过某个公理系统证明它和它的否定，只能说明这个公理系统本身不够强大。由于公理系统不过是我们对客观数学世界的认识，所以独立性现象只是说明我们对客观数学世界的认识还远远不够。因此，解决独立性问题的正确途径不是通过宣告其无意义而回避问题的存在，而是应该通过不断加深对数学世界的探索而加强我们的公理系统，最终在新的框架内确定它的真值。这就是“哥德尔纲领”的核心思想，即通过寻找新的集合论公理最终解决包括连续统问题在内的那些独立性问题。

如果试图从哲学上理解哥德尔纲领，我们也许可以更为正式地总结为如下四个命题：

（1）数学既不是人类心灵的创造物，也不是纯粹符号的游戏，而是对客观世界的认识和描述。

（2）证明连续统假设是独立的并不是对连续统问题的解决，而是说明策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理远远没有完全刻画“集合”这个概念。

（3）集合论学家的主要任务是不断加深对集合这个概念的理解，并将这种更深入的理解总结为新的公理。任何独立性问题，包括连续统假设，最终会以这种方式得到解决。

（4）对新公理的辩护既可以是内在的，也可以是外在的。

有趣的是，两种观点的动机都是哲学的，前者大致可以认为是形式主义的立场，后者当然是柏拉图主义的主张，即承认“数学对象可以独立于我们的构造和独立于我们各自对这些对象的直觉而存在”。在哥德尔这里，这一立场有了新的意义和更为清晰明确的内涵。通常将哥德尔的柏拉图主义称为“概念实在论”，这一称呼源自他对自己哲学的一个总结。

1974年，德克萨斯大学社会学系的教师格兰琼（Burke Grandjean）为了研究20世纪30年代中欧的社会与学术状况而搜集材料，他专为哥德尔设计了一张问卷，里面包括有关哥德尔生平和思想的大约17个问题，并在1974 年底至1975 年底多次致信哥德尔，希望哥德尔能回答自己的问卷。后来在哥德尔的遗稿中发现了两份填好的答卷和日期为1975 年8 月19 日的信，这封信显然没有寄出。在答卷中哥德尔除了填写自己的主要生平事迹外，有一份还评论了莱布尼茨和维特根斯坦。这当然是研究哥德尔思想生平的珍贵材料。而对我们来说最重要的是回信中的这样一段话：

大约从1925 年以来我就是一个概念和数学实在论者。我从未主张过数学是语言的句法。倒不如说，按任何一种讲得通的涵义去理解，这种见解都会被我的结果所否证。[3]33

这里哥德尔所说的自己的结果指的是他的不完全性定理。哥德尔自己有一个著名的论证，认为这个定理虽然不一定能“证实”柏拉图主义立场，但却可以有效地“否证”任何认为数学是人类心灵产物的哲学立场，这包括物理主义以及视数学为语言句法的约定论。这个论证出现在1951年的吉布斯（Gibbs）演讲中，核心是以下这段：

或者数学在如下意义上是不完全的：它那些显然的公理永远不能包含于一个有穷的规则中，也就是说人类心灵（即使在纯数学领域内）无穷地超出了任何有穷机器的能力，或者存在着绝对不可解的……丢番图问题（而这个析取的两个析取支都是真的这种情况并没有被排除，所以严格说还存在第三种情况）。[9]

所谓概念实在论的核心思想就是：存在着一个与物的世界（world of things）相平行的概念世界（world of concepts）。哥德尔相信，与物的世界一样，“这些概念自身形成了一个客观的实在，我们不能创造或改变，而只能知觉（perceptive）和描述”。与柏拉图把物理世界看作理念世界充满缺陷的映像不同，也与亚里士多德将概念理解为事物的性质和侧面不同，哥德尔的这两个世界是各自持存而不是互为条件的，他更强调它们在某些方面的相似性。所以他的实在论的一个主要特征是物理世界与概念世界的平行论：“类和概念也可以看作是真实的对象……假设这样的对象与假设物理客体（physical body）一样是合法的，也有同样多的理由相信它们的存在。它们对于获得一个令人满意的数学系统是必须的，正像物理客体对一个令人满意的关于我们的感性知觉（sense perception）的理论是必须的一样。”①哥德尔《罗素的数理逻辑》（Gödel K., Russell’s Mathematical Logic, in Schilpp P.A. ed., The philosophy of Bertrand Russell, volume 5 of Library of Living Philosophers,Evanston:Northwestern University,reprinted in Gödel Collected Works,Volume Ⅱ,1944,pp.128）。参阅郝兆宽《哥德尔针对物理主义的一个论证》（《逻辑学研究》2014年第3期）和《论分析性——来自哥德尔的启示》（《哲学研究》2014年12期）。

数学对象当然属于概念世界，因而不是我们精神的产物，不是直觉的构造。相反，它们是人类精神认识的对象。基于对数学对象的这种客观理解，哥德尔认为“康托的集合论在其原有的范围和意义下的确有一个令人满意的基础”，这个基础就是ZFC（策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理）。在这个基础上，CH（连续统假设）是一个有意义的数学问题。它或者是ZFC 的定理，或者是否定ZFC 的定理，或者独立于ZFC。由于此时哥德尔已经完成了L（哥德尔可构成集）的构造，所以第二种已经被证明为不可能的。他猜测第一种也是不可能的，所以，最可能的结果就是CH 是独立于ZFC 的。此时，距离科恩真正证明这一点，还有17年的时间。

但是，哥德尔紧接着强调，这种独立性证明不是连续统问题的解决。因为依照概念实在论，集合概念是一个客观存在，集合论语言是对这个客观存在的描述。作为集合论语言的一个清楚明确的语句，CH（连续统假设）在这个客观世界中必然要么是真的，要么是假的。独立性证明最多说明我们尚不知道它的真假。

既然问题不是纯数学的困难，而是有关集合这个概念的认识问题，那么解决的方法也必然从加深我们对集合这个抽象概念本身的认知入手。而这必然要求为ZFC增加新的公理，使其成为更强大，或者说更接近客观集合宇宙的理论。不管是形式主义还是柏拉图主义，都对数学研究产生了深远影响。对于前者来说，工作于策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理之内去发现新的定理，或者证明一个命题的独立性是最有吸引力的工作。在这样的认识下，20世纪60年代以后对力迫的研究丰富多彩，新的独立性命题也层出不穷。对于后者来说，像大基数公理这样超出ZFC 的命题更具魅力，它们是寻找新公理最可靠的基础。同时，如何让已知的集合宇宙容纳越来越强的大基数则促进了内模型的发展。这两个方向也在哥德尔和科恩之后获得了巨大的成就。

特别是自20世纪80年代以来，这些成就将内模型、大基数和实数子集的可决定性紧密联系在一起。在此基础上，武丁教授提出了解决连续统问题的一系列设想。经过近20 年的发展，特别是在2010 年之后，整个图景逐渐清晰起来。粗略地说，连续统问题的解决取决于我们是否能够构造一个包含超紧基数的类似于L的内模型。如果这种构造能够成功，那就在某种意义上出现了一个终极的模型，在其中连续统假设是真的。目前已知的所有独立性问题都会找到答案，而且也不能通过集合力迫构造出新的独立性命题。如果成功，这在任何意义上都应该被看作是哥德尔纲领的实现。

当然，另一种可能也始终存在，如果最终证明这种构造是不可能的，或者说超紧基数是不一致的，那事情就会变得更为复杂。不过，如果我们接受波普尔科学证伪的理论，这种同时存在的相互反对的可能性正是科学研究区别于非科学的根本特征。由此可以看出，哥德尔纲领不仅仅是一个哲学口号，哥德尔的柏拉图主义也不是一个与科学无关的空洞的哲学立场的宣示，它深刻影响着数学实践，并且产生出具体的数学结果，从而向我们展现了数学和哲学之间那种自古希腊以来就有的紧密联系，而这正是我们理解的数学哲学的魅力所在。