美国MSA教学模式发展与探索——国际数学教育专家安淑华教授访谈录

王志玲

一、引言

当前，数学关键能力成为数学教育领域关注的热点［1］，同时，这给我国数学教育领域带来了巨大挑战，尤其是数学关键能力的教学与评价。

MSA（Model-Strategy-Application 建模—策略—应用）是由美国加州州立大学长滩分校教育学院安淑华教授（Shuhua An）与美国国立大学教育学院吴仲和教授（Zhonghe Wu）共同提出的一种数学教学与评价模式。安淑华教授及其团队自2006年开始，在美国近55所中小学持续进行MSA教学模式的实证研究。大量的研究结果表明，MSA 教学模式（以下简称“MSA 模式”）既是一种创新性、操作性强的数学教学方式又可作为学生素养的评价模型。MSA模式不仅提高了中小学生的数学能力，而且提高职前数学教师和全职数学教师的教学知识与技能。

为了深入解读MSA 模式的来龙去脉及其研究成果，笔者于2017年11月在美国加州州立大学长滩分校教育学院对安淑华教授进行了半结构式访谈，访谈时长2 小时，经安淑华教授修改并同意后，笔者将访谈内容重新整理，形成本文。以期对我国数学关键能力的教学与评价提供有益参考。

二、MSA模式

MSA模式是基于科学与证据的一种认知的数学教与学模型，它不仅支持数学教学，而且提高学生数学能力。［2］MSA模式包括三个主要方面：建模、策略、应用，对于一个给定的数学问题，要求学生完成四方面的任务（见图1）：（1）建模：运用不同的直观数学模型进行表征，并用此数学模型解决问题；（2）策略：运用不同的运算策略解决问题；（3）应用：设计并解决一个与该问题相关的应用题（Real-world Problems）；（4）解释：对以上三个环节进行解释、推理。MSA整合了概念理解、计算策略以及数学应用，并注重培养学生推理解释的能力，对于实现数学共同核心课程标准的要求有促进作用。

图1 MSA模式

MSA 包含两种主要模式，它们的区别在于给定数学问题的不同：一类是与现实世界相关的问题，即“问题解决的MSA”；另一类是纯数学问题，即“计算题的MSA”。学生面对两类问题时，均要完成上述四个方面（建模、策略、应用、解释）的任务，第二类问题在“应用” 方面的要求更具挑战性，它要求学生为纯数学问题设计应用背景，而不是像第一类问题那样，模仿现有的应用问题设计一个类似问题［3］。

本文访谈的主要目的是厘清MSA 模式的背景、内涵、价值以及如何做我国的文化适应研究。主要分为以下四部分访谈内容：一围绕MSA模式的内涵与框架，主要解决是什么（What）的问题；二围绕MSA 模式提出的背景，主要解决为什么（Why）的问题；三围绕MSA模式相关研究的现有研究成果和最新进展；四围绕在中国进行MSA 模式研究的可行性建议，主要解决怎么样（how）的问题。访谈内容整理如下：

（一）MSA框架及其内涵

笔者：关于MSA 模式，还有另一种名称为MSAR，两者之间存在怎样的关系？

Shuhua An: MSA 和MSAR 是一回事。起初MSA 包含三个方面的活动：建模（Modeling）、策略（Strategy）、应用（Application）。事实上，在MSA的每个方面都要求学生解释为什么，推理（Reasoning）一直隐含于MSA中，又因为MSA 读起来朗朗上口，所以学者们更倾向于称它为“MSA 模式”。但是，近几年Common Core State Standard Mathematics（简称“CCSSM”）重点关注学习者的数学推理。因此，在几篇相关论文中将推理突出，也即MSAR。而整个模式的内涵与理论框架没有发生变化。MSA 既可作为一种教学模式，又可作为一种评价模型。

笔者：运用MSA模式进行教学时，三个环节之间是否有次序？

Shuhua An：没有次序，数学教师运用MSA 模式进行教学时，可从任一环节开始，依据教学内容的不同特点，在教学中侧重于MSA中的某一个环节。因此，形成了两种MSA教学模式，一是从应用环节开始，运用实际问题“抛砖引玉”，在教学内容的导入环节以激发学生的兴趣，然后教师通过建模环节促进学生对题目的理解，包括题目条件有哪些、需要解决的问题是什么，运用可视化表征来展示思维过程，也即解题过程。另一种是算法的教学，例如小学阶段分数运算，要求学生计算5/3+1/4=？对学习者来说，建模和策略不是最难的，最难的是应用，怎样将这个题目应用到实际生活中，这对于小学生来讲具有较大的挑战性。设计一个数学情境或故事，将算法放进去，不仅要求学习者理解概念及相互间的关系，还需要学习者具有创造思维、具备一定的其他学科背景知识，例如物理、化学等。计算5/3+1/4的结果对于学生来说是相对容易的，但将此算法运用到现实生活中，是很难的。前几年团队在中国运用MSA 模式教学的公开课，事实证明这一过程对于中国的学生来说是很难的。中国的学生更擅长在给定题目的情况下，进行解题。但将数学知识应用到现实中的表现，则相对较差。与常规的数学教学方式不同，运用MSA模式教学，应用环节不再是常规模式，而是需要学生自己去设计实际问题，恰恰是从数学世界回到现实世界的过程，不仅有助于学习者加深数学理解，而且有助于提高学习者的创造性思维。

笔者：MSA的应用环节是指在课堂结束时，教师给出特定题目来测试学生是否具备运用所学知识解决数学问题的能力吗？

Shuhua An：运用所学知识解决数学问题的能力是一个方面，但不仅如此，MSA 模式应用环节的特点之一，并非老师给出题目让学生做，而是学生作为主体，运用所学的数学知识，设计实际数学问题，更重要的是通过此环节，以了解学生对数学概念的理解程度，CCSSM 中的实践标准MP1 强调概念理解，即通过应用环节，帮助学习者建立数学与现实生活的联系，体会现实生活中处处皆数学，认为数学是有用的、有趣的。当然，在应用环节，亦需运用建模与策略。

笔者：MSA 模式是否更加适用于小学阶段的数学教学？

Shuhua An: 是的，团队在小学、初中、高中均做过研究，但以小学与初中阶段为主。在高中阶段运用MSA模式进行数学教学，与课程内容相关。例如，代数与几何部分，均可运用MSA模式来教学。但小学阶段，整体的教学进度相对慢。因此，小学数学教师有相对充足的时间来运用MSA 模式教学，以提高学生在四个方面（建模、策略、应用、解释）的发展。高中阶段学习节奏相对快，在时间上无法得到保证。实际上，在小学和初中阶段，希望通过建模环节，学生能够运用可视化表征展示其数学思维。CCSSM要求教师真正地花时间使学生深层次理解数学知识，加深学生的数学理解。

笔者：您认为MSA 课堂上多样的可视化表征和中国课堂上常见的相对单一的、形式化的表征，两者之间在本质上有何不同？

Shuhua An：一方面，前者有助于学生真正理解数学概念（Conceptual Understanding）、理解数学（Making Sense of Maths）。例如，我有一个朋友是语言专业博士，他说一直不理解90°角的概念，直到他们家盖完房子，才从直观上理解了90°角。而中国的数学教学常常使学生认为数学是一门抽象的学科，我们之前问过中国学生什么是数学？学生最常见的回答是与数字、计算有关。而在我给大四学生的课上，他们大部分是要从事中小学数学教学，经过长期对他们的培训，即运用MSA 模式教学，然后再问他们什么是数学？数学的定义是什么？他们认为生活中处处皆数学。因为MSA的建模环节，需要他们运用思维图展示自己的思维过程，学生将抽象的数学概念感性地展示出来，并与现实生活联系起来，有助于加深学生的概念理解。学生在解题时，不仅满足于计算出正确答案，而且要懂得为什么。中国的数学课堂教学，往往注重告诉学生怎么做（How），而MSA 教学模式更注重学生理解为什么（Why）。例如，分数的加法，为什么要找公分母，那么从思维图上面学生就可以获得直观感知。另一方面，当学生把数学概念和现实生活的具体情境联系起来时，他们会发现数学很有意思，这是另一个层面的东西，也即情感态度价值观（Productive Disposition）。例如，最初我们知道中小学数学教师运用MSA 教学时，学生普遍认为非常难，但运用MSA模式教学数次之后，学生主动追问老师，还有没有新的题目，他们还想做这些题目。由此可知，运用MSA教学，不仅促进了学生的数学学习兴趣，而且使得学生对数学的看法发生改变。学生不再认为数学是一门仅仅关于数字、算法的学科，而是认为数学是一门有趣的学科，数学与现实生活紧密相关，生活中处处皆数学。

（二）MSA模式的提出背景

笔者：基于怎样的理论与实践思考，而提出MSA教学模式？

Shuhua An：MSA 模式由吴仲和教授提出，我将它进一步深化。自2001 年开始，我们去美国当地的中小学课堂上去听课，2006 年我们申请到关于教学技能的研究经费，与加州长滩市的十位中小学数学教师合作项目，只要有时间就到这些教师的课堂上观课，分为实验组和对照组。观察后发现，教师教学中要能够平衡学生的发展，不能只关注一个方面。当时加州每年都有CST（加州标准测试，California Standard Test）考试，就是相当于州的年考，然后教师的主要工作是备考，教学的主要目的是为CST做准备。事实上就是为考试而教（Teaching for Test），这与中国的高考类似。当时的美国数学课堂上，几乎看不到创造性的教学活动，而是学生的机械训练。例如，教师让所有学生轮流读3+1=4 等等。可以看出，教师在教数学的时候，缺乏平衡。当时有一场数学战争（Maths War），以数学家为代表，认为美国学生的数学能力太差，主张要加强训练，以训练为主。当时包括加州在内的美国的大部分州均以此为目标进行数学教学，课堂上都在做题。即便如此，CST 考试通过率仅为40%，仍有60%的学生未能达到基础水平。不仅失去了好的一面，而且学生的数学能力并未得到提高。所以在一年里，我们每次听课后均会为教师提供及时的反馈，帮助他们改进教学策略，旨在改善上述现象。当时职前数学教师的大学教材，通常有五六百页，前三百页以理论为主，一学期学不完，所以当时美国数学教师教学理论储备充分，但数学教学实践技能欠缺。当他们进入教师岗位后便形成恶性循环。因此，我们意识到，将本研究整理为书稿，并将其发表的必要性。针对上述现象，吴老师提出可通过三个方面进行改善：首先，教师最基本的技能是要使学生真正理解数学概念，即运用可视化表征帮助学生展示思维过程，发展数学思维。其次，帮助这些教师用不同、灵活的数学方法进行计算，因为当时他们只会用基本算法计算，方法单一。最后，美国的课本是商业机构编的，所有的学生使用相同的教材，但是各州学生水平不一样。所以我们希望教师能够具备编题的能力，能够真正地根据学生的学习水平设计数学问题。例如，教材上习题写“小朋友到海边去玩……”，但好多贫困的孩子没有去过海边，对海没有概念。所以这就是MSA的初衷。当时一个重要的任务就是构建MSA的教学模式，让教师去掌握三个方面。我们还将此模式运用在职前数学教师的教学中，但方法不同。

笔者：MSA 模式的主要意义与价值有哪些？

Shuhua An：首先，MSA 模式为美国中小学数学教师提供了一种可操作的数学教学方式。面对美国众多的相关教育文件，数学教师常常感到迷茫，他们不知道应当如何教。例如，CCSSM包含八个方面，尽管地方下拨经费对中小学数学教师进行培训，他们仍感觉无从下手。MSA是一种操作性强的符合各种相关文件要求的教学方式，它为美国中小学教师提供了一种数学教学方法参考，而且大量实证研究表明，MSA教学模式很大程度上提高了学生数学能力。其次，MSA 模式有助于转变教师对数学教学的理解，使教师意识到不仅仅要按照教材去教，更要让学生画可视图来加深概念理解，发展数学推理，教学生运用不同的计算方法来解题。再次，MSA 模式将数学与现实生活联系起来。最后，MSA 模式有助于改变教师对学生数学能力的看法，提供一种更加全面的学生评价模型。MSA是一种学生评价模型，该模型使得教师看到学生在四个方面（建模、策略、应用、推理）的全面发展。

三、MSA研究成果

笔者：您和您的团队主要的研究成果有哪些？

Shuhua An：大部分为实证研究，主要研究成果分为两个方面：一是经过长期的MSA教学后发现，不同背景的学生（英语学习者、学困生、学优生等）的数学能力，能够很好地在四个方面展示出来。MSA教学模式提高了学生的语言能力，例如，通过MSA 教学，英语学习者（非本土）的英语能力得到明显提高；MSA 教学模式有助于提高学生的数学说理能力，有助于促进学生的创造能力等；通过MSA教学模式的建模活动，学生对数学概念形成了较深的理解。除此之外，学生的数学情感态度价值观也得到提高，学生认为数学不仅仅是数字，还发现数学是与生活紧密联系的。另一方面是差异性研究，例如，性别差异性的相关研究发现，高中的男生较粗心，研究初对数学不感兴趣，但是通过MSA教学后发现，他们对数学逐渐产生兴趣，数学成绩优于女生等。

笔者：从大量的研究数据看出，MSA教学法对学生的数学学习有积极的影响，那么教师作为运用MSA 教学法的主体，该教学法对数学教师本身是否也有积极影响？

Shuhua An：对教师亦有较大影响。通过MSA 教学，教师会意识到不能使用单一的方法来教，有的研究表明，受传统教育的影响，教师往往习惯于用学生时期所学到的方法来教。因此，教师观念的转变是很难的。我们在这方面也做了研究，对同一位教师分别运用传统方法与运用MSA 模式教学的课堂录像对比分析，发现教师的教学观念有所转变，运用传统的方法教学，该教师并不注重应用，运用MSA 模式教学后，该教师意识到应用的重要性。除此之外，一名教师习惯运用算法来教，在运用MSA模式教学后，他开始关注运用可视化表征来教学生解题。

笔者：MSA作为一种教学模式，对学生和教师的影响是一一对应的。例如，从可视化表征方面来看，大量研究结果表明，MSA 不仅有助于促进学生此能力的发展，同时，通过MSA教学教师自身的可视化表征能力也得到提高。在其他几个方面是否一样？

Shuhua An：对，现有研究数据均可支撑上述结论。

笔者：您与团队在MSA 研究过程中遇到过哪些难题？如何克服？有何启示？

Shuhua An：MSA 教学模式进入数学课堂的初期，学生面对这种完全陌生的教学模式，有诸多不适应的表现，这让我们意识到，学生需要过渡期。例如，学生一开始并未尝试过用可视化表征来展示思维过程甚至来解题，当MSA首次进入数学课堂时，学生往往无从下手。当时的解决方案是，教师先在课堂上进行展示如何运用可视化表征来解题，然后组织学生小组讨论，合作解题，再展示小组讨论的结果，最后全班同学一起讨论。所以是通过小组讨论的方式，让学生度过缓冲期，渐渐熟悉MSA 模式，最后学生才能够独立地完成各个环节。

四、MSA中国探索

笔者：如果探索MSA模式在中国的教学与研究，需要做哪些本土化调整？

Shuhua An：理论框架均可调整。中国学生的计算很好，有一些中国学者认为这有助于概念理解，该模式是否成立需要进一步研究，若不成立，是否需要调整理论基础。

笔者：中美学生思维差异大，中国学生比较早地发展抽象思维，同一年级中国学生抽象思维要高于美国学生。基于此种情况，您对中国数学教学者们进行MSA模式的教学探索有哪些建议？

Shuhua An：将MSA模式引入中国的数学课堂是非常好的，但中国数学教学者们的想法可能会存在差异，有些中国的数学教师可能会认为学生不需要作图，例如让学生计算3+5=？，学生马上就可以算出来答案。所以在这个方面可能要做一些工作，学生不仅仅要知道怎么算，更重要是理解为什么，学数学并不是简单的解题得到答案，实际上现在CCSSM更加注重建模、概念理解等等，而且更加注重数学学习的过程而不仅仅注重结果，学生思维过程中的难点是什么，在MSA教学过程中，学生可以展示出来思维的难点，让学生在不同方面得到发展，如何来培养学生的想象力和创造力等。我们曾经对中国小学生做过一个研究，结果发现中国的学生擅长解题，但要求学生用可视化模型来解释为什么的时候，仅有部分学生能够用数轴表示，模型较单一，其他学生几乎做不出来。这一现象也一定程度上反映出教学的情况，教师往往用数轴来教学生，而没有用多样化的解法来解题。从模型中看出学生对数学概念的错误理解。

笔者：对中国数学教育研究者们进行MSA 模式的进一步研究探索，有哪些建议？

Shuhua An：建议中国的研究者可从诸多相关研究主题深入下去。例如，学生在学分数概念的时候，在建模环节，学生的模型类型；在策略环节，男女生解同一道数学题时，学生运用的方法有何特点与差异；在应用环节，通过学生设计的实际问题，研究学生对数学的理解程度。亦可做中美MSA 教学模式的比较研究，这取决于研究者的兴趣。例如，若对学生的推理感兴趣，建议重点关注学生说理的过程，运用怎样的语言，推理分为多方面，可以深入下去。我认为，中国的研究者，特别是年轻学者，可关注MSA的任何一个方面，亦可对四个方面之间的关系进行深入研究。例如，学生的建模能力突出，他的概念理解是否也同样突出等。

笔者：您和您的团队已经搜集了美国大量的研究数据，您期待中国的研究者们可以做哪些工作？

Shuhua An：目前团队的已有研究，是以美国学习者为研究对象，我很期待中国研究者在中国进行相关研究，国际上一致认可中国学生数学好，擅长解题。那么中国学生在其他三个方面发展如何，中国学生在这几个方面的关系如何。另外，中国学生在建模方面，是否有所提高，如上所述，大部分学生会用数轴这种单一的模型来展示思维过程，大概已是十年前的研究结果，现在学生这方面的能力发展如何。除此之外，随着中国的经济发展，学生创造能力是否有所提高，学生在设计实际问题时视野是否更开阔，是否更加创新，亦可对不同背景的学生进行比较研究等。

五、讨论与思考

首先，MSA 是作为一种基于认知的数学教学与学习模型。随着安淑华教授与吴仲和教授团队在美国及中国部分地区长时间实证研究，大量研究数据表明，运用MSA 进行数学教学，能够有效促进学学习者的数学理解、程序流畅性、将数学知识应用于现实生活中的能力以及交流推理能力。其次，已有研究［4］［5］［6］表明，运用MSA 数学教学不仅能够促进学习者的数学能力，还有利于学习者的数学情感态度价值观的培养。同时，MSA 有助于提高数学教师的教学知识和技能。最后，MSA模式既是一种有效的、操作性强的数学教学方式，又是一种数学评价模型［4］［7］，既可用于学习者数学能力的测评，又可用于数学教师（包括职前教师）教学知识和技能的评价。本文围绕MSA 模式的理论背景、现有研究成果与最新进展、MSA 模式的本土适应三个维度展开访谈，以期对我国学生数学教学与评价提供有益参考。