数学通报上两个几何不等式的新隔离式*

钟建新 谢 虹

(1.江西省赣州师范高等专科学校 341000;2.江西省赣州市第四中学 341000)

1 引理的给出

引理若a,b,c∈R+，则∑a3-(∑a2b+∑ab2)+3abc≥0．(∑表示循环和)

证明设a≥b≥c，则

∑a3-(∑a2b+∑ab2)+3abc

=(a3-a2b-a2c+abc)

+(b3-b2c-b2a+abc)

+(c3-c2a-c2b+abc)

=a(a2-ab-ac+bc)+b(b2-bc-ba+ca)

+c(c2-ca-cb+ab)

=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

+c(c-a)(c-b)

≥a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

≥b(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)

=b(a-b)2≥0，

引理得证．

2 问题的隔离

在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,其半周长、面积、外接圆半径、内切圆半径分别为p、S、R、r;ra,rb,rc、ha,hb,hc、ta,tb,tc、ma,mb,mc分别是△ABC对应边上的旁切圆半径、高、内角平分线、中线．

(当且仅当△ABC为正三角形时取等号)

证明

从而得ma≥ta，同理得mb≥tb，mc≥tc，

又据熟知的ta≥ha，tb≥hb，tc≥hc，

则

据熟知的Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，则

又据欧拉不等式R≥2r，得4(R-r)≥2R，

据三角形面积公式得

据权方和不等式得

由上述引理得

2∑a3+6abc≥2(∑a2b+∑ab2)，

据熟知不等式

∑a3=2p(p2-6Rr-3r2)和abc=4Rpr，

结合Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，

由此得到一个新隔离式

(当且仅当△ABC为正三角形时取等号)

证明因ma≥ta≥ha，mb≥tb≥hb，mc≥tc≥hc，得到不等式链

通分相加得

据 ∑bc=p2+4Rr+r2,

(p-a)(p-b)(p-c)=pr2，

abc=4Rpr，

又据Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，则

对不等式左边分拆得到

整理得

据熟知的不等式∑a3=2p(p2-6Rr-3r2)

和∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

结合Gerretsen不等式

16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2，

根据三角形面积公式得

据熟知的不等式

由Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2，

由欧拉不等式2r≤R，得2r2≤Rr，

从而有9Rr≤10Rr-2r2，

从而得到另一个新隔离式