适应三相不平衡主动配电网无功优化的二阶锥松弛模型

徐添锐，丁 涛，李 立，王 康，迟方德，高虎成

（1. 西安交通大学电气工程学院，陕西省西安市 710049；2. 国网陕西省电力公司，陕西省西安市 710048）

0 引言

在全球能源低碳转型的背景下，中国宣布的国家自主贡献目标及碳中和愿景对电力工业高比例消纳新能源提出了新的要求［1］。含分布式电源（distributed generator，DG）的主动配电网能够有效提升新能源的利用率，降低碳排放量。同时，DG 在主动配电网中的灵活配置、与大电网互为备用的运行方式也使得供电可靠性得到改善［2］，受到国内外学界重视。目前，主要研究领域集中在配电网规划［3-7］、运行策略优化［8-9］、故障恢复和故障重构［10-14］等。

配电网有很多特征与输电系统不同，例如阻抗比（R/X）较大、支路电阻不可忽略［15］、拓扑结构一般为辐射形［16］、电压等级较低、三相负载及线路不平衡程度较严重［17］等。而主动配电网的无功优化还需综合考虑分布式能源接入，由此带来的双向潮流问题［18］及三相不平衡问题大幅提高了无功优化策略的求解难度。因此，研究精确、高效的三相配电网无功优化方法具有一定的意义和价值，能够对整个配电系统的经济安全运行提供有力支撑。目前，有一种主动配电网无功优化方法是假定配电网三相平衡，但仅考虑主动配电网的等值单相潮流模型［19-22］。文献［22］将原始非凸、非线性、NP-hard 的潮流优化模型进行二阶锥松弛变换，得到了基于等值单相配电网的无功优化方法。然而，以单相潮流模型进行无功优化可能会忽略实际配电网中由于三相不平衡所引发的大范围潮流不平衡现象。为解决三相不平衡的配电网无功优化问题，国内外学者提出了为主动配电网建立三相形式的无功优化模型［23-27］，针对配电网无功优化中各相潮流分布不均的情况进行了建模。但文献［23-25］所述方法对配电网的三相结构作出了简化，即将三相配电网的无功优化模型视为3 个独立的相，各相之间没有相互影响。文献［25］所建立的主动配电网无功优化二阶锥凸松弛模型忽略了各相潮流间的电磁耦合关系，如果考虑三相负荷、网络拓扑等不平衡因素，则其全局最优解存在一定误差。文献［26-27］考虑到配电网三相间的耦合作用，并由此建立了完整的三相耦合支路潮流模型。然而，文献［26］在求解非凸非线性的无功优化问题时采用了线性化近似的潮流方程，其结果同样不可避免地与全局最优解存在误差。文献［27］采用了改进后的退火鱼群融合算法求解无功优化问题，但是所采用的启发式算法本身具有一些难以忽略的缺陷，例如难以获得全局最优解、对经验参数具有强依赖性导致鲁棒性较差，且目前对此类方法尚无严格数学证明。综上所述，目前亟须一种既能够考虑到配电网完整三相潮流模型，又能够确保算法误差较小的无功优化方法。

本文的主要贡献是提出了一种基于二阶锥松弛的三相不平衡主动配电网无功优化方法。该方法通过对线路各相之间的互耦以及三相负载、线路参数的不平衡的综合考虑，建立了完整的配电网三相模型。此外，该方法对主动配电网三相不平衡状态下的支路潮流模型进行了二阶锥松弛的精确凸化，确保了解的全局最优性。

1 主动配电网三相无功优化的数学模型

1.1 主动配电网无功优化的目标函数

主动配电网无功优化旨在控制网络中各节点无功补偿设备的无功出力，达到降低网损的目标，同时，使网络电压处于安全运行所允许的范围内。考虑运行的综合经济性，本文将网络运行中所有支路的有功损耗之和最小作为目标函数，即

式中：φ取a、b、c，表示a、b、c 相；e为支路编号；nl为配电网中支路数量；Re，φ为第e条支路φ相的电阻值；Ie，φ为第e条支路φ相的电流幅值。

1.2 主动配电网运行约束条件

1）功率平衡约束

功率平衡等式约束保证了由支路流入/流出节点的功率与节点注入功率始终相等，并且表征了支路电压降落与支路潮流的关系。潮流方程一般基于节点电压法，以节点注入的形式对潮流进行建模，其中包含了节点电压和节点注入功率。而在辐射状的配电网中，以支路功率形式建立的潮流模型更加直观简洁，该模型中包含支路电流、支路功率、节点电压等变量。主动配电网模型如图1 所示，其支路潮流模型为：

图1 配电网支路潮流模型示意图Fig.1 Schematic diagram of branch flow model of distribution network

式中：E为所有支路的集合；（m，n）表示支路的起点和终点分别为第m个节点和第n个节点；Smn为支路mn传输的三相功率矩阵；Zkm为支路km的三相阻抗矩阵；Lkm为支路km的三相电流向量与自身共轭转置相乘所得的矩阵；Vm为第m个节点的三相电压向量；Ze为第e条支路的三相阻抗矩阵；Ie为第e条支路的三相电流向量；Se为第e条支路传输的三相功率矩阵；IHe为列向量Ie的共轭转置；Snet，m为第m个节点的三相注入功率矩阵；s˙net，m，a、s˙net，m，b和s˙net，m，c分别为第m个节点的a、b 和c 相注入功率相量。

2）节点电压与支路潮流的安全约束

式中：Vn，min和Vn，max分别为第n个节点的节点电压幅值Vn，φ的最小和最大值；Ie，max为第e条支路过载临界电流幅值。

3）变电站节点电压约束

式中：Vset为一给定的三相电压向量。该约束保证变电站节点（节点编号为0）处三相电压向量V0的幅值和相角为固定值。

4）变电站出口功率约束

式中：P0和Q0为从变电站流入配电网的有功功率和无功功率；P0，max和P0，min分别为变电站出口所能提供的有功功率上、下界；Q0，max和Q0，min分别为变电站出口所能提供的无功功率上、下界。

5）DG 运行约束

本文将DG 的运行模式设置为最大电源点追踪模式，DG 的有功输出功率与无功输出功率可分别进行调节，为使有功负荷能够充分利用清洁能源，DG 的有功功率为固定预测值，无功功率为可调变量。

需要说明的是，本文方法中无功调节设备仅考虑了DG 的连续无功出力。当然，本文方法同样适用于考虑离散无功调节设备的无功优化，其主要区别在于考虑离散无功调节设备会在模型中引入整数，而本文仅考虑连续无功调节设备的模型无须引入整数变量。为了验证本文提出方法的正确性并与文献［25］的方法进行对比，进行2 种方法的开发时仅考虑连续无功调节。

最终，式（1）—式（9）构成三相主动配电网无功优化模型，其优化决策变量包括控制变量和状态变量，其中，控制变量为QDG，n中的元素；状态变量为Vn、Ie和Se中的元素。

2 三相无功优化模型的二阶锥松弛方法

文献［25］在三相平衡条件下，忽略三相之间耦合，采用Distflow 模型的配电网潮流方程形式将三相潮流进行解耦，其具体内容见附录A。

由附录A 可知，文献［25］所建立的三相配电网模型并未考虑三相之间的互相耦合形式，将三相潮流模型直接解耦成3 个单相潮流方程，每相仅包含本相自身的参数。考虑到文献［25］所述方法对线路相间互阻抗的忽略，在三相不平衡的场景（如负荷三相不平衡、线路参数三相不对称）下，采用这个模型所得出的结果将与实际最优解间存在误差。

为此，本文对三相不平衡主动配电网的原始支路潮流模型作二阶锥松弛。定义矩阵Wm=VmVHm，其中，VHm为Vm的共轭转置。式（3）经共轭相乘变换为：

式中：Le=Lmn=Ie IHe为第e条支路的三相电流与自身共轭转置IHe相乘所得的矩阵；ZHe和SHe分别为Ze和Se的共轭转置。

良渚文化遗址出土的器物上的图案，较多的还是鸟纹。在良渚被命名为兽面纹的图案，其实也是可以归入龙首纹的。从汉代《说文》《淮南子》等文献对龙凤的描绘来看，良渚的龙首纹、兽面纹还不够像龙，鸟纹也还不够像凤，但它们是龙凤的雏形。龙尚变化，龙尚进取，集中体现中华民族的阳刚精神。凤则尚和美，尚吉祥，它集中体现中华民族的阴柔精神。龙腾凤翥成为中华民族幸福的象征。而这，正是中华美学的灵魂。良渚文化纹饰中虽然有龙的雏形，但不很突出，良渚文化的灵物崇拜主要是鸟崇拜，鸟崇拜可以看作是凤凰文化的源头。

同时，网络中节点电压、支路电流及支路传输功率之间的关系可表示为：

由原始支路潮流模型可知，对向量Vm和Ie分别右乘其各自的共轭转置向量后变为Wm和Le，相当于将原始网络扩展为虚拟等效网络，如图2 所示。图中：a、b 和c 相结构分别用蓝、绿和红色表示；ma、mb和mc分别为第m个节点的a、b 和c 相；na、nb和nc分别为第n个节点的a、b 和c 相；ea、eb和ec分别为第e条支路的a、b 和c 相。扩展前，第m个节点和第n个节点的显式结构三相间并无联系。其特点表现在Vm和Vn均为只包含3 个元素的向量，而第m个节点和第n个节点之间的联系仅存于两节点对应相之间的联系，其特点表现在Ie同样为只包含3 个元素的向量，该连接关系分别如图2 中的ea、eb和ec所示。经扩展即分别右乘共轭转置向量后所得到的矩阵Wm和Le，其所包含元素均扩展为3×3 个，在Wm中引入了之前并不存在的第ma、mb和mc个节点之间的联系即虚拟联系关系，例如矩阵Wm的元素(1，2)=()*；在中则引入了第m个节点的φ相与第n个节点的φ′相（φ′≠φ）间的联系，例如矩阵Le的元素l˙e(1，2)=i˙l，a(i˙l，b)*。通过以上扩展，将之前三相间耦合的隐式关系显现出来。

图2 原始网络及经扩展后等效网络示意图Fig.2 Schematic diagram of original network andextended equivalent network

式（11）中包含非线性等式。由于其强非凸形式，求解式（11）属于NP-hard 问题，难以获得全局最优解，但可等效为式（12）中的2 个约束［28］。式（12）中的不等式约束为半正定（semidefinite programming，SDP）的凸约束，秩约束为非凸约束。若将式（12）中的秩约束松弛，仅剩的半正定约束为凸约束，可实现凸化。由于半正定约束求解算法复杂度要比二阶锥约束高一个数量级，因此，本文根据Sylvester 准则［29］，将式（12）的半正定约束精确转化为二阶锥约束，如式（13）所示，转化过程的推导详见附录B。

为衡量该二阶锥松弛的准确性，定义松弛偏差度函数如式（14）—式（16）所示。

于是，原支路潮流模型式（2）—式（5）变为：

综上，原始的主动配电网三相不平衡的无功优化问题变形为：

二阶锥优化模型式（18）的决策变量为矩阵[QDG，n，Wn，Se，Le]中的元素。求解该优化模型可得到决策变量的最优解。第n个节点的三相电压幅值为矩阵Wn主对角元素的开方值；第e条支路的三相电流幅值为矩阵Le主对角元素的开方值。

3 算例分析

3.1 算例1：IEEE 33 节点算例

本节以IEEE 33 节点配电系统作为算例进行计算分析，其拓扑如附录C 图C1 所示。该算例电压等级为12.66 kV，功率基准值为100 MVA，总有功负荷为3.6 MW，总无功负荷为2.295 Mvar，其中，第6、14、29 个节点各连一台DG，每台DG 的三相装机容量总和为300 kVA，输出无功可调范围为［0，60］kvar，并且三相输出无功独立可调，正常运行的节点电压幅值安全约束为［0.9，1.1］p.u.（电压在本文中均采用标幺值表示）。

本算例在初始算例基础上，首先将三相负载及线路作平衡处理，使初始算例变为三相对称系统，以此为基础分别改变负载和线路参数的三相不平衡度。为考虑三相负载不平衡，将a 相负载分别减少10%和30%，b 相负载不变，c 相负载分别增加10%和30%；为考虑三相线路参数不平衡，将a 相线路自阻抗分别减少10%和30%，b 相线路自阻抗不变，c 相线路自阻抗分别增加10%和30%。为说明本文所采用的线路参数三相不平衡度定义，取配电网中任一条馈线为例，由于线路参数受外界环境影响较大，因此，相间互阻抗的取值存在较大不确定性，在配电网供电过程中可能时刻发生变化，但线路的各相自阻抗在正常运行条件下维持稳定。为此，引入互阻抗与自阻抗之比δ来确定互阻抗的取值。

改变配电网三相不平衡度，同时改变δ∈{0.01，0.1，0.2，0.3}，方法1 松弛偏差度函数的取值如表1 所示。表中：max（DW）、max（DL）和max（DS）分别为对本情况中不同δ取值所计算出的DW、DL和DS的最大值。由表1 可知，本算例中松弛偏差度均在10-3以下，因此，可以证明方法1 采用的二阶锥松弛模型在本算例中是精确的。

表1 算例1 中各不平衡公况下方法1 的松弛偏差度函数的计算结果Table 1 Calculation results of relaxation deviation degree function of method 1 in different unbalanced situations in case 1

进一步地，原始无功优化问题的非凸可行域在方法1 和方法2 中均被松弛为凸二阶锥可行域。但是，根据二者的潮流模型可知，方法1 和方法2 的可行域并不相同，在各自的可行域内所取得的最优解亦不同。由二者模型可知，无论采用方法1 还是方法2，得到的优化解均满足原始优化问题的约束条件式（5）—式（8），而造成误差就是潮流方程式（2）和式（3）。分别采用方法1 和方法2 求解无功优化模型，然后统计二者所得解与潮流等式方程的拟合程度，该拟合程度采用相对于0 的误差来衡量。定义2 个误差分别如式（20）和式（21）所示。

在三相负荷平衡条件下，仅改变δ的值（即线路三相不对称程度），方法1 和方法2 计算所得节点电压分布情况如图3（a）和（b）所示。图3（a）中，方法1在δ发生改变后也会引起节点电压分布的变化，且δ越大，整体电压幅值水平越高。这是由于相间互阻抗实质上是等效的并联电容，从而造成线路无功功率增大，末端节点电压幅值上升。图3（b）中，δ发生改变后的节点电压幅值曲线一致重合。这一结果验证了方法2 并未引入互阻抗，从而在互阻抗发生显著变化时，节点电压分布情况始终不改变。而在互阻抗固定时，改变三相负荷不平衡度将对方法1 和方法2 的计算结果同时产生影响，如图3（c）和（d）所示。

图3 算例1 中方法1 与方法2 的计算节点电压对比Fig.3 Comparison of calculated bus voltages between method 1 and method 2 in case 1

分别通过方法1 与方法2 进行无功优化计算，二者所得节点电压幅值存在差值，该差值ΔV的表达式为：

式中：VM1和VM2分别为方法1 和方法2 进行无功优化计算后所得的节点电压幅值。

2 种方法间的电压幅值差值表达式的具体取值如附录C 表C2 所示。随着网架不对称程度的增加或者负荷不平衡程度的增加，方法2 的计算误差随之增加。在较大的互阻抗和三相负荷不平衡的情况下，两者之间的电压差值达到1.52%，计算结果存在较大差异。

由于方法1 与方法2 的目标函数均为网络中所有支路有功损耗之和，因此，取其二者最后所得目标函数进行对比，以方法1 所得出的目标函数值为基准，具体数据如附录C 表C3 所示。在δ=0.3 的情况下，方法1 所得目标函数即支路有功损耗之和较方法2 所得目标函数小2%左右，两者所取得的无功优化结果差异明显，进一步说明了采用方法1 进行无功优化的合理性和必要性。

3.2 算例2：IEEE 123 节点算例

3.3 计算效率分析

本节讨论方法1 与方法2 的计算效率，即寻找最优解所耗费时间。为进一步检验方法1 与方法2在大规模配电网中的求解性能，本文将上述IEEE 33 节点算例、IEEE 123 节点算例及某地配电网扩展而来的906 节点算例的求解时间进行对比，结果如表2 所示。

表2 求解时间对比Table 2 Comparison of solving time

方法1 与方法2 在较小规模的配电网中求解时间均为1 s 以下，二者求解效率差距偏小；而在大规模复杂配电网络，如906 节点算例中，方法2 求解用时0.38 s，方法1 求解用时达到了2.52 s。尽管如此，方法1 的求解时间完全能够满足每5 min 滚动进行无功优化一次的要求，计算速度在工程应用时不存在明显劣势。

4 结语

本文通过升维映射和秩松弛，利用Sylvester 准则提出一种适应三相不平衡主动配电网无功优化的二阶锥松弛模型，模型综合考虑了三相间的耦合关系，增加了相间电压、电流和功率之间的二阶锥约束，提高了松弛模型的计算精度。通过算例分析可知，传统方法会在三相不平衡运行下产生松弛误差，并且随着网架不对称程度的增加或者负荷不平衡程度的增加，计算误差随之增加。本文所提方法相比传统方法提高了计算精度，同时将求解时间控制在可接受范围之内。

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。